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• La meccanica è la parte della fisica che studia il movimento dei corpi e le cause che lo generano. Essa si divide in tre parti:
– Cinematica: essa studia il moto dei corpi senza interessarsi alle cause che lo generano – Statica: studia l’equilibrio dei corpi
– Dinamica: prende in esame le cause (forze) che generano il moto
• Corpi puntiformi e corpi estesi: lo studio dei corpi puntiformi è meno difficile.
L’approssimazione a corpo puntiforme è valida solo se le dimensioni dell’oggetto sono piccole rispetto alle lunghezze coinvolte.
– Es. automobile piccola quando si considerano spostamenti elevati rispetto alla sua dimensione
– Es. la terra nella sua orbita attorno al sole
• Moto di traslazione e rotazione : i corpi anche estesi in traslazione si comportono come corpi puntiformi perche tutti i punti del copro seguono lo stesso moto. Non è vero per il moto di rotazione !
• Dire che un oggetto è in quiete o in moto ha senso solo se si fissa precedentemente un sistema di riferimento (SR)
Cinematica del punto
Traiettoria, vettore posizione, velocità e accelerazione
• Traiettoria è linea che unisce tutte le posizioni occupate dal punto al trascorrere del tempo.
C
A 0 x
y
OM(t1)
OM(t2=t1+dt) dOM(t)
Vettore posizione Vettore velocita
dt t OM
v d ( )
) (t OM
Il vettore velocità esprime la variazione del vettore posizione durante un intervallo di tempo.
La sua direzione è qualla della variazione di posizione, quindi la tangente alla traiettoria.
Il vettore accelerazione esprime la variazione del vettore velocità durante un intervallo di tempo. La sua direzione è qualla della variazione della velocità.
C
A 0 x
y
v(t1)
v(t2=t1+dt) dv(t)
Vettore velocità
Vettore accelerazione
dt t v a d ( )
)
(t
v
• Velocità media è il rapporto fra lo spazio Δs percorso da un corpo in un intervallo di tempo Δt e questo stesso intervallo di tempo
2 1
2 1
m
S S S
V
t t t
• Velocità istantanea: è la velocita media del punto materiale relativa ad un intervallo di tempo piccolissimo, al limite tendente a zero.
2 1 2 1
2 1
2 1
lim lim
is t t t t t
S S S d S
V
t t t d t
• Accelerazione media è il rapporto fra la variazione di velocità Δv percorso da un corpo in un intervallo di tempo Δt e questo stesso intervallo di tempo
2 1
2 1
m
V V V
a
t t t
Dimensioni [a] = [L]/[T2]
Unità di misura m/s2
• Accelerazione istantanea: analogamente alla velocità istantanea:
2 1 2 1
2 1
2 1
lim lim
is t t t t t
V V V d V
a
t t t d t
Moto del ascensore
posizione
velocità
accelerazione
Accelerazione costante
• Moto rettilineo uniforme quando percorre una linea retta con velocità costante:
accelerazione nulla.
• Moto uniformemente accelerato : accelerazione costante
; 0
m e d ia in s t m e d ia is t
V V c o n s t a a
m ed ia ist
a a co n st
v
0: velocità a t=0, condizione iniziale.
Esempio : caduta libera, accelerazione gravitazionale costante g : 9.81 m/s
2g.
dt t a dv( )
0 0
0
)
(t a dt v a t v
v
t
dt t v dx( )
0 x(t) v0 t x0
x
0: velocità a t=0, condizione iniziale.
0 0
2
0
0
0 2
) 1 (
)
(t a t v dt x a t v t x
x
t
Verificare le
dimensioni !!
0 0
0 t
V V a d t V c o n s t
t
dt v x
t x
0
) 0
(
Caduta libera
• Velocità finale raggiunta a terra :
y=0
• Tempo di caduta
y
0=h
h gt
y gt
t y
v t g t
v
g a
2 0
2 0
2 1 2
) 1 (
)
(
; V
0= 0
g t h
h gt
h gt
t y o
2 2
1
2 0 1
) (
0 2
0
2 0
Indipendente della massa ! Trascurrato la frizione dell’aria.
gh t
v
g g h t
g t
v
2 )
( ) 2 (
0
0 0
• Altezza massima h raggiunta da un corpo lanciato verso l’alto : quando la veolcita divento =0.
y
0=0 y
fhttp://www.claudiocancelli.it/web_education/fisica/moto_rettilineo.swf Animazioni
Caduta libera : oggetto lansciato verso l’alto.
0 0
2 0
2 ) 1
( ) (
y t v gt
t y
v gt t
v
g a
=0
g h v
t v gt
h t
y
g t v
v gt
t v
h h
h h
h h
2 2
) 1 (
0 ) (
2 0 0
2 0
0
t
y
Moto uniformemente accelerato : eliminare il tempo !
) (
2
2 )
( ) (
2 2
1 2 ) 1 (
2 )
( )
(
0 2
0 2
0 2
0 0
2 0
0 0
2
0 2 2
0 2
0
x x a v
v
t av at
x x a t
v at
x x
x t v at
t x
t av at
v v
v at t
v
Moto in due e tre dimensioni
x y
V1
V2
V2
V1
x y
r1
r2
2 1
r r
In 2 o 3 dimensioni, i vettori posizione, velocità e accelerazione istantanea si scompongono a componenti cartesiane :
ˆ ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
r t ir jr k r
d r d r d r
V iV jV k V i j k
d t d t d t
d V d V d V
a t ia ja k a i j k
d t d t d t
Moto uniformamente accelerato nel piano:
moto di un proiettile
y
V0
Accelerazione istantanea
V0 y
( ) 0;
( ) ;
ˆ ˆ ˆ
( )
x
y
x y
a t
a t g
a t ia ja g j
Velocità istantanea
0
0
0 0
( ) ;
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
x x
y y
x y x y
V t V
V t V g t
V t iV jV iV j V g t
Esempio : proiettile lansciato in una direzione non parallela all’accelerazione terrestre.
0 0
2
0 0
( ) ( ) 1
2
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
x
y
x t x V t
y t y V t g t
r t ix t jy t
Posizione istantanea
0 0
0 0
c o s s in
x
y
V V
V V
Il moto horizontale è indipendente di quello verticale.
g ay
x
Eliminanto il tempo ed utilizzando le componenti della velocità in funzione dell’angolo si ottiene
y
V0
V0 y
2 2 2
0
2 2 0 0
0
cos 2
) (tan
2 1
x V
x g y
x V
x g V
V y
x x y
Quando il proiettile rimbalsa a terra ? Per y=0, a una distanza R (Gittata):
2 0
0 0
2
0 V t 1 gt
t V x
x R
y
x
2
0 0
0 0
2 1
x x
y x
V g R V
V R V t R
) 2 sin(
2 0
g R V
x
Il proiettile colpisce sempre il bersaglio….
Il proiettile e lanciato in direzione del bersaglio. Nel momento in cui e lanciato, il bersaglio e lasciato e commincia a cadere. In quale istante il proiettile colpisce il bersaglio ? Per t=vop/roB. Perche sia il proiettile che il bersaglio sono sottomessi alla gravita, in modo indipendente della
massa.
0 V
02
2 1 g t t
V r
0B 0PB
B
r
r
Moto relativo
B A
BA B
A
BA B
A
BA B
A
BA B
A
a a
dt V d dt
V d dt
V d
V V
V
dt R d dt
R d dt
R d
R R
R
