il Laplaciano Superficiale;

A A p p p p e e n n d d i i c c e e

R R i i s s o o l l u u z z i i o o n n e e s s p p a a z z i i a a l l e e d d e e l l l l ’ ’ E E E E G G

L’interpretazione dei “dipole fits” usata in questo lavoro di tesi per la localizzazione delle sorgenti corticali è solo una possibile soluzione del problema elettromagnetico inverso; sono stati, infatti, sviluppati dei metodi che non sfruttano le ipotesi sulla quantità e sulla distribuzione delle sorgenti nel cervello. Tra queste metodologie le più diffuse sono:

il Laplaciano Superficiale;

la deconvoluzione spaziale.

Laplaciano Superficiale

La densità di corrente radiale, che fluisce dalla corteccia cerebrale verso lo

scalpo e viceversa, è legata, tramite la generalizzazione vettoriale

dell’equazione di Ohm, al Laplaciano Superficiale (SL) della distribuzione di

potenziale. Il Laplaciano Superficiale è la derivata seconda del potenziale

dello scalpo, che è normalmente considerato come un’approssimazione

della superficie della testa.

Se si indica con J il vettore densità di corrente (A/m

), con σ la conducibilità dello scalpo e con E il campo elettrico nel punto P dello scalpo, si può scrivere, in assenza di correnti esterne:

( ^V )

E

J = σ = − σ ∇ ⋅

dove V è la distribuzione del potenziale sulla superficie dello scalpo.

La divergenza superficiale di J , ( ∇ ⋅ J ) allora darà:

V J = − ∇ ²

⋅

∇ σ

Il calcolo della corrente I implica quindi la stima del laplaciano superficiale

2

V

∇ . Questo operatore, applicato al potenziale registrato sullo scalpo, restituisce un campo di valori proporzionali alla densità di corrente, misurabile in µ V/cm

. Indicando con V(P,t) il potenziale sullo scalpo al tempo t nel punto P di coordinate x , y , z , il laplaciano del campo è definito come:

2 2 2 2 2

y V x

V V

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

Il SL viene calcolato su un modello di scalpo realistico tridimensionale mediante uno stimatore basato sulla definizione del laplaciano attraverso il tensore metrico.

Si considera una generica superficie Ω e su di essa un sistema di coordinate

curvilinee non ortogonali:

 ( )



 



=

=

=

v u f z

v y

u x

,

dove le derivate seconde parziali di f(u,v) esistono e sono continue. Se V(u,v) è la distribuzione del potenziale su Ω, il SL di V(u,v) è dato dalla seguente equazione:

( ) ( ) ( )

 





 



 



 





∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂ + ∂

∂

∂

∂

= ∂

∇ v

g V u g V v

g v

g V u g V u

g v g

u

V

2

1

,

dove le componenti del tensore metrico sono calcolate nel seguente modo:

2 2

1 



 





∂ + ∂

 

 





∂ + ∂

= v

f u

g f

g v f g

2

11

1 



 





∂ + ∂

=

g v f u f g

g ∂

∂

∂

− ∂

=

=

12

g u f g

2

22

1 



 





∂ + ∂

=

Per poter calcolare il laplaciano superficiale di una data distribuzione bisogna fare delle derivate spaziali su un modello di scalpo matematico. Ci troviamo quindi di fronte a due problemi: bisogna modellare sia la distribuzione del potenziale che la superficie dello scalpo.

Per risolvere questi problemi vengono usate le funzioni “spline”

bidimensionali e tridimensionali. L’interpolazione spline permette la ricostruzione del potenziale dai dati raccolti da elettrodi disposti irregolarmente sullo scalpo, fornendo una distribuzione del potenziale dove i massimi e i minimi possono trovarsi anche in posizioni inter-elettrodiche.

Il SL agisce quindi come un filtro spaziale passa-alto sul potenziale registrato, evidenziandone le componenti derivanti da sorgenti corticali a sfavore delle componenti generate da strutture più profonde. Infatti i campi di potenziale generati da strutture profonde del cervello possono essere interpretati come responsabili delle basse frequenze spaziali;

mentre le sorgenti corticali sono responsabili delle frequenze più alte,

essendo vicine all’elettrodo esplorante e subendo quindi in misura minore

l’effetto del volume conduttore. L’operatore laplaciano, agendo come

filtro spaziale, elimina le componenti a bassa frequenza spaziale

(eliminando quindi il contributo delle sorgenti più profonde) ed esalta

quelle ad alta frequenza spaziale (evidenziando il contributo di quelle

corticali).

