Corso di Analisi Matematica II. Funzioni tra spazi euclidei di dimensione finita: continuità e limiti

a.a. 2021/2022 Laurea triennale in Fisica

Corso di Analisi Matematica II

Funzioni tra spazi euclidei di dimensione finita:

continuit` a e limiti

Avvertenza

Al termine della lezione queste pagine verranno rese disponibili online;

non `e quindi necessario copiarne il contenuto.

Terminologia

In questo corso consideriamo funzioni tra spazi euclidei di dimensione finita, cio`e funzioni aventidominio contenuto in Rⁿ ecodominio contenuto in R^m, conn, m ∈ N^∗.

Perm = 1parliamo difunzioni reali(oscalari) di una o pi`u variabili reali.

Perm ≥ 2parliamo difunzioni vettorialidi una o pi`u variabili reali;

se n = m parliamo dicampi vettoriali.

Esempi

• Sia n ≥ 2 e sia i ∈ {1, . . . , n}.

La funzioneπ_i: Rⁿ→ Rche a ogni x ∈ Rⁿ associa la i -esima coordinata x_i

`

e una funzione reale di n variabili reali, che si chiamaproiezione sull’asse i -esimooppure i -esima proiezione.

• Siano M, G ∈ R^∗+.

La funzione f : (R³)^∗→ R³tale che f (x) = −M G x

kxk³ `e un campo vettoriale. Lo riconoscete?

1

Osservazione

Assegnare una funzione vettoriale f : A ⊆ Rⁿ→ R^m equivalead assegnare una m-upla ordinata di funzioni reali definite in A.

Infatti, data f : A ⊆ Rⁿ→ R^m possiamo comporre f con le proiezioni sugli assi, ottenendo m funzioni reali definite in A:

f₁:= π₁◦ f , . . . , f_m:= π_m◦ f.

Notiamo che per ogni x ∈ A il numero reale f_i(x) `e la i -esima componente del vettore f (x); pertanto:

(∗) f (x) = f1(x), . . . , fm(x)

per ogni x ∈ A.

Viceversa, data una m-upla ordinata (f₁, . . . , f_m) di funzioni reali definite in A, possiamo definire tramite (∗) la funzione vettoriale f : A → R^mche a ogni x ∈ A associa il vettore di componenti f1(x), . . . , fm(x).

Le funzioni f₁, . . . , f_m che soddisfano (∗) si chiamanofunzioni componenti di f.

2

Esempi

• La funzione f : R → R²tale chef (t) = cos(t), sin(t)

`e una funzione vettoriale di una variabile reale, le cui componenti sono, nell’ordine, la funzionecosenoe la funzione seno.

• La funzione f : R³→ R²tale chef (x₁, x₂, x₃) = (x₁+ x₂, x₁x₃²)`e una funzione vettoriale di tre variabili reali, le cui componenti sono, nell’ordine, le funzionif₁(x₁, x₂, x₃) = x₁+ x₂ef₂(x₁, x₂, x₃) = x₁x₃².

• La funzione f : (R³)^∗→ R³tale che f (x) = x

kxk³ `e una funzione vettoriale di tre variabili reali, le cui componenti sono, nell’ordine, le funzioni

f1(x1, x2, x3) = x1

(x₁²+ x₂²+ x₃²)^3/2, f2(x1, x2, x3) = x2

(x₁²+ x₂²+ x₃²)^3/2, f₃(x₁, x₂, x₃) = x₃

(x₁²+ x₂²+ x₃²)^3/2.

3

Osservazione (operazioni algebriche)

Dati A ⊆ Rⁿ, f , g : A → R^m, ϕ : A → R, λ ∈ R, si definiscono le seguenti funzioni:

• f + g:= x ∈ A 7→f (x) + g (x ) somma

• f − g:= x ∈ A 7→f (x) − g (x ) differenza

• λ f := x ∈ A 7→λ f (x) multiplo

• ϕ f := x ∈ A 7→ϕ(x) f (x) prodotto per funzione reale

• f · g:= x ∈ A 7→f (x) · g (x ) prodotto scalare

• f × g := x ∈ A 7→f (x) × g (x ) prodotto vettoriale (solo perm = 3) Solo perm = 1si definiscono nel modo ovvio anche le funzioniprodotto f g erapporto f

g.

