(3) Usando il Principio di Induzione provare che per ogni n ∈ IN e x 6= 1 risulta 1 + x

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 09/02/2012 – A

(1) Fornire la definizione di funzione derivabile in un punto e illustrarne l’interpretazione geometrica.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

(3) Usando il Principio di Induzione provare che per ogni n ∈ IN e x 6= 1 risulta

1 + x + ... + xⁿ= 1 − xⁿ⁺¹ 1 − x .

(4) Sia

+∞

X

n=0

a_n una serie a termini positivi divergente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se `e vera o falsa.

A. La successione (an)n∈IN `e divergente. Falso

B. Se esiste, lim

n→+∞

a_n+1

a_n > 1. Falso

C. La serie

+∞

X

n=0

a_nxⁿ non converge in ogni |x| > 1. Vero

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 09/02/2012 – B

(1) Fornire la definizione di funzione continua in un punto e la classificazione dei punti di discontinuit`a fornendo per ciascun caso un esempio.

(2) Enunciare e dimostrare il Criterio di monotonia per funzioni derivabili.

(3) Usando il Principio di Induzione provare che per ogni n ∈ IN e x > −1 risulta (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

(4) Sia

+∞

X

n=0

an una serie a termini positivi convergente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se `e vera o falsa.

A. La successione (a_n)_n∈IN `e convergente. Vero

B. Se esiste, lim

n→+∞

√n

a_n< 1. Falso

C. La serie

+∞

X

n=0

a_nxⁿ converge in ogni |x| < 1. Vero