Esercizi su sfere, coni, cilindri
Francesco Daddi - marzo 2010
Esercizio 4. Si determini l’equazione del cono C di vertice l’origine e tangente alla sfera S di equazione
S : (x − 1)2+ (y − 1)2+ (z − 1)2 = 1.
Si determini l’equazione della circonferenzaγ di contatto tra il cono e la sfera.
Soluzione. Il conoC `e il luogo delle rette per O tangenti la sfera S ; consideriamo quindi la generica retta per l’origine, avente vettore direttore (l, m, n )T e cerchiamo le intersezioni con la sfera S :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
(x − 1)2+ (y − 1)2+ (z − 1)2 = 1 x = t l
y = t m z = t n
(1)
dobbiamo imporre che il sistema ammetta soluzioni coincidenti. Sostituendo x, y, z nella prima equazione otteniamo l’equazione risolvente
(t l− 1)2 + (t m − 1)2+ (t n − 1)2− 1 = 0 ⇒ (l2+m 2+n2)t2− 2 (l+ m + n ) t + 2 = 0 ; affinch´e le soluzioni siano coincidenti deve essere
Δ = 0 ⇒ l2+m 2+n2− 2 lm − 2 ln − 2 mn = 0 sostituendo in questa equazione l = x
t, m = y
t, n = z
t ed eliminando t si ottiene l’equazione cartesiana del cono richiesto:
C : x2+y 2+z 2− 2 xy − 2 xz − 2 yz = 0 .
Per determinare l’equazione della circonferenza γ di tangenza tra il cono C e la sfera S basta considerare la sfera Γ avente per diametro il segmento CV , ovvero la sfera che ha centro nel punto M medio del segmento CV e raggio R = CV
2 :
Γ :
x − 1
2
2 +
y −1
2
2 +
z − 1
2
2
=
√3 2
2
svolgendo i calcoli si arriva all’equazione
Γ : x2+y 2+z 2− x − y − z = 0 ; la circonferenza γ si ottiene intersecando le due sfere S e Γ:
γ :
(x − 1)2+ (y − 1)2+ (z − 1)2 = 1
x2+y 2+z 2− x − y − z = 0 ⇒ γ :
x2+y 2+z 2− 2 x − 2 y − 2 z + 2 = 0 x2+y 2+z 2− x − y − z = 0
sottraendo le equazioni delle due sfere otteniamo il pianoαγ :x + y + z − 2 = 0 (`e il piano radicale delle due sfere S e Γ), per cui la circonferenza γ dei punti di tangenza ha le seguenti equazioni cartesiane:
γ :
x2+y 2+z 2− x − y − z = 0
x + y + z − 2 = 0 ⇒ γ :
x2+y 2+z 2 = 2 x + y + z − 2 = 0 .