4

Funzioni continue

Siano A ⊆ Rⁿ e f : A → R^m. Sia ¯x ∈ A.

Diciamo chef `e continua in ¯x se per ogni successione {xk} ⊂ A convergente a ¯x, la successione trasformata {f (x_k)} converge a f (¯x).

Dato B ⊆ A, diciamo chef `e continua in B se `e continua in ogni punto di B.

Diciamo chef `e continuase `e continua nel proprio dominio.

Esempi

• Le funzionicostantisono continue.

• Le funzioniproiezioni sugli assisono funzioni continue.

• La funzionenorma euclidea`e una funzione continua. ← ^2adisuguaglianza triangolare

• La funzione definita in R²ponendo

f (x , y ) =





 x y

x²+ y² (x , y ) 6= (0, 0) 0 (x , y ) = (0, 0)

per funzioni di due o tre variabili utilizziamo x , y , z invece di x1, x2, x3

non `e continua in (0, 0).

5

Alcune propriet`a delle funzioni continue

1 Banalit`a della continuit`a delle funzioni vettoriali

Una funzionevettoriale`e continua in un punto del proprio dominio se e solo se lo sono tutte le sue componenti.

2 Continuit`a e operazioni algebriche

Con le notazioni della osservazione di pagina 4, se f , g e ϕ sono continue (in un punto, in un insieme), lo sono anche tutte le funzioni ottenute attraverso le operazioni algebriche.

3 Continuit`a e composizione funzionale Siano A ⊆ Rⁿ e B ⊆ R^m.

Sia f : A → Rⁿ, con f (A) ⊆ B, e sia g : B → R^p. Sia ¯x ∈ A.

Supponiamo chef sia continua in ¯x e cheg sia continua in f (¯x).

Allora: la funzione compostag ◦f `e continua in ¯x.

6

Esempi

Stabilire se le funzioni a pagina 3 sono continue nei rispettivi domini.

Osservazione

Lefunzioni polinomialie lefunzioni razionalisono continue nei rispettivi domini.

↑ ↑

funzioni reali di pi`u variabili reali rapporti di funzioni polinomiali ottenute sommando un numero

finito di multipli di prodotti di proiezioni sugli assi

7

Proposizione (caratterizzazioni della continuit`a, in un punto e in un insieme) Siano A ⊆ Rⁿ e f : A → R^m.

• Sia ¯x ∈ A.

Allora: f `econtinua in ¯x se e solo se `e soddisfatta una delle seguenti propriet`a, tra loro equivalenti:

(a)per ogni ε ∈ R^∗+esiste δ ∈ R^∗+ tale che per ogni x ∈ A con kx − ¯xk_Rn < δ risulta kf (x) − f (¯x)k_R^m < ε; ← per chiarezza esplicito lo spazio ↑ (b) per ogni intorno V di f (¯x) esiste un intorno U di ¯x tale che f (U) ⊆ V .

• Se A `e un insiemeaperto, allora f `econtinua in Ase e solo se l’immagine reciproca tramite f di un qualsiasi sottoinsieme aperto di R^m `e un sottoinsieme aperto di Rⁿ.

• Se A `e un insiemechiuso, allora f `econtinua in Ase e solo se l’immagine reciproca tramite f di un qualsiasi sottoinsieme chiuso di R^m `e un sottoinsieme chiuso di Rⁿ.

8

Esempi

Utilizzando le caratterizzazione della continuit`a in un insieme, stabilire se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi:

• E1= R²\ {(0, 0)}

• E₂=(x, y ) ∈ R²| 2 ≤ x + 3 y ≤ 10

• E3=(x, y , z) ∈ R³| x²+ y²≤ 9 , 0 ≤ z ≤ 4

Osservazione

Se f `e continua ma il suo dominio non `e aperto [chiuso], non `e detto che la immagine reciproca di un insieme aperto [chiuso] sia un sottoinsieme aperto [chiuso] di Rⁿ. Esempi:

• f⁻¹([4, +∞[), con f (x , y ) = 1 x²+ y²

• f⁻¹(]−∞, 3[), con f (x , y ) =p

x²+ y²− 1

9

Teoremi fondamentali sulle funzioni continue

1 Teorema di Weierstrass per funzioni vettoriali Sia A ⊆ Rⁿ e sia f : A → R^m una funzionecontinua.

SeA`ecompatto, alloraf (A)`ecompatto.

2 Teorema di Weierstrass per funzioni reali

Sia A ⊆ Rⁿ e sia f : A → R una funzionecontinua.

SeA`ecompatto, allora f hamassimo eminimo.

3 Teorema di Cantor

Sia A ⊆ Rⁿ e sia f : A → R^m una funzionecontinua.

SeA`ecompatto, allora f `euniformemente continua, cio`e:

per ogni ε ∈ R^∗+ esiste δ ∈ R^∗+tale che per ogni x, y ∈ A con kx − y k_Rn < δ risulta kf (x) − f (y )k_R^m < ε.

4 Teorema dei valori intermedi

Sia A ⊆ Rⁿ e sia f : A → R^m una funzionecontinua.

SeA`econnesso, alloraf (A)`econnesso.

Dimostrazione di ¹ e di ⁴ ← per A aperto . . . 10

Limiti per funzioni di pi` u variabili reali

Ricordiamo la definizione di limite per funzioni reali di variabile reale:

Sia f : A ⊆ R → R. Sia ¯x ∈ R un punto di accumulazione di A e sia ` ∈ R.

R ∪ {−∞, +∞}

↑

Diciamo cheesiste il limite di f (x ) per x che tende a ¯x ed `e uguale a `se vale una delle seguenti propriet`a, tra loro equivalenti:

(a) per ogni successione {xk} di elementi diA \ {¯x }che ha limite ¯x , la successione trasformata {f (x_k)} ha limite `;

(b) per ogni W<sub>`</sub> intorno di ` esiste V_x¯intorno di ¯x tale che per ogni x ∈ A ∩ Vx¯\ {¯x } risulta f (x ) ∈ W`.

In tal caso scriviamo lim

x →¯xf (x ) = `, oppuref (x ) → ` per x → ¯x.

Gli “ingredienti” di questa definizione sono le nozioni di:

• punto di accumulazione del dominio,

• successione avente limite (finito o infinito) / intorno di un elemento di R.

11

Consideriamo ora una funzione f : A ⊆ Rⁿ→ R^m, con n, m ∈ N^∗, n + m ≥ 3.

altrimenti siamo nel caso gi`a considerato ↑ Poich´e in R<sup>n</sup> e R<sup>m</sup>hanno senso le nozioni di punto di accumulazione, intorno di un punto e successione convergente, la definizione di limite si estende verbatim perx ∈ R¯ <sup>n</sup>e` ∈ R^m: (in sospeso per ora: limite all’infinito e limite infinito)

Sia ¯x ∈ Rⁿ un punto di accumulazione di A e sia ` ∈ R^m.

lim

x→¯xf (x) = ` ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {x_k} ⊂ A \ {¯x} che converge a ¯x, la successione trasformata {f (xk)} converge a `

⇐⇒DEF

intorni ∀ε ∈ R^∗+ ∃ δ ∈ R^∗+ t.c.

∀x ∈ A , 0 < kx − ¯xk_Rn < δ : kf (x) − `k_Rm < ε

12

Osservazione (banalit`a del limite delle funzioni vettoriali) Sia f : A ⊆ Rⁿ→ R^m, conm ≥ 2.

Sia ¯x ∈ Rⁿ un punto di accumulazione di A e sia ` ∈ R^m.

Per ogni i ∈ {1, . . . , m}, denotiamo con fi e `i, rispettivamente, la i -esima componente di f e di `.

Allora:

lim

x→¯xf (x) = ` ⇐⇒ lim

x→¯xfi(x) = `i per ogni i ∈ {1, . . . , m}.

Conseguenza: possiamo concentrare la nostra attenzione sul calcolo dei limiti di funzionirealidi pi`u variabili reali.

13

Esempi

Verificare i seguenti limiti attraverso la definizione:

• lim

(x ,y )→(0,0)

(x²+ y²) sin

 1

x + y



= 0

• lim

(x ,y )→(0,0)

3 x³+ 2 x²+ 2 y² x²+ y² = 2

• lim

(x ,y )→(1,1)

(y − 1)⁴

x²+ y²+ 2(1 − x − y ) = 0

• lim

(x ,y )→(0,0)

x³y

x⁴+ y² = 0 ←

`E utile tenere presente che

per ogni a, b ∈ R: |a b| ≤ a²+ b² 2

• lim

(x ,y ,z)→(0,0,0)

(x + y ) z⁴ x⁴+ y²+ z⁴ = 0

14

Supponiamo ora che A, il dominio di f , sia un insieme illimitatoe introduciamo la nozione dilimite all’infinito. relazione d’ordine totale

↓ ↓

Sen = 1, ha senso considerare illimite per x che tende a +∞ oppure a −∞, a seconda che A sia illimitato superiormente oppure inferiormente.

Diamo la definizione con le successioni, per ` ∈ R^m, m ≥ 2:

↑ per esercizio: dare tutte le definizioni con gli intorni

x →+∞lim f (x ) = ` ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {xk} ⊂ A tale che xk → +∞, la successione trasformata {f (xk)} converge a `

x →−∞lim f (x ) = ` ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {xk} ⊂ A tale che xk → −∞, la successione trasformata {f (xk)} converge a `

Sen ≥ 2, definiamo illimite per kxk che tende a +∞. Per ` ∈ R^m: lim

kxk→+∞f (x) = ` ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {xk} ⊂ A tale che kxkk → +∞, la successione trasformata {f (xk)} converge a `

↓ ???

15

Osservazione

Condizione sufficiente affinch´e una successione abbia norma divergente `e che almeno una delle sue componenti abbia valore assoluto divergente.

E anche necessaria? No! Esempio . . .`

Nota

Anche per i limiti all’infinito vale la banalit`a del limite delle funzioni vettoriali, quindi possiamo concentrarci sul calcolo del limite di funzionireali.

Esempio

Verificare il seguente limite attraverso la definizione:

lim

k(x ,y )k→+∞

x²+ y² x⁴+ y⁴ = 0

16

Generalizziamo infine la nozione dilimite infinito.

Sem = 1ha senso parlare difunzione divergente positivamente o negativamente per x che tende a ¯x ∈ Rⁿ, n ≥ 2:

lim

x→¯xf (x) = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {x_k} ⊂ A \ {¯x} che converge a ¯x, la successione trasformata {f (xk)} diverge a +∞

x→¯limxf (x) = −∞ ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {xk} ⊂ A \ {¯x} che converge a ¯x, la successione trasformata {f (x_k)} diverge a −∞

Se A `eillimitato, possiamo definire una funzione divergente positivamente o negativamente all’infinito:

lim

kxk→+∞f (x) = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {xk} ⊂ A tale che kxkk → +∞, la successione trasformata {f (xk)} diverge a +∞

lim

kxk→+∞f (x) = −∞ ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {x_k} ⊂ A tale che kx_kk → +∞, la successione trasformata {f (xk)} diverge a −∞ 17

Sem ≥ 2ha senso definire unafunzione con norma divergente.

Per ¯x ∈ Rⁿ, con n ∈ N^∗: lim

x→¯xkf (x)k = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

per ogni successione {x_k} ⊂ A \ {¯x} che converge a ¯x, si ha kf (xk)k → +∞

Se A `e illimitato, n ≥ 2:

lim

kxk_Rn→+∞kf (x)k_Rm = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

∀{xk} ⊂ A t.c. kxkk_Rn → +∞ : kf (x_k)k_Rm → +∞

Se A `e illimitato, n = 1:

x →+∞lim kf (x )k = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

∀{xk} ⊂ A t.c. xk → +∞ : kf (xk)k → +∞

x →−∞lim kf (x )k = +∞ ⇐⇒^DEF

succ.

∀{xk} ⊂ A t.c. xk → −∞ : kf (xk)k → +∞

18

Esempi

Verificare i seguenti limiti attraverso la definizione:

• lim

(x ,y )→(0,0)

1

x²+ y⁴ = +∞

• lim

k(x ,y )k→+∞

x⁴+ y⁴ x²+ y² = +∞

• lim

(x ,y ,z)→(0,0)

 1

x², 3 + y z³, x²y



= +∞

19

Osservazione (estensione di risultati noti dal corso di Analisi Matematica I)

• Leregole algebrichesui limiti di successioni si estendono banalmente alle funzioni convergenti.

Per funzioni reali di pi`u variabili reali, per le quali ha senso parlare anche di limiti infiniti, le regole algebriche si generalizzano con le medesime precauzioni adottate per le funzioni reali di una variabile reale.

• I risultati supermanenza del segno e delle disuguaglianzee suconvergenza e divergenza obbligata si estendono alle funzioni reali di pi`u variabili reali.

• Il teorema sullimite della funzione compostasi estende senza eccezioni.

20

Osservazione (caratterizzazione della continuit`a mediante i limiti) Sia f : A ⊆ Rⁿ→ R^m e sia ¯x ∈ A.

E facile riconoscere che:`

• se ¯x `e unpunto isolato di A, allora f `e continua in ¯x;

• se ¯x `e unpunto di accumulazionedi A, allora:

f `e continua in ¯x se e solo se lim

x→¯xf (x) = f (¯x).

Pertanto, per una funzione continua gli unici limiti “significativi” sono

• i limiti per x che tende a ¯x, con ¯x punto di accumulazione del dominio che nonappartiene al dominio;

• i limiti all’infinito (se il dominio `e illimitato).

Esempio

Individuare i limiti significativi della funzione f (x , y ) = arctan

 x

x²+ y²

 .

21

Come calcolare i limiti per funzioni reali di pi` u variabili

↑ non restrittivo, per banalit`a del limite delle funzioni vettoriali Osservazione preliminare

Sia f : A ⊆ Rⁿ→ R e sia ¯x un punto di accumulazione di A.

Supponiamo che esista lim

x→¯xf (x) =: ` ∈ R. Allora:

ogni restrizione di f per la quale abbia senso calcolare il limite per x → ¯x ha lo stesso limite.

In simboli: per ogni B ⊂ A tale che ¯x ∈ Dr (B) risulta lim

x→¯xf_|B(x) = `.

Strategia conseguente:

• se riesco a individuare una restrizione di f che non ha limite per x → ¯x, oppure due restrizioni di f che hanno limiti diversi per x → ¯x,

allora deduco che f nonha limite per x → ¯x;

• se, per x che tende a ¯x, una o pi`u restrizioni producono il limite `, allora congetturoche f abbia limite ` e loverificoutilizzando la definizione di limite. come fatto negli esempi di pag. 14, 16, 18 ↑

Nota: analoghe considerazioni valgono per ilimiti all’infinito. 22

Esempi

Individuare e calcolare (se esistono) i limiti significativi delle seguenti funzioni:

• f (x , y ) = arctan

 x

x²+ y²



• f (x , y ) = x y

x²+ y² Attenzione ai “limiti iterati” . . .

• f (x , y ) = x²y x⁴+ y²

• f (x , y ) = x³y² 4 x²+ y²

• f (x , y ) = x²y x²− y²

• f (x , y ) = ln(1 + x y ) x²+ y²

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Esempi

• Studiare la continuit`a della funzione definita ponendo

f (x , y ) =







x y (x²− y²)

x²+ y² (x , y ) 6= (0, 0) 0 (x , y ) = (0, 0)

• Stabilire se la funzione definita ponendo

f (x , y ) =









 1 −p

1 − x²− y²

x²+ y² (x , y ) 6= (0, 0) 1

2 (x , y ) = (0, 0)

ammette estremi globali nel proprio dominio.

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A P P E N D I C E

25

Caratterizzazione della continuit` a mediante limiti

Caratterizzazione della continuit`a mediante gli intorni:

f continua in ¯x ⇐⇒ ∀ε ∈ R^∗+ ∃ δ ∈ R^∗+ t.c. ∀x ∈ A :

kx − ¯xk_Rⁿ < δ =⇒ kf (x) − f (¯x)k_R^m < ε

Definizione di limite mediante gli intorni, con ` = f (¯x):

x→¯limxf (x) = f (¯x) ⇐⇒ ∀ε ∈ R^∗+ ∃ δ ∈ R^∗+ t.c. ∀x ∈ A :

0 < kx − ¯xk_Rⁿ < δ =⇒ kf (x) − f (¯x)k_R^m < ε

26