Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 18/9/2008
Esercizio 1. In un impianto di produzione c’`e un forno che opera relativa- mente a due diversi semilavorati, che chiameremo di tipo A e tipo B. Quando un semilavorato di tipo A arriva al forno, la lavorazione effettuata nel forno richiede un tempo medio di 30 minuti. Se il pezzo `e di tipo B ci vogliono 50 minuti in media. Anche se il tempo di lavorazione del forno non ha un elevato grado di aleatoriet`a, per uniformit`a con altre parti del problema supponiamo che i tempi di lavorazione siano esponenziali.
I pezzi di tipo A arrivano al forno dopo varie lavorazioni in cui accumulano ritardi casuali di vario tipo. Il processo di arrivo di questi pezzi si pu`o descrivere con un processo di Poisson. Il numero medio di pezzi che arriva in un’ora `e pari a 1.5. Lo stesso vale per i semilavorati di tipo B, che per`o arrivano pi`u di rado;
il loro numero medio in un’ora `e 0.5.
Davanti al forno c’`e un reparto di attesa in cui i pezzi vengono messi in ordine e vengono serviti secondo l’ordine di arrivo.
i) Se consideriamo i semilavorati senza distinguerli per tipo, qual’`e il numero medio di arrivi in un’ora? E la probabilit`a di avere al massimo un arrivo in un’ora? Giustificare la risposta.
ii) Un eccessivo accumulo di pezzi nel reparto di attesa `e giudicato poco conveniente per cui, se c’`e gi`a un pezzo in attesa, i successivi vengono deviati verso altre lavorazioni o altri forni. Quindi nel reparto di attesa c’`e al massimo un pezzo. Descrivere questo sistema con un processo di Markov a salti. Fare molta attenzione agli stati che si devono usare. [Sugg.: servono 4+2+1 stati.]
iii) Proseguendo il punto (ii), se ad un certo punto il reparto di attesa `e vuoto ma c’`e un pezzo di tipo A nel forno, `e pi`u probabile che il prossimo evento che osserveremo sia un arrivo di tipo A, o di tipo B, o il completamento della lavorazione del pezzo nel forno? Giustificare rigorosamente la risposta.
iv) Se in un certo periodo viene interrotta la produzione di tipo B e si decide di accettare nel reparto di attesa un numero illimitato di pezzi, in media quanti ne troveremo nel reparto di attesa? Giustificare la risposta coi calcoli necessari.
Esercizio 2. Osserviamo come cambia nel tempo il capitale, in milioni di euro, di una grande azienda. Osserviamo i cambiamenti a tempo discreto, mese per mese. Indichiamo con Cn il capitale relativo al mese n-esimo.
Crescita e descrescita del capitale sono influenzati da fattori di mercato e fattori finanziari. Se nel mercato si realizza una situazione di tipo M 1, le vendite sono inibite e c’`e una perdita di 0.5 milioni di euro. Se invece la situazione `e di tipo M 2, c’`e un guadagno 0.5. Parallelamente, in modo indipendente, agiscono i fattori finanziari: se essi sono di tipo F 1, c’`e una perdita di 0.5 milioni di euro, mentre se `e di tipo F 2, c’`e un guadagno di 0.5. Per esemplificare, durante un certo mese, possono accadere contemporaneamente le eventualit`a M 1 ed F 2.
Vale P (M 1) = 0.4, P (M 2) = 0.6, P (F 1) = 0.7, P (F 2) = 0.3.
Supponiamo per`o che il capitale non possa scendere sotto il valore 10: se
in un certo mese il capitale `e pari a 10, cio`e Cn = 10, entrano in gioco fi- nanziamenti esterni ed il capitale passa comunque al valore 11, Cn+1 = 11, indipendentemente da ogni fattore di mercato o finanziario.
i) Descrivere il capitale Cn con una catena di Markov a tempo discreto, dichiarando con chiarezza gli stati e facendo capire bene come si sono calcolate le probabilit`a di transizione.
ii) Calcolare la distribuzione invariante. Si faccia attenzione al fatto che le probabilit`a di transizione dallo stato 10 sono anomale.
iii) Calcolare il capitale medio, a regime.
1 Soluzioni
Esercizio 1. i) Il numero NtA di arrivi, entro il tempo t, di pezzi di tipo A,
`e una v.a. di Poisson di parametro λA· t, e similmente per i pezzi di tipo B.
Usando le ore come unit`a di misura temporale, il testo dice che (per t = 1) vale E£
N1A¤
= 1.5, quindi essendo E£ N1A¤
= λA, abbiamo λA = 1.5. Similmente λB = 0.5.
Il numero complessivo Ntdi arrivi, entro il tempo t, `e la somma Nt= NtA+ NtB.
Quindi
E [N1] = E£ N1A¤
+ E£ N1B¤
= 2.
Supponendo poi indipendenti i due tipi di arrivi, la v.a. Nt `e di Poisson di parametro λA+ λB (questo si pu`o ricollegare ad esempio al teorema sul minimo di v.a. esponenziali). Quindi
P (N1≤ 1) = P (N1= 0) + P (N1= 1) = e−2(1 + 2) = 0.406.
