Equazione di Dirac

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

Lezione n. 4

7.10.2020

Equazione di Dirac

Descrizione relativistica dello spin Interazione elettromagnetica

Scattering di Coulomb (spin 0)

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

y Un altro metodo per descrivere lo spin fa riferimento al sistema inerziale in cui la particella è a riposo

y Rest Frame: possibile solo per particelle con massa z 0

y Nel sistema di riposo della particella l’Hamiltoniana H commuta con l’operatore di spin Σ

y Gli spinori possono essere anche autostati di Σ y La trattazione coincide con quella non relativistica

y È possibile preparare uno stato φξ polarizzato in una direzione arbitraria

y Ad esempio, nella rappresentazione di Pauli-Dirac

y A questo punto si può applicare una trasformazione di Lorentz che trasforma lo spinore w(0, ξ)

y Dal sistema in cui la particella è a riposo p'^ν = (m, 0)

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

y Ovviamente, in questo modo, abbiamo una complicazione

y Il 4-momento p della particella è definito nel sistema di laboratorio K y Lo spin è definito nel sistema di riposo della particella K'

y Si introduce pertanto un 4-vettore s per la descrizione dello spin y Nel sistema di riposo della particella

y Notiamo che si tratta di un 4-vettore a modulo negativo (space-like) y Inoltre nel sistema di riposo abbiamo

y La relazione s'⋅p'= 0 è invariante e vale in tutti i sistemi di riferimento y Si passa al sistema K mediante una trasformazione Lorentz

y Attenzione: nel sistema di laboratorio K la parte spaziale di s

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

y In forma esplicita, le componenti di s nel sistema K in cui la particella di massa m ha energia E e momento p sono^†§

y Evidentemente ξ_|| e ξ_⊥ sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare alla direzione della quantità di moto

y In forma vettoriale le relazioni precedenti si possono esprimere come

y Notiamo che se la polarizzazione della particella nel suo sistema di riposo è

−ξ nel sistema di laboratorio le 4 componenti di s^μ cambiano tutte di segno rispetto a quelle corrispondenti a +ξ

y Quando si utilizza il 4-vettore s^μ gli spinori u e v si scrivono

y In queste formule s non è un indice ma un 4-vettore

Relazioni di completezza

y Abbiamo visto che nel sistema di riposo l’equazione di Dirac si riduce a

y Abbiamo anche determinato 4 soluzioni w(0,r) r = 1,4

y Ricordiamo (diapositiva ) la normalizzazione scelta per garantire il corretto comportamento della corrente nelle trasformazioni di Lorentz

y Analogamente, per r = 3,4

y Gli spinori w(0,r) sono i 4 autovettori di γ⁰: γ⁰w = ±w y Sono ortogonali e costituiscono un sistema completo y La completezza si esprime tramite la relazione

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Relazioni di completezza

y Gli aggiunti spinoriali giocano un ruolo fondamentale nella teoria

y Siamo pertanto interessati ad una relazione di completezza che usi questi ultimi e non gli aggiunti hermitiani

y Osserviamo che nella base dei w la matrice γ⁰ è diagonale

y A questo punto è immediato verificare che

y Infatti

Relazioni di completezza

y Possiamo a questo punto introdurre la relazione di completezza per gli spinori u e v in un sistema di riferimento in cui la particella ha quantità di moto p y Ricordiamo che u e v sono ottenuti dagli spinori a riposo w(0,r) come

y Verifichiamo che

y Infatti, posto u_r = u(p,r) , v_r = v(p, r) e infine w_r = w(0,r)

y Ricordando che y Concludiamo

Interazione elettromagnetica

y Nell’elettrodinamica classica la forza che agisce su una particella carica in moto è data dalla Forza di Lorentz

y Può essere ricavata (equazioni di Hamilton) dall’Hamiltoniana classica

y Nella Meccanica Quantistica non relativistica l’interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando l’Hamiltoniana appena introdotta (= = 1)

y È conveniente riscrivere questa equazione nel modo seguente

y Notiamo che si può arrivare all’equazione precedente partendo dall’equazione di Schrödinger per una particella libera e fare le sostituzioni

Interazione elettromagnetica

y Sviluppando il quadrato nell’Hamiltoniana

y Scegliendo il gauge ’⋅A = 0 e trascurando i termini in q² otteniamo

y Applichiamo questa formula al caso di un campo magnetico costante e campo elettrico nullo V = 0 (i∇ = p)

y Per un campo magnetico costante B il potenziale vettore è y Introduciamo A nell’Hamiltoniana

y Il termine con il campo magnetico può essere trasformato in

Interazione elettromagnetica

y L’ultimo termine dell’equazione rappresenta una energia potenziale magnetica y Classicamente è dovuta all’interazione di un momento magnetico

generato dal moto associato ad un momento angolare L

y Anche a livello quantistico definiamo pertanto il momento magnetico di una particella dotata di momento angolare L e la sua energia potenziale

y L’esistenza di questo termine di interazione è verificata nella spettroscopia atomica

y In presenza di un campo magnetico le energie associate agli orbitali atomici di momento

angolare l si separano in (2l+1) livelli equidistanti (effetto Zeeman)

y È noto che esiste un ulteriore effetto di questo tipo

y L’elettrone ha un momento angolare intrinseco S = =σ/2

a cui sarebbe associato un momento magnetico μ= qS/2m che suddivide ulteriormente i livelli

y Tuttavia, nel caso dello spin, per riprodurre i dati sperimentali occorre

10

−1 l = 1

21

−10

−2 m l = 2

Interazione elettromagnetica

y Prima di introdurre l’interazione elettromagnetica nell’equazione di Dirac facciamo alcune precisazioni sulle notazioni

y Richiamiamo le definizioni dell’operatore derivazione

y Inoltre il potenziale vettore è

y L’introduzione dell’interazione elettromagnetica viene fatta modificando l’operatore di derivazione ( per l’elettrone q = −|e| )

y Attenzione: per l’operatore derivazione e il potenziale vettore i segni negativi delle componenti spaziali delle componenti

covarianti e contravarianti sono scambiati

Interazione elettromagnetica

y A questo punto passiamo all’equazione di Dirac

y Con la sostituzione minimale diventa

y Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenziale y Vale la pena isolare il potenziale di interazione

Limite di bassa energia

y È molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell’equazione trovata y Verifichiamo se ci conduce all’equazione di Schrödinger con l’interazione

elettromagnetica

y Per poter confrontare con l’equazione non relativistica occorre tenere conto che l’energia relativistica include la massa a riposo della particella

y Se H è l’Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H₁ + m

y Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo

y Inseriamo nell’equazione di Dirac per trovare l'equazione per <₀ Ψ_o lentamente variabile

Limite di bassa energia

y Riepilogando

y A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore

y Arriviamo al sistema di equazioni

Limite di bassa energia

y Consideriamo la seconda equazione

y Ricordiamo che Ψo varia lentamente, vale a dire

y Quindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente

y Abbiamo pertanto

y Introduciamo nella prima equazione

approssimazione non relativistica

Limite di bassa energia

y Si può verificare che (vedi esercizio 4.14 Aitchison 3° ed.) y Pertanto l’equazione diventa

y Questa equazione coincide con l’equazione ottenuta partendo dall’equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapositiva ) a meno di un

termine

y Il termine in più descrive l’accoppiamento del momento magnetico intrinseco dell’elettrone con il campo magnetico

y Inoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = 2 che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente

y In conclusione

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Scattering Coulombiano: spin 0

y Come prima applicazione della meccanica quantistica relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0

y La funzione d’onda della particella obbedisce all’equazione di Klein-Gordon

y Come nel caso dell’equazione di Dirac l’interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale

y Vediamo come si modifica l’operatore ∂^μ∂_μ

y Inserendo nell’equazione di Klein-Gordon otteniamo

prima si moltiplica a destra per φ dopo si applica ∂_μ al prodotto A_μφ

Scattering Coulombiano: spin 0

y A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo

y L’ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f dovuta ad un potenziale V è data dall’approssimazione (primo ordine)

y Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon

y Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q²

y Otteniamo in definitiva

Scattering Coulombiano: spin 0

y Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti per ciascuno dei 4 integrali

y Assumiamo che il potenziale A_μ all’infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termine

y L’ampiezza di transizione diventa

y L’espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilità y Si definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f

Utilizzando questa corrente l’ampiezza di transizione diventa

Scattering Coulombiano: spin 0

10809 y A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positiva

dell’equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = −e e > 0 y Un’onda piana per lo stato iniziale

y Un’onda piana per lo stato finale

y Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva ) y Inserendo nella corrente di transizione

y Otteniamo pertanto

y Consideriamo infine un potenziale Coulombiano

Scattering Coulombiano: spin 0

y L’ampiezza di transizione diventa pertanto

y I due integrali sono indipendenti

y L’integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ

y Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb y Si calcola facilmente come limite per m → 0 del potenziale di Yukawa

y Inserendo nell’ampiezza di transizione

δ(E_i−E_f) → E_i = E_f notare il segno e lo scambio i ↔ f