Test preliminare di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 1 Luglio 2020 — Traccia 0
COGNOME NOME MATRICOLA
1 In R3[X], si determini la dimensione ed una base B di U = h2 − X2, 2X + 2X2i. Estendere la base B trovata ad una base di R3[X].
Utilizzando l’isomorfismo a0+ a1X + a2X2+ a3X3 ∈ R3[X] 7−→ (a0, a1, a2, a3) ∈ R4, si ha che dim(U ) = rg 2 0 −1 0
0 2 2 0
= 2. Quindi B = {2 − X2, 2X + 2X2} `e una base di U che si pu`o completare ad una base di R3[X] aggiungendo i vettori X2, X3.
2 Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine dell’applicazione lineare F : R3 −→ R3 la cui matrice associata rispetto alla base canonica `e A2− 4I, dove A =
2 1 3
0 −1 3
0 0 −1
La matrice associata ad F rispetto alla base canonica risulta M = A2 − 4I =
0 1 6
0 −3 −6
0 0 −3
e dim(Im(F )) = rg(M ) = 2. Pertanto dim(Ker(F )) = 1.
3 Determinare per quali valori reali di a e b il seguente sistema lineare ha un’unica soluzione e per quali valori ha pi`u di una sola soluzione.
x + 2y + z = 3 ay + 5z = 10 2x + 7y + az = b
Sia (A|b) =
1 2 1 3 0 a 5 10 2 7 a b
la matrice completa del sistema. Quindi det(A) = (a − 5)(a + 3) e
rg(A) =
(3 se a ∈ R \ {−3, 5}
2 se a ∈ {−3, 5} . Pertanto il sistema ha un’unica soluzione se e solo se det(A) 6= 0, quindi a ∈ R \ {−3, 5}. Inoltre rg(A|b) = 2 se a = 5 e b = 12 oppure se a = −3 e b = −4.
4 Stabilire per quale valore di h ∈ R l’endomorfismo F ◦ F , dove F : (x, y) ∈ R2 7−→ (hx + y, x) ∈ R2 `e ha come autovalore 1.
La matrice associata ad F ◦ F rispetto alla base canonica `e A = h2+ 1 h
h 1
. Pertanto il polinomio caratteristico di F ◦ F risulta det(A − λI) = λ2 − λ(h2 + 2) + 1. Allora F ◦ F ha come autovalore 1 qualora h = 0.
5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si calcoli l’ampiezza dell’angolo compreso tra le rette
` : x = 0
z = 0 , `0 : 2x − z + 5 = 0 y − 4 = 0 . Le giaciture delle rette risultano −→
` = h(0, −1, 0)i e −→
`0 = h(1, 0, 2)i. Pertanto cos θ = 0 e θ = π/2.
Test preliminare di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 1 Luglio 2020 — Traccia 1
COGNOME NOME MATRICOLA
1 In R2[X], si determini la dimensione di U ∩ W e di U + W , dove U = hX2 − 2X, 2X + 1i e W = hX − 1, −X2+ X − 1i.
In forza dell’isomorfismo a0 + a1X + a2X2 ∈ R2[X] 7−→ (a0, a1, a2) ∈ R3, si ha che dim(U + W ) =
rg
0 −2 1
1 2 0
−1 1 0
−1 1 −1
= 3. Quindi dim(U + W ) = 3. Inoltre dim(U ) = dim(W ) = 2, pertanto dim(U ∩
W ) = 1.
2 Determinare per quali valori di h ∈ R l’applicazione lineare F : R3 −→ R3, dove F (1, 0, 0) = (3, 2, 1), F (0, 1, 0) = (−1, 2, 0), F (0, 0, 1) = (2, 4, h), risulta suriettiva.
La matrice associata ad F rispetto alle base canonica di R3 risulta A =
3 −1 2
2 2 4
1 0 h
. Poich`e det(A) =
−8 + 8h e dim(Im(F )) = rg(A), l’applicazione `e suriettiva se h ∈ R \ {1}.
3 Determinare per quali valori reali di a e b il seguente sistema lineare ha un’unica soluzione e per quali valori ha pi`u di una sola soluzione.
x − 2y = 1 x − y + az = 2 ay + 9z = b
Sia (A|b) =
1 −2 0 1 1 −1 a 2
0 a 9 b
la matrice completa del sistema. Quindi det(A) = (a − 3)(a + 3) e
rg(A) =
(3 se a ∈ R \ {±3}
2 se a ∈ {±3} . Pertanto il sistema ha un’unica soluzione se e solo se det(A) 6= 0, quindi a ∈ R \ {±3}. Inoltre rg(A|b) = 2 se a = 3 e b = 3 oppure se a = −3 e b = −3.
4 Si determinino i valori di a e b in modo tale che i vettori v1 = (1, 1), v2 = (2, 0) ∈ R2 siano autovettori della matrice A =1 a
b −1
∈ M2(R).
Si noti che da Avti = λivti, 1 ≤ i ≤ 2, si ottiene
1 + a = λ1 b − 1 = λ1 2 = 2λ2 2b = 0
. Quindi a = −2 e b = 0.
5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si calcoli la distanza tra il punto A = (3, 2, −3) ed il punto di incidenza delle rette
` : x = 0
y − 3 = 0 , `0 : x + 2y − z − 8 = 0 y + z − 1 = 0 .
La distanza tra A = (3, 2, −3) e ` ∩ `0 = (0, 3, −2) risulta √ 11.
