(3)Secondo esercizio di geometria proiettiva

A.A. 2012/2013

Corso di Laurea in Matematica Geometria Proiettiva, Curve e Superfici

Esame scritto del 16-09-2013 Parte di geometria proiettiva

Primo esercizio di geometria proiettiva. (8 punti)

a) (6 punti) In P³(R) sia I la quadrica di equazione

x₀x₁+ x₀x₂+ x₀x₃+ x₁x₂+ x₁x₃+ x₂x₃ = 0 a.1) Scrivere I in forma canonica.

a.2) Per ogni i∈ {0, 1, 2, 3}, sia ji⁻¹ l’isomorfismo canonico tra Ui ={(x0, x1, x2, x3)∈ P³(R)|xi ̸= 0}

e R³. Trovare l’immagine j₂⁻¹(I) e scriverla in forma canonica.

b) (2 punti) Disegnare la quadrica di equazione 9y²+ 4z²− x = 0 in R³.

Spazio per la costruzione della risposta.

Secondo esercizio di geometria proiettiva. (8 punti)

a) In P¹(C), siano

P₁ = [1, i], P₂ = [i, 1], P₃ = [3i,−1],

Q₁ = [4i− 2, 12i − 2], Q2 = [2i + 1, 6i + 1], Q₃ = [6i− 1, 18i − 1].

Dire se le terne{P1, P₂, P₃} e {Q1, Q₂, Q₃} sono in posizione generale.

Dire se esiste una proiettivit`a φ : P<sup>1</sup>(C) −→ P<sup>1</sup>(C) tale che φ(Pi) = Qi, per ogni i ∈ {1, 2, 3}. In caso affermativo, trovare φ, dire se `e unica e trovare i suoi punti fissi.

Tutte le risposte devono essere giustificate. Buon lavoro!

Spazio per la costruzione della risposta.