Soluzione degli esercizi di preparazione al primo esonero di Calcolo Differenziale ed Integrale I e II (a.a. 2006-2007)
1. Determinare l’insieme di definizione della funzione: y = log(x +p
1 + x2).
Condizioni di esistenza: x +√
1 + x2 >0 ⇒√
1 + x2>−x.
Insieme di definizione: E = (−∞, +∞).
3. Trovare massimo (M ) e minimo (m) assoluti, se esistono, delle funzioni:
y = sin x, y= cos x con x∈h
−π 2,π
2
.
(a) y = sin x, ∃ y′(x) ∀ x ∈h
−π 2,π
2
, y′ = cos x, y′ = 0 ⇒ x = −π 2. y
−π 2
= −1 = m. Non esiste massimo assoluto con x ∈h
−π 2,π
2
(b) y = cos x, ∃ y′(x) ∀ x ∈h
−π 2,π
2
, y′= − sin x, y′= 0 ⇒ x = 0.
y(0) = 1 = M, y
−π 2
= 0 = m.
4. Calcolare il limite: lim
x→+∞
ex ex− 1. lim
x→+∞
ex
ex− 1 = lim
x→+∞
1
1 − e−x = 1 1 − 0 = 1.
5. Calcolare l’integrale indefinito:
Z dx
x2− 3x + 2.
Z dx
x2− 3x + 2 =
Z dx
(x − 2)(x − 1)
1
(x − 2)(x − 1) = A
x− 2+ B
x− 1 = Ax− A + Bx − 2B
(x − 2)(x − 1) = (A + B)x − (A + 2B) (x − 2)(x − 1) Affinch´e risulti: (A + B)x − (A + 2B) = 1, deve essere: A + B = 0, A+ 2B = 1, da cui si ottiene: A = 1, B = −1. Allora:
Z dx
(x − 2)(x − 1) = Z
1
x− 2− 1 x− 1
dx = log |x − 2| − log |x − 1| + c.
2. Studiare il grafico della funzione: y = x3+ 8 x2 Condizioni di esistenza: x 6= 0.
Insieme di definizione: E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
lim
x→0
x3+ 8
x2 = +∞; lim
x→+∞
x3+ 8
x2 = +∞; lim
x→−∞
x3+ 8
x2 = −∞.
lim
x→±∞
y
x = m = lim
x→±∞
x3+ 8 x3 = 1, lim
x→±∞(y − x) = n = lim
x→±∞
x3+ 8
x2 − x = lim
x→±∞
8 x2 = 0, c’`e dunque l’asintoto obliquo y = x.
y′ = 3 −2(x3+ 8)
x3 = 1 − 16
x3, y′ = 0 ⇒ x = 2√3 2;
y′′= 48
x4 >0 ∀ x ∈ E.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
y
x
