Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 17 Luglio 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia f : R5 −→ R2l’applicazione lineare cos`ı definita f (x, y, z, t, u) = (x+y+z+t+u, 2x+2y+2z+2t+2u).
(a) Determinare una base per il nucleo e l’immagine di f . (b) Estendere la base di Ker(f ) trovata ad una base di R5. 2 Sia A la seguente matrice ad elementi reali:
8 −18 0
3 −7 0
0 0 −2
(a) Determinare se A `e invertibile ed in caso affermativo se ne calcoli l’inversa.
(b) Determinare una matrice P invertibile tale che P−1AP risulti diagonale.
3 Discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare:
x + ky + z = k kx + y − kz = 1
x + y − z = 1 .
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino la retta r passante per i punti (3, 0, 4) e (−1, 2, −2) e la retta s che passa per (2, 2, 5) e (0, 0, −3).
(a) Dimostrare che r ed s si incontrano e trovare le coordinate del loro punto comune.
(b) Determinare le equazioni cartesiane del piano e delle rette passanti per il punto (0, 1, 0) ed ortogonali alla retta s.
5 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano U, W sottospazi vettoriali di V . Mostrare che U + W
`
e un sottospazio vettoriale di V .
6 Sia M una matrice quadrata ad elementi reali. Fornire la definizione di autovalore di M . Dimostrare che 0 `e autovalore di M se e solo se M non `e invertibile.
Traccia I — 1
