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ESERCITAZIONE 1 (Belleri – Facchetti)
1. Confronto nel dominio delle frequenze di 4 diversi campionamenti dello stesso segnale periodico
Nel presente elaborato si vogliono verificare gli effetti dell’utilizzo di diverse frequenze di campionamento fc e diversi numeri di campioni N nel campionamento di un segnale periodico. Il segnale è stato elaborato eseguendo l’analisi di Fourier sui valori campionati, in modo da ricavare lo spettro. A questo punto si è rappresentato il segnale nel dominio delle frequenze. Di seguito si riportano i grafici che rappresentano il segnale nel dominio del tempo (figura 1) e nel dominio delle frequenze (figura 2). In tabella 1 si indicano i parametri utilizzati per i 4 campionamenti.
Figura 1
1 2 3 4
fc Hz 100 200 100 200
N 256 256 512 512
∆t s 0,01 0,005 0,01 0,005
∆f Hz 0,39063 0,78125 0,19531 0,39063
T s 2,56 1,28 5,12 2,56
Tabella 1 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Segnale [mV]
Tempo [s]
2 Figura 2
Si nota come da un unico segnale si ottengano diversi andamenti nel dominio delle frequenze a seconda del campionamento. Risulta evidente come il parametro che determina la definizione dello spettro sia la risoluzione spettrale ∆f definita dal rapporto . Maggiore è il valore di ∆f peggiore è la definizione dello spettro, ovvero il picco è meno “definito”. Si deduce che un’elevata frequenza di campionamento del segnale non conduce necessariamente a risultati migliori nel dominio delle frequenze, nel quale conviene invece aumentare il periodo di osservazione e quindi il numero di campioni N.
Il segnale rappresentato nel dominio delle frequenze ha un solo picco poiché è composto da una sola armonica.
2. Confronto del campionamento di un segnale con e senza finestratura di Hanning
Analizziamo ora un altro segnale più complicato del precedente, infatti quando viene rappresentato nel dominio delle frequenze presenta 3 picchi (ovvero è composto da tre armoniche), non definiti su una banda di frequenza infinitesima come ci si aspetterebbe, ma distribuiti su una banda finita di frequenze e con un
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Spettro [mV]
Frequenza [Hz]
1 2 3 4
3 modulo inferiore al segnale espresso nel dominio del tempo. Questo fenomeno prende il nome di leakage, ed è dovuto al fatto che la finestra temporale considerata nel campionamento contiene un numero non intero di periodi del segnale di partenza. L’energia associata al picco risulta dunque distribuita su una banda di frequenza, e non associata a una sola frequenza come ci si aspetterebbe in via teorica. In figura 3 e 4 sono riportati rispettivamente il segnale nel dominio del tempo e nel dominio delle frequenze.
Figura 3
Figura 4
-1,3 -0,8 -0,3 0,2 0,7 1,2
-30 -20 -10 0 10 20 30
0 0,5 1 1,5 2 2,5
[mV]
[s]
Segnale nel dominio del tempo
Segnale
Segnale finestrato Finestratura di Hanning
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 20 40 60 80 100 120
[mV]
[Hz]
Segnale nel dominio delle frequenze
Spettro segnale
Spettro segnale finestrato
4 Per attenuare l’effetto leakage si ricorre alla finestratura del segnale. Lo spettro del segnale finestrato è stato ottenuto applicando la finestra di Hanning. Osserviamo che i picchi sono meglio definiti ma non si è ottenuto comunque lo spettro ideale, infatti il modulo è nettamente inferiore a quello del segnale. Il fatto che l’applicazione della finestra non elimini completamente il leakage si può spiegare considerando che l’utilizzo della medesima al segnale comporta una perdita di informazione agli estremi della finestra temporale, come si nota in figura 3.
3. Confronto della FFT ottenuta con Excel e con il software Elabora DFT
In figura 5 si riporta il grafico del segnale nel dominio della frequenza ottenuto usando lo spettro ricavato dalla trasformata di Fourier ottenuta con Excel e con Elabora DFT.
Figura 5
Notiamo che i grafici sono esattamente sovrapposti, come ci si aspettava.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
[mV]
[Hz]
Confronto FFT
FFT Excel FFT elaboratore
