Lezione del 19 novembre 2019 Equazioni delle onde

Oscillazioni e Onde Gianluca Ferrari Onde Meccaniche

Lezione del 19 novembre 2019

Equazioni delle onde

𝑣 = 𝜆𝑓 Velocità dell’onda su una corda tesa:

𝑣 = √𝑇

𝜇 , 𝜇 =𝑚 𝐿

Onde armoniche: sono le onde generate da una sorgente che oscilla di moto armonico.

𝑦(𝑡) = 𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜑₀) , 𝜔 =2𝜋 𝑇 𝑦(𝑥) = 𝑎 cos(𝑘𝑥 + 𝜑₀) , 𝑘 =2𝜋

𝜆 𝑦(𝑥; 𝑡) = 𝑎 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑₀) 𝑦(𝑥; 𝑡) = 𝑎 (2𝜋

𝜆 𝑥 −2𝜋

𝑇 𝑡 + 𝜑₀) 𝑦(𝑥; 𝑡) = 𝑎 (2𝜋

𝜆 (𝑥 −𝜆

𝑇𝑡) + 𝜑₀) = 𝑎 (2𝜋

𝜆 (𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝜑₀) Interferenza di onde armoniche lungo una retta

Hp: Le onde hanno la stessa frequenza e si propagano lungo la stessa direzione.

𝑦₁(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔𝑡 𝑦₂(𝑡) = 𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜑₀) Ts:

𝑦(𝑡) = 𝑦₁(𝑡) + 𝑦₂(𝑡) = 𝐴 cos (𝜔𝑡 +𝜑₀ 2 ) con

𝐴 = 2𝑎 cos𝜑₀ 2 Dimostrazione:

𝑦(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔𝑡 + 𝑎 cos(𝜔𝑡 + 𝜑₀) Ricaviamo le formule di Prostaferesi.

{cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sen 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽 cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽) = 2 cos 𝛼 cos 𝛽 Posto

{𝛼 + 𝛽 = 𝑝

𝛼 − 𝛽 = 𝑞 ⟹ {𝛼 =𝑝 + 𝑞 2 𝛽 =𝑝 − 𝑞

2 ,

Oscillazioni e Onde Gianluca Ferrari Onde Meccaniche segue

cos 𝑝 + cos 𝑝 = 2 cos (𝑝 + 𝑞

2 ) cos (𝑝 − 𝑞 2 ) . Occupiamoci ora dell’onda risultante, applicando la formula appena ricavata.

𝑦(𝑡) = 𝑎[cos 𝜔𝑡 + cos(𝜔𝑡 + 𝜑₀)] = 2𝑎 cos (𝜔𝑡 + 𝜔𝑡 + 𝜑₀

2 ) cos (𝜔𝑡 − 𝜔𝑡 − 𝜑₀

2 )

= 2𝑎 cos (𝜔𝑡 +𝜑₀

2 ) cos (−𝜑₀

2 ) = 2𝑎 cos𝜑₀

2 cos (𝜔𝑡 +𝜑₀ 2 )

• Si ha interferenza costruttiva quando |𝐴| = 2𝑎 |cos^𝜑0

2| = 2𝑎, quindi cos𝜑₀

2 = ±1 ⟹𝜑₀

2 = 𝑘𝜋 ⟹ 𝜑₀ = 2𝑘𝜋

• Si ha interferenza distruttiva quando 𝐴 = 0, quindi cos𝜑₀

2 = 0 ⟹𝜑₀ 2 = 𝜋

2+ 𝑘𝜋 ⟹ 𝜑₀ = (2𝑘 + 1)𝜋

Sfasamento

È la differenza tra le fasi delle due onde.

Δ𝜑 = 𝜑₂− 𝜑₁

Nel caso precedente si ha 𝜑₁= 𝜔𝑡 e 𝜑₂ = 𝜔𝑡 + 𝜑₀, quindi Δ𝜑 = 𝜑₀. Più in generale:

• Se in un dato punto lo sfasamento Δ𝜑 = 2𝑘𝜋 → Le onde sono in fase

• Se in un dato punto lo sfasamento Δ𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 → Le onde sono in opposizione di fase

Condizioni per l’interferenza costruttiva e distruttiva

• Le onde emesse da due sorgenti che oscillano in fase danno interferenza costruttiva nei punti 𝑃 per i quali la differenza delle distanze dalle sorgenti è un multiplo intero della lunghezza d’onda.

𝑆₁𝑃 − 𝑆₂𝑃 = 𝑘𝜆

• Le onde emesse da due sorgenti che oscillano in fase danno interferenza costruttiva nei punti 𝑄 per i quali la differenza delle distanze dalle sorgenti è un multiplo intero della lunghezza d’onda più mezza lunghezza d’onda.

𝑆₁𝑄 − 𝑆₂𝑄 = 𝑘𝜆 +1 2𝜆

Oscillazioni e Onde Gianluca Ferrari Onde Meccaniche Esercizi

Esercizi tratti da:

Amaldi U., L’Amaldi per i licei scientifici.blu – Seconda edizione, vol. 2, Bologna, Zanichelli, 2015