Esercizio 1. Data l’equazione differenziale del primo ordine y

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EDO 7 SETTEMBRE 2010

Esercizio 1. Data l’equazione differenziale del primo ordine y

⁰

(t) = e

^t+y(t)

,

i) determinare l’integrale generale (cio`e tutte le soluzioni con i loro inter- valli di definizione);

ii) risolvere il problema di Cauchy con dato y(0) = 0.

Suggerimento per il punto i). Derivando l’equazione provare che se y

`e soluzione, allora y verifica anche y

⁰⁰

= y

⁰

+ (y

⁰

)

²

; porre quindi v = y

⁰

e determinare v come soluzione dell’equazione di Bernoulli; avendosi quindi una forma generale per v (= y

⁰

), determinare y dall’equazione iniziale.

Soluzione. i) L’equazione `e del tipo y

⁰

= f (t, y) con f (t, x) = e

^t+x

che

`e di classe C

^∞

. Quindi ogni soluzione `e C

^∞

e in particolare derivabile due volte. Derivando l’equazione si ottiene

y

⁰⁰

= (1 + y

⁰

)e

^t+y

= (1 + y

⁰

)y

⁰

= y

⁰

+ (y

⁰

)

²

. Poniamo quindi v = y

⁰

e risolviamo l’equazione di Bernoulli

v

⁰

= v + v

²

.

Si vede subito che v ≡ 0 `e soluzione. Se quindi v 6= 0, operiamo la trasfor- mazione z = 1/v e otteniamo l’equazione lineare in z

z

⁰

= −z − 1.

Risolvendo l’equazione in z, si giunge poi all’espressione per v v(t) = 1

ce

^−t

− 1 ,

definita in ] − ∞, − log(1/c)[ e in ] − log(1/c), +∞[ se c > 0, in ] − ∞, +∞[

se c < 0. Se c = 0 invece si ottiene v ≡ −1, definita, ovviamente su tutto R.

Si vede subito che le soluzioni v ≡ 0 e v ≡ −1 non sono ammissibili in termini di y. Dall’equazione abbiamo quindi

1 ce

^−t

− 1 = e

^t+y(t)

,

1

(2)

da cui si ha la condizione ce

^−t

− 1 > 0 che implica c > 0 e t < − log(1/c). Si deduce

y(t) = log

µ 1

ce

^−t

− 1

¶

− t, c > 0, t ∈

¸

−∞, − log µ 1

c

¶·

.

ii) Imponendo la condizione iniziale all’espressione per y sopra trovata si ha

0 = y(0) = log

µ 1

c − 1

¶ ,

da cui si deduce c−1 = 1, ovvero c = 2. Quindi la soluzione del problema di Cauchy `e

y(t) = log

µ 1

2e

^−t

− 1

¶

− t, t ∈

¸

−∞, − log µ 1

2 ¶·

,

e notare che − log(1/2) > 0 e quindi l’intervalllo ] − ∞, log(1/2)[ effettiva- mente contiene t

₀

= 0.

Esercizio 2. Si consideri il sistema autonomo bidimensionale

½ x

⁰

= 8y(x

²

+ y

²

− 1)

³

y

⁰

= −8x(x

²

+ y

²

− 1)

³

. i) Determinare gli eventuali punti di equilibrio.

ii) Dire se esite un integrale primo ed eventualmente calcolarne uno.

iii) Disegnare un grafico qualitativo delle traiettorie, con i loro versi di percorrenza.

iv) Esistono traiettorie periodiche?

v) Classificare i punti di equlibrio (stabili, non stabili, ecc...).

Soluzione. i) Bisogna risolvere il sistema

½ 8y(x

²

+ y

²

− 1)

³

= 0

−8x(x

²

+ y

²

− 1)

³

= 0,

che d`a come soluzioni, il punto origine (0, 0) e tutti i punti della circonferenza di centro l’origine e raggio 1, di equazione appunto x

²

+ y

²

= 1.

ii) Verifichiamo se vale la condizione delle derivate in croce

2

(3)

∂(−8x(x

²

+ y

²

− 1)

³

)

∂y = 48xy(x

²

+ y

²

− 1)

²

= −8y(x

²

+ y

²

− 1)

³

∂x .

Quindi la condizione `e soddisfatta ed essendo il dominio R

²

, che `e semplicem- nte connnesso, si ha che un integrale primo esiste.

Un semplice conto d`a che

E(x, y) = (x

²

+ y

²

− 1)

⁴

`e un integrale primo.

iii) Le curve di livello di E sono tutte e sole le circonferenze di centro l’origine, infatti, prendendo k > 0:

E(x, y) = k =⇒ (x

²

+ y

²

− 1)

⁴

= k =⇒ |x

²

+ y

²

− 1| = k

^1/4

, da cui, togliendo il valore assoluto, si ottengono tutte le circonferenze al variare di k.

Ricordiamo che la circonferenza di raggio 1 `e formata tutta da punti di equilibrio. Quindi su di essa non c’`e moto. Da una semplice analisi dei segni si ha che le circonferenze con raggio maggiore di 1 sono percorse in senso orario, mentre quelle con raggio minore di 1 sono percorse in senso antiorario.

iv) Tutte le circonferenze di raggio diverso da 1 sono traiettorie periodiche, essendo curve di livello chiuse non contenenti punti di equilibrio.

v) L’origine `e stabile ma non asintoticamente. I punti della circonferenza di raggio 1 sono punti di equilibrio instabile.

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