R 3/2sin(9π/2 − xa)d xd y R 2x 2 + R 2y 2 + 1 ,

AnalisiMatemati a 2- Corso diLaurea in INGEGNERIA

DELL'ENERGIA e INGEGNERIA CHIMICA

(A.A. 2019/2020)

Assignement II, S ritto 15.2.2021

Problema2. Sia

a > 0

R > 1

I (a, R) = Z

Ω

R ^3/2 sin(9π/2 − xa)d xd y R ² x ² + R ² y ² + 1 ,

dove

Ω R =

½

( x, y); x ² 4 + y ²

2 ≤ R ²

¾

halimite quando

R → ∞

Brevesoluzione . Usando la stima

R ^3/2 sin(9π/2 − xa)

R ² x ² + R ² y ² + 1 ≤ R ^−1/2 1 x ² + y ²

ed il fatto he

©(x, y); x ² + y ² ≤ R ² ª

= B _R ⊂ Ω R ⊂ B 2 R = ©(x, y); x ² + y ² ≤ 4R ² ª

abbiamo

¯

¯

¯

¯

I (a, R) − Z

Ω

R ^3/2 sin(9π/2 − xa)d xd y R ² x ² + R ² y ² + 1

¯

¯

¯

¯

≤ Z

B

\ B

R ^−1/2 d xd y x ² + y ²

Per l'integrale

Z

B

\ B

R ^−1/2 d xd y x ² + y ²

e l'altrointegrale

Z

B

R ^3/2 sin(9π/2 − xa)d xd y

R ² x ² + R ² y ² + 1

usiamo oordiantepolarie troviamo

¯

¯

¯

¯ Z

B

\ B

R ^−1/2 d xd y x ² + y ²

¯

¯

¯

¯

≤ R ^−1/2 (2π) Z 2R

R

d r r → 0.

Abbiamoinoltre

Z

B

R ^3/2 sin(9π/2 − xa)d xd y

R ² x ² + R ² y ² + 1 = R ^−1/2 Z

B

cos( xa)d xd y x ² + y ² + 1/R ² R ^−1/2

Z

B

cos( xa)d xd y

x ² + y ² + 1/R ² + R ^−1/2 a ⁻¹ Z

B

\ B

∂ _x (sin( xa))d xd y x ² + y ² + 1/R ² .

Perla quantita

R ^{− 1/2}

¯

¯

¯

¯ Z

B

cos(xa)d xd y x ² + y ² + 1/ R ²

¯

¯

¯

¯

≤ R ^{− 1/2}

¯

¯

¯

¯ Z

B

d xd y x ² + y ² + 1/ R ²

¯

¯

¯

¯

dopo oordinatipolari ida

R ^{− 1/2} Z 1

0

r d r

r ² + 1/ R ² → 0.

Rimanea studiare

R ^{− 1/2} a ^{− 1} Z

B

\ B

∂ _x (sin(xa))d xd y x ² + y ² + 1/ R ² .

Usiamo integrazione perparti ed arriviamoa

Z

B

\B

cos( xa)∂ _x

µ 1

x ² + y ² + 1/R ² )

¶

d xd y ≤ C

per he

¯

¯

¯

¯

∂ _x

µ 1

x ² + y ² + 1/ R ²

¶¯

¯

¯

¯

≤ C

( x ² + y ² ) ^3/2 .

Remark 1. Regole durante los ritto:

2.Tenerelosmartphonesemprevisibilesultavolo,il ellularesiusa

per vedere iltesto del ompitinoi primi 5-10 minuti epoideve essere

SPENTO e CAPOVOLTO

3.Durantelosvolgimentodellaprova
evietatol'utilizzodiappunti,

libri,dellatastieradelPC/Ma /tabletodelmouseameno he nonsia

ri hiesto daldo ente;

4. Il do ente sorveglia gli studenti durante la prova e risponde in

hat ad eventuali domande.

5. Dopo svolgimento del eser izio(quando s ade il tempo di1 ora

perlosvolgimentodieser izio)lostudenteutilizzaSOLOCELLULARE

perfarelafotoepreparareUNICOpdf,jpgle.Lostudentedopoaver

preparato le deve restare seduto on web a esa e senza s rivere sul

foglio. Lo studente NON DEVE INSERIRE FILE IN TEAM prima

he ildo ente glielo omuni hi.

6. Laprova dura 1ora. SOLO dopo1 ora lostudente puo s attare

foto delsuo elaborato.

7.PrimadiinviarelasoluzioneTRAMITECELLULARElostudente

ontatta il do ente, il do ente ontrolla il foglio della soluzione, se