Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia W il seguante sottospazio di R4:
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x + y + z = z + t = 0}.
(a) Determinare una base di W .
(b) Completare la base trovata in (a) ad una base di R4. (c) Determinare un sottospazio U ⊂ R4 tale che R4 = U ⊕ W .
2 Si consideri la base B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, −1), v3 = (0, 0, 2)} di R3 e l’endomorfismo F : R3 −→
R3 tale che
F (v1) = (3, 1, 0), F (v2) = (−1, 0, 2), F (v3) = (0, 2, 0).
(a) Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base B di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Determinare se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo trovare una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x1+ 2x2− x3+ hx4 = 0
−x1+ (h − 2)x2+ x3 = 0 2x2+ x3 = 0
−x1− 2x2+ x3+ hx4 = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r ed s:
r :
x = −2 − 3λ y = λ z = 1 − λ
, λ ∈ R, s :
x = 1 + 2µ y = 3 − 2µ z = −3 + 3µ
, µ ∈ R.
(a) Stabilire la posizione reciproca delle rette r ed s.
(b) Determinare l’equazione cartesiana del piano π parallelo alle rette r ed s ed equidistante da esse.
5 Sia K un campo e siano V, W due K–spazi vettoriali. Dimostrare che se F : V −→ W `e un isomorfismo, allora F−1 : W −→ V `e un’isomorfismo.
6 Mostrare che un sistema lineare a gradini `e sempre compatibile.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Sia S l’insieme delle matrici simmetriche di ordine due di M2(R).
(a) Provare che S `e un sottospazio vettoriale di M2(R).
(b) Determinare una base di S.
(c) Determinare un sottospazio A di M2(R) tale che M2(R) = S ⊕ A.
2 Si consideri la base B = {v1 = (1, 2, 2), v2 = (1, −1, 0), v3 = (1, 1, 1)} di R3 e l’endomorfismo F : R3 −→
R3 tale che
F (v1) = (0, 10, 0), F (v2) = (−12, −5, −36), F (v3) = (−6, 5, −18).
(a) Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base B di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Determinare se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo trovare una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
2x + hy = 1 x + y − z = −2
hx − y + z = 2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r ed s:
r :
x = 2λ y = 1 + λ
z = λ
, λ ∈ R, s :
x = µ y = 1 z = 1 + 2µ
, µ ∈ R.
(a) Stabilire la posizione reciproca delle rette r ed s.
(b) Determinare l’equazione cartesiana del piano π parallelo alle rette r ed s ed equidistante da esse.
5 Sia K un campo e siano V, W due K–spazi vettoriali. Dimostrare che Hom(V, W ), l’insieme di tutte le applicazioni lineari da V in W , `e un K–spazio vettoriale.
6 Sia V un K–spazio vettoriale tale che e sia F : V −→ V un endomorfismo. Dimostrare che λ ∈ K `e un autovalore di F se e solo se λ `e radice del polinomio caratteristico di F .
Traccia II — 1
