3. Esercizi di Geometria
(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini
Esercizio 1. Un’ applicazione f : (X, d) → (Y, d0) tra spazi metrici `e k-lipschitziana se esiste un numero reale k > 0 tale che
d0(f (x1), f (x2)) ≤ kd(x1, x2), ∀ x1, x2 ∈ X.
Dimostrare che un’ applicazione lipschitziana f : (X, d) → (Y, d0) tra spazi metrici
`
e continua.
Esercizio 2. Sia ϕ : Rn → Rm un’ affinit`a
ϕ(x1, . . . , xn) =
a11 · · · a1n
... . .. ... am1 · · · amn
x1
... xn
+
b1
... bm
dove la matrice Aϕ = (aij)i=1,...,m j=1,...,n
`e non nulla. Allora ϕ `e continua rispetto alle topologie euclidee su Rn e Rm.
(Suggerimento: per prima cosa dimostrare che ϕ `e k-lipschitziana per le distanze euclidee di Rn e Rm, poi usare l’esercizio precedente).
Esercizio 3. Si considerino su R le seguenti topologie τi con i = 1, . . . 7 definita nel seguente modo:
(1) Discreta;
(2) Banale;
(3) Euclidea;
(4) Della semicontinuit`a superiore;
(5) di Sorgenfrey;
(6) la topologia che ha per base la famiglia di insiemi del tipo {(−a, a)|a ∈ R, e a ≥ 0};
(7) Cofinita.
Si consideri la funzione
f : (R, τi) −→ (R, τj), x 7→ x2. Per quali i ej la funzione f `e continua?
Esercizio 4. Siaf : X −→ Y un’applicazione continua e B una base per la topologia di X. Provare che f `e aperta se e solo se f (A) `e aperto per ogni A ∈ B.
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Esercizio 5. [Per approfondire] Un’applicazione f : X −→ Y si dice un omeo- morfismo locale se per ogni x ∈ X esistono due aperti A ⊂ X e B ⊂ Y tali che x ∈ A, f (A) ⊂ B e f |A: A −→ B la restrizione di f ad A `e un omeomorfismo.
(1) Dimostrare che un omeomorfismo `e un omeomorfismo locale.
(2) Il viceversa non `e vero: Dimostrare che l’applicazione e : R −→ S1, e(t) = (cos 2πt, sin 2πt)
`e un omeomorfismo locale ma non un omeomorfismo.
(3) Dimostrare che un omeomorfismo locale `e un’applicazione aperta.
(4) Dare un esempio di omeomorfismo locale che non `e un’applicazione chiusa.
(5) Dimostrare che le fibre di un omeomorfismo locale f : X −→ Y sono sottospazi discreti di X.
Ricordiamo che S1 ⊂ R2 `e la circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine.