Deconvoluzione spaziale

Questo metodo, elaborando opportunamente la distribuzione di potenziale sullo scalpo, riesce a fornire una rappresentazione molto accurata delle sorgenti corticali. Il metodo di deconvoluzione si distingue da tutti gli altri metodi di risoluzione del problema inverso, per il fatto che esso fornisce direttamente una rappresentazione di ciò che avviene nella corteccia cerebrale essendo legato fortemente alle informazioni circa le proprietà elettriche e geometriche della testa; mentre, le altre metodiche, forniscono solo una proiezione dell’attività corticale sullo scalpo. Al fine di ottenere delle risposte utili al problema della localizzazione è necessario fare delle restrizioni fisiche e/o fisiologiche. La prima ipotesi è che tutte le sorgenti di corrente situate nella corteccia siano assimilabili a dei dipoli orientati normalmente alla superficie cerebrale. In questo modo è possibile costruire uno strato di sorgenti di test al quale è associata una funzione armonica di potenziale, in modo tale da assicurare che il potenziale sullo scalpo, generato dai dipoli di test, sia il più possibile vicino al potenziale registrato realmente. A questo punto, poiché la funzione potenziale relativa alla superficie di test è nota, sarà possibile, attraverso i dati registrati sullo scalpo, calcolare il potenziale in qualsiasi punto all’interno della testa.

Dal punto di vista strettamente matematico: la superficie delle meningi è

suddivisa in triangoli, in particolare si fissa il valore del potenziale sui

baricentri dei triangoli. Per quanto riguarda la superficie di test questa sarà

ottenuta imponendo che vi sia un dipolo per ogni triangolo e che questo

abbia: momento unitario e direzione e verso pari alla normale al triangolo

considerato, diretta verso l’esterno e passante per il baricentro del

triangolo stesso. A questo punto si sfrutta il modello della testa realistico

per calcolare il potenziale generato da ogni dipolo della superficie di test,

su tutti i baricentri delle tre superfici che formano la testa.

Se si indica con ^A ( ^D

^{, P}

) il valore del potenziale, generato dal k-esimo dipolo dello strato di test, nel punto P

(che rappresenta il baricentro dell’i-esimo triangolo appartenente alla i-esima superficie) e con v

,…v

i valori di potenziale registrati sugli M baricentri dei triangoli, sarà possibile calcolare i “pesi” u

…u

che soddisfano le M equazioni con la relazione:

( )

N k

i l k

k

A D P v

u =

∑

, con i=1…N; l=1…M

o in forma matriciale:

 

 

 





 

 

 





=

 

 

 





 

 

 





⋅

 

 

 





 

 

 





n n

MN M

N N

v v v

u u u

A A

A A

A A

A

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

2 1 2

1

1

2 21

1 12

11

Il numero dei triangoli sulle meningi è lo stesso di quello dello scalpo quindi

il numero di dipoli N è pari al numero M di valori di potenziale, di

conseguenza la matrice è quadrata. Il vettore soluzione u rappresenta i

pesi da assegnare ai singoli dipoli di test in modo che essi generino un

campo di potenziale il più simile possibile a quello registrato

sperimentalmente sullo scalpo. Una volta disponibile, questo vettore può

essere utilizzato per il calcolo della distribuzione su di un qualsiasi strato

interno del modello della testa.

Noto questo vettore si può calcolare la configurazione del potenziale sul cervello; questa volta si può utilizzare l’espressione precedente in modo diretto in quanto la:

v u A × =

ha come incognita il vettore v , mentre la matrice A (dei potenziali sulle meningi generati dai dipoli) e il vettore u dei pesi sono noti.

Con il metodo della deconvoluzione spaziale si ottiene un’informazione più

diretta sulle sorgenti corticali dei potenziali evento correlati dello scalpo

rispetto a quella dal laplaciano della distribuzione di potenziale.