1. Esercizi di Geometria

1. Esercizi di Geometria

(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini

Esercizio 1. Sia X := Rⁿ con n ≥ 1 e siano d : X × X −→ R (x, y) 7→

v u u t

n

X

i=1

(x_i− y_i)²

d₁: X × X −→ R (x, y) 7→

n

X

i=1

|x_i− y_i|

d∞: X × X −→ R (x, y) 7→ Max_i=1,...,n{|x_i− y_i|}.

(1) Dimostrare che d, d₁ e d∞ sono metriche su Rⁿ. (2) Dimostrare che per ogni x, y ∈ Rⁿ vale

d∞(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d₁(x, y) ≤ n · d∞(x, y).

Esercizio 2. Sia X := R. Si consideri l’applicazione d : X × X −→ R (x, y) 7→ (x − y)². Definisce d una metrica su X?

Esercizio 3. Sia F la famiglia degli aperti di uno spazio metrico (X, d). Si dimostri che

(1) X ∈ F e ∅ ∈ F ;

(2) l’intersezione di due aperti `e un aperto;

(3) l’unione arbitraria di aperti `e un aperto.

Esercizio 4. Sia (X, d) uno spazio metrico e d⁰(x, y) := d(x, y)

1 + d(x, y). Si dimostri che:

(1) d⁰ `e una metrica;

(2) d⁰ `e topologicamente equivalente a d;

(3) d⁰ non `e equivalente a d.

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