13ottobre2015 AnnalisaCesaroni,PaolaMannuccieAlviseSommariva Introduzione

Introduzione

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Insiemi

Uninsieme`e una collezione di oggetti detti elementi.

Usualmente gliinsiemisi denotano con lettere maiuscolecome

ad esempio A, B o X mentre gli elementi con lettere

minuscolecome ad esempio a, b o x .

La scrittura a ∈ A significa che l’elemento a appartiene

Insiemi

Un insieme pu`o essere rappresentato in manieradescrittiva

come ad esempio

A = {a, b, c}

cio`e l’insieme A contiene esclusivamente gli elementi a, b, c, oppure

N = {0, 1, 2, . . .}

cio`e l’insieme dei numeri 0, 1, 2, eccetera (ovvero l’insieme dei numerinaturali,

oppure comepredicato, come ad esempio

D = {n ∈ N, n dispari}

cio`e l’insieme dei numeri naturali dispari, e quindi equivalente a

Insiemi

L’insieme dei numeri naturali dispari pu`o essere rappresentato ovviamente in vari modi. Ad esempio:

D = {n ∈ N : ∃k ∈ N : n = 2k + 1}.

Si legge che D `e l’insieme dei numeri naturali n per cui esiste un numero naturale k tale che n = 2 · k + 1.

Infatti

Alcuni simboli e notazioni

a ∈ A: l’elemento a appartiene all’insieme A; ∀: per ogni; ∃: esiste; @: non esiste; ∃!: esiste ed `e unico; ⇒: implica; ⇔: se e solo se; ∈: appartiene; / ∈: non appartiene; =:: definizione; ∅: insieme vuoto.

Quale esempio, due insiemi A e B si dicono uguali, cio`e A = B se

Alcuni simboli e notazioni.

A ⊆ B: A `e sottinsieme di B, cio`e ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B; A ⊂ B: A `e sottinsieme strettodi B, cio`e

Operazioni insiemistiche.

A ∩ B := {x : x ∈ A e x ∈ B};

Figura : Intersezione di due insiemi A, B.

Operazioni insiemistiche.

A ∪ B := {x : x ∈ A o x ∈ B};

Operazioni insiemistiche.

{X(A) = X \A := {x : x ∈ X e non x ∈ A};

∅: insieme vuoto, privo di elementi; ovviamente, qualsiasi sia l’insieme A, ∅ ⊆ A;

P(X ) := {sottinsiemi di X}: insieme delle parti di X . Esempio: X = {a, b, c}, allora

P(X ) = {∅, