CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀDI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILICONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀDI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

(1)

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Estensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite

di continuità e di limite

alle funzioni di più variabili alle funzioni di più variabili

 Derivate direzionali Derivate direzionali e derivate parziali

e derivate parziali

 Differenziale di una Differenziale di una funzione

funzione

(3)

Continuità di funzioni Continuità di funzioni

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

ⁿⁿ

^R ^R

(4)

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

ⁿⁿ

^R ^R

è continua in x⁰= (x⁰₁, x⁰₂,… x⁰_n)^T è continua in x⁰=

(x⁰₁, x⁰₂,… x⁰_n)^T

se per ogni V intorno dise per ogni V intorno di

f f

^(x^(x⁰⁰⁾⁾

esiste U intorno di xesiste U intorno di x⁰⁰

f f

(5)

RRⁿⁿ f(xf(x⁰⁰))

RR

XX⁰⁰ AA VV

UU

(6)

Limite di funzioni Limite di funzioni

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

ⁿⁿ

^R ^R

(7)

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

ⁿⁿ

^R ^R

ha limite

l

per x che tende a x⁰= (x⁰₁, x⁰₂,… x⁰_n)^T

ha limite

l

per x che tende a x⁰= (x⁰₁, x⁰₂,… x⁰_n)^T

se per ogni V intorno dise per ogni V intorno di

l l

esiste U intorno di xesiste U intorno di x⁰⁰

 x  UA è  x  UA è

f f

^{(x)  V}^{(x)  V}

(8)

Una funzione Una funzione

ma con restrizione ma con restrizione di due variabili di due variabili

non continua in (0,0) non continua in (0,0)

^T^T

ad ogni retta ad ogni retta

per l’origine continua per l’origine continua

(9)

ff ((xx,,yy))

00 sese((xx,,yy))^T^T((00,,00))^T^T,, x yx y

xx²²yy sese xx²²yy 00..











(10)

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine

x =  t, y =  t, si trova

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine

x =  t, y =  t, si trova

ff((

 

^t^t^,^,

 

^t^t⁾⁾⁼⁼

00 sese tt==00,,

 

²² ^t^t+⁺

 

sese

 

²² ^t^t²²⁺⁺

 

^t^t ⁰⁰

•• ••











••

 

^•^•^t^t _•_• __

(11)

lim lim

tt Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette 00

f f ( (   ^t ^t ^, ^, _ _ ^t ^t ⁾ ⁾   0 0   f f ( ( 0 0 , , 0 0 ) )

per l’origine è continua per l’origine è continua

Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette

per l’origine è continua per l’origine è continua

(12)

Ma la restrizione all’iperbole Ma la restrizione all’iperbole per l’origineper l’origine

y = k xy = k x²²/(x -k), con k ≠ 0, /(x -k), con k ≠ 0,

ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

(13)

Anche il limite della funzioneAnche il limite della funzione

La funzione

non è continua in (0,0)^T. La funzione

non è continua in (0,0)^T. preso lungo l’iperbolepreso lungo l’iperbole

vale k ≠ 0 = f(0,0). vale k ≠ 0 = f(0,0).

(14)

-0.5-0.5 -1-1 -1.5-1.5

-2-2

Caso k = 2 Caso k = 2

11 -0.5-0.5 00 0.50.5 11

(15)

0 200

100

0

-100

-200

y

0 0 -0.5

-1 -1.5

-2

x 0

2

1

0

-1

-2 0

200

100

0

-100

-200

y

0 0 -0.5

-1 -1.5

-2

x 0

2

1

0

-1

-2

(16)

Derivate Derivate direzionali direzionali

e derivate e derivate

parziali

(17)

(x (x

⁰⁰

, y , y

⁰⁰

) )

^T^T

A A

(18)

∂x∂f ^x^^x⁰ f(x, y⁰)-f(x⁰,y⁰) x- x⁰

(x⁰,y⁰) =lim _____________

∂y∂f (x⁰,y⁰) = lim

yy⁰ f(x_____________⁰, y)-f(x⁰,y⁰) y- y⁰

Più in generale

∂x∂f_k (x₁⁰,..,x_k⁰,.., x_n⁰) =

f(x____________________________⁰,..,x_k,.., x_n⁰) - f(x⁰,..,x_k⁰,.., x_n⁰)

= lim

(19)

Sia =(₁,…, _n)^T un versore di Rⁿ e sia x(t)= x⁰+ t una retta passante per x⁰

e avente direzione .

La derivata di f in direzione , nel punto x⁰ è data da

∂f

∂ (x₁⁰,..,x_k⁰,.., x_n⁰) = lim f(x⁰+ t)- f(x⁰)

t0

____________

t

(20)

Funzione Funzione Funzione Funzione

non continua non continua non continua non continua

con tutte le derivate con tutte le derivate con tutte le derivate con tutte le derivate

direzionali

direzionali direzionali direzionali

nulle in (0,0)

nulle in (0,0) nulle in (0,0) nulle in (0,0)

(21)

ff ((xx,,yy)) 

00 sese ((xx,,yy))^T^T ((00,,00))^T^T,, xx²² yy

xx ⁴⁴  yy²²













22

sese ((xx,,yy))^T^T ((00,,00))^T^T..











(22)

Sia Sia   = = (cos (cos   , sen _{, sen}   ) ₎

^T^T

e e    _ t t una retta per l’origine

una retta per l’origine

(23)

per t ≠ 0, e si ha per t ≠ 0, e si ha

 

))²² ff(cos(cos

 

^{t, sen}^{t, sen} _ coscos⁴⁴

 

^sen^sen²²

 

^t^t

(cos(cos⁴⁴

 

^t^t²²⁺⁺^sen^sen²²

  ^ ^  

^t)^t)

   

 

(24)

limt 0 f (cos t,sen t)  f(0,0)

t 

limt 0

cos⁴  sen² t cos⁴ t²  sen² 

( )²

 0.

(25)

Ma Ma f(x,y)f(x,y)

non è continua non è continua

nell’origine.

Infatti la restrizione Infatti la restrizione alle parabole passanti alle parabole passanti per l’origine

per l’origine y =y =xx²² ( ( ≠ 0) ≠ 0) ha valore costante:

ha valore costante:

(26)

f(x,    x

²

)= 

²

/(1+ 

²

)

(27)

0 0.25

0.2 0.15 0.1 0.05 0

0 y

2

1

0

-1

-2 x

0

2 1

0 -1

-2

(28)

Differenziale Differenziale

di una funzione di una funzione

di più variabili

(29)

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

ⁿⁿ

^R ^R

si dice differenziabile in x⁰= (x⁰₁, x⁰₂,… x⁰_n)^T

se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione

linearelineare

L L

: :

R R

ⁿⁿ^^

R R

tale che tale che

f

^{(x) =}

f

^(x⁰⁾⁺

^L

^{(x- x}⁰⁾⁺

^

^(x)|x- x⁰|

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀDI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILICONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀDI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Estensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite

di continuità e di limite

alle funzioni di più variabili alle funzioni di più variabili

 Derivate direzionali Derivate direzionali e derivate parziali

e derivate parziali

 Differenziale di una Differenziale di una funzione

funzione

Continuità di funzioni Continuità di funzioni

f f : A R : A R  

R R

f f : A R : A R  

R R

f f

f f

Limite di funzioni Limite di funzioni

f f : A R : A R  

R R

f f : A R : A R  

R R

l

l

l l

f f

Una funzione Una funzione

ma con restrizione ma con restrizione di due variabili di due variabili

non continua in (0,0) non continua in (0,0)

ad ogni retta ad ogni retta

per l’origine continua per l’origine continua

 

 

 

 

 

 

 

 

lim lim

f f ( (   t t , ,   t t ) )   0 0   f f ( ( 0 0 , , 0 0 ) )

Caso k = 2 Caso k = 2

Derivate Derivate direzionali direzionali

e derivate e derivate

parziali

parziali

(x (x

, y , y

) )

A A

Funzione Funzione Funzione Funzione

non continua non continua non continua non continua

con tutte le derivate con tutte le derivate con tutte le derivate con tutte le derivate

direzionali

direzionali direzionali direzionali

nulle in (0,0)

nulle in (0,0) nulle in (0,0) nulle in (0,0)

Sia Sia   = = (cos (cos   , sen , sen   ) )

e e     t t una retta per l’origine

una retta per l’origine

per t ≠ 0, e si ha per t ≠ 0, e si ha

 

 

 

 

 

     

   

 

f(x,    x

)= 

/(1+ 

)

Differenziale Differenziale

di una funzione di una funzione

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

^R ^R

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

^R ^R

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

^R ^R

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

^R ^R

f f ( (   ^t ^t ^, ^, _ _ ^t ^t ⁾ ⁾   0 0   f f ( ( 0 0 , , 0 0 ) )

Sia Sia   = = (cos (cos   , sen _{, sen}   ) ₎

e e    _ t t una retta per l’origine

  ^ ^  

f f ^{: A R} ^{: A R} ^ ^

^R ^R

^L

^