Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Giugno 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia V il sottospazio vettoriale di R3 generato da (1, 0, −1) e (0, 1, −1). Sia U il sottospazio vettoriale di R3 contenente i vettori (x, y, z) tali che x + y − z = 0.
(a) Determinare una base di U ∩ V .
(b) Determinare un sottospazio vettoriale W di R3 tale che U ⊕ W = R3.
2 Sia {e1, e2, e3} la base canonica di R3. Sia F l’endomorfismo di R3 tale che F (e1+ e3) = 2(e1+ e2+ e3), F (e1+ e2) = F (e1+ e3), F (e2) = e1+ e2+ e3.
(a) Determinare la matrice M che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare se M `e diagonalizzabile ed in caso affermativo calcolare una matrice P tale che P−1M P risulti diagonale.
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
2kx + (k + 2)y + (k + 4)z = k + 5 kx + (k + 1)y + 2z = 3
kx + y + z = 1
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si consideri la famiglia di piani F x + (2 − h)y + (h2− 2h + 2)z − 1 = 0, h ∈ R.
(a) Determinare i piani α1 e α2 di F che sono perpendicolari al piano π di equazione 2x + y − z = 0.
(b) Determinare le rette parallele e distanti √
5 da entrambi i piani α1 e α2.
5 Dimostrare che due sottospazi vettoriali di R7 aventi dimensione 4, hanno in comune qualche vettore non nullo.
6 Sia F un endomorfismo di C3 e siano B1 e B2 due basi di C3. Sia M1 la matrice associata ad F rispetto alla base B1 ed M2 la matrice associata ad F rispetto alla base B2. Dimostrare che M1 e M2 hanno gli stessi autovalori.
Traccia I — 1