Osserviamo che le varie affermazioni si possono giustificare anche in altri modi sulla base delle cose dette nel corso; in particolare, facendo riferimento al fatto che la somma di due processi di Poisson indipendenti `e di Poisson, con parametro pari alla somma dei parametri.
ii) Nello stato dobbiamo dire che pezzo `e nel forno, che pezzo `e in attesa, ed includere anche i casi in cui l’attesa sia vuota e sia l’attesa sia il forno siano vuoti. Usiamo i seguenti stati:
(A, A) = A in attesa, A nel forno (A, B) = A in attesa, B nel forno (B, A) = B in attesa, A nel forno (B, B) = B in attesa, B nel forno (A) = A nel forno e attesa vuota (B) = B nel forno e attesa vuota
∅ sistema vuoto.
Le transizioni ed i loro tassi sono:
(A, A) → (A) con tasso 1 1/2 = 2 (A, B) → (A) con tasso 1
5/6 = 6 5 (B, A) → (B) con tasso 1
1/2 = 2 (B, B) → (B) con tasso 1
5/6 = 6 5 (A) → ∅ con tasso 1
1/2 = 2 (A) → (A, A) con tasso 1.5 (A) → (B, A) con tasso 0.5 (B) → ∅ con tasso 1
5/6 = 6 5 (B) → (A, B) con tasso 1.5 (B) → (B, B) con tasso 0.5
∅ → (A) con tasso 1.5
∅ → (B) con tasso 0.5.
iii) La probabilit`a che il prossimo evento sia un arrivo di tipo A `e 1.5
2 + 1.5 + 0.5 = 0.375;
che sia un arrivo di tipo B `e
0.5 2 + 1.5 + 0.5
che sicuramente `e inferiore; che sia il completamento della lavorazione `e 2
2 + 1.5 + 0.5
che `e superiore. Quindi `e pi`u probabile osservare il completamento della lavo- razione.
iv) Questa `e una semplice catena di nascita e morte con tasso di arrivo λA= 1.5 e tasso di servizio 2. Si devono usare le solite formule per le distribuzioni invarianti, con ρ = 1.52 = 0.75, da cui πk = (1 − 0.75) 0.75k; ricordando che k rappresenta il numero di pezzi nel sistema (incluso il forno), quindi πk `e la probabilit`a che ci siano k pezzi nel sistema, la v.a. numero di pezzi nel reparto di attesa vale k − 1 con probabilit`a πk, quindi il numero medio di pezzi nel
reparto di attesa `e X∞ k=1
(k − 1) πk = X∞ k=1
kπk− X∞ k=1
πk= X∞ k=0
kπk− (1 − π0)
= 0.25 X∞ k=0
k · 0.75k− 0.75
=0.75
0.25− 0.75 = 2.25.
Esercizio 2. i) Gli stati sono i numeri k = 10, 11, 12, ecc., ovvero tutti gli interi maggiori o uguali a 10. Se siamo in 10, con probabilit`a 1 andremo in 11:
p10,11 = 1.
Se siamo in un qualsiasi k ≥ 11, quando accade (M 1, F 1) c’`e una perdita di 1 milione di euro, quindi andiamo in k−1. Se accade (M 1, F 2) perdita e guadagno si compensano, quindi restiamo in k. Lo stesso vale se accade (M 2, F 1). Infine, se accade (M 2, F 2) c’`e un guadagno di 1 milione di euro, quindi andiamo in k + 1. Vale inoltre
P (M 1, F 1) = 0.4 · 0.7 P (M 1, F 2) = 0.4 · 0.3 P (M 2, F 1) = 0.6 · 0.7 P (M 2, F 2) = 0.6 · 0.3.
In conclusione,
pk,k−1= 0.4 · 0.7
pk,k = 0.4 · 0.3 + 0.6 · 0.7 pk,k+1= 0.6 · 0.3.
ii) Translando tutta la teoria nota in avanti di 10, vale a10= 1 (per conven- zione)
a11= 1 0.4 · 0.7 a12= 1 · 0.6 · 0.3
(0.4 · 0.7)2 ...
a10+j= 1 · (0.6 · 0.3)j−1 (0.4 · 0.7)j quindi in effetti vale la formula
j−1
(solo a10 fa eccezione alla formula generale), riscrivibile in vari modi, ad es.
a10+j= 1
0.4 · 0.7ρj−1 per ogni j ≥ 1 con ρ = 0.6 · 0.3
0.4 · 0.7. Allora
X∞ k=10
ak= 1 + X∞ j=1
1
0.4 · 0.7ρj−1= 1 + 1 0.4 · 0.7
X∞ j=1
ρj−1
= 1 + 1 0.4 · 0.7
X∞ i=0
ρi= 1 + 1 0.4 · 0.7
1
1 −0.6·0.30.4·0.7 = 11 quindi π10= 111, ed in generale per j ≥ 1
π10+j = π10a10+j = 1
11 · 0.4 · 0.7ρj−1. iii) A regime,
E [Cn] = X∞ k=10
kπk= 10 11+
X∞ j=1
(10 + j) 1
11 · 0.4 · 0.7ρj−1
=10 11+ 1
3.08
10X∞
j=1
ρj−1+ X∞ j=1
jρj−1
=10 11+ 1
3.08
10 1 1 − ρ+1
ρ X∞ j=1
jρj
=10 11+ 1
3.08 Ã
10 1
1 − ρ+ 1 (1 − ρ)2
!
= 12. 545.
