x = 32π asintoto verticale

ANALISI MATEMATICA 1 - 2 febbraio 2015 - Allievi - INFLT - ETELT - MECLT - AUTLT - MATLT - MECMLT

Il NUMERO della FILA è contenuto nel testo dell’esercizio 7 ed è il valore assunto dalla primitiva cercata in x = 1.

Fila 1

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ⁵₂ − 3 log 2, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(2 + sin x)² domf^′ = domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

0 1 2 3 4 5 6

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

f(x)

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 7 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2 4. ℓ = −⁹₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 7.

6. Il polinomio è: p2(x) = e³ 1 + ³₂(x − 1) +³₄(x − 1)²
7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ¹₂ 8. y(x) = −e˜ ^−2x+ e^−x+¹₂x −³₄. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ¹₂

Fila 2

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ¹⁴₃ − 3 log 3, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = 4 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(3 + sin x)² domf^′ = domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 6 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2 4. ℓ = −²⁵₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 6.

6. Il polinomio è: p2(x) = e⁵ 1 + ⁵₂(x − 1) +¹⁰₄(x − 1)²
7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ³₂ 8. y(x) = −˜ ¹₃e^−4x+¹₃e^−x+¹₄x − ₁₆⁵. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ¹₄

Fila 3

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ²⁷₄ − 3 log 4, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = 9 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(4 + sin x)² domf^′ = domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 5 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2 4. ℓ = −⁴⁹₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 5.

6. Il polinomio è: p2(x) = e⁷ 1 + ⁷₂(x − 1) +²¹₄(x − 1)²

7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ⁵₂ 8. y(x) = −˜ ¹₅e^−6x+¹₅e^−x+¹₆x − ₃₆⁷. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ¹₆

Fila 4

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ⁴⁴₅ − 3 log 5, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = 16 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(5 + sin x)² domf^′= domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 4 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2 4. ℓ = −⁸¹₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 4.

6. Il polinomio è: p2(x) = e⁹ 1 + ⁹₂(x − 1) +³⁶₄(x − 1)²
7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ⁷₂ 8. y(x) = −˜ ¹₇e^−8x+¹₇e^−x+¹₈x − ₆₄⁹. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ¹₈

Fila 5

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ⁶⁵₆ − 3 log 6, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = 25 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(6 + sin x)² domf^′= domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 3 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2

4. ℓ = −¹²¹₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 3.

6. Il polinomio è: p2(x) = e¹¹ 1 +¹¹₂ (x − 1) +⁵⁵₄(x − 1)²
7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ⁹₂

8. y(x) = −˜ ¹₉e^−10x+¹₉e^−x+ ₁₀¹x −₁₀₀¹¹. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ₁₀¹

Fila 6

1. domf = R \ {³2π + 2kπ , k ∈ Z}, non ci sono simmetrie; f è periodica di periodo 2π.

f (0) = f (2π) = ⁹⁰₇ − 3 log 7, lim_x→³

2πf (x) = −∞; x = ³₂π asintoto verticale; non ammette altri asintoti.

f^′(x) = 36 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + sin x)(7 + sin x)² domf^′= domf .

f crescente in [0, π/6[∪]π/2, 5π/6[∪]3π/2, 2π[; x = ^π₆, ⁵₆π punti di massimo relativo e assoluto, x = ^π₂ punto di minimo relativo; la funzione è illimitata inferiormente.

Poichè f è derivabile in tutto il dominio, ci devono essere almeno due punti di flesso. Uno nell’intervallo ]π/6, π/2[ (tra un punto di massimo stazionario ed un punto di minimo stazionario) e l’altro in ]π/2, 5π/6[ (tra un punto di minimo stazionario ed un punto di massimo stazionario).

2. Le radici sono: z0 = 2^5/3√ 3 2 +₂ⁱ

, z1 = 2^5/3

−^√₂³ +₂ⁱ

, z2 = −2^5/3i.

3. ℓ = 2 se α = 5/2, ℓ = +∞ se α > 5/2, ℓ = 0 se α < 5/2 4. ℓ = −¹⁶⁹₂

5. L’integrale converge per 0 < β < 2.

6. Il polinomio è: p2(x) = e¹³ 1 +¹³₂ (x − 1) +⁷⁸₄(x − 1)²
7. La primitiva è: F (x) = ^x₂[cos(log x) + sin(log x)] + ¹¹₂

8. y(x) = −˜ ₁₁¹ e^−12x+₁₁¹e^−x+₁₂¹x −₁₄₄¹³. lim_x→+∞y(x)/x =˜ ₁₂¹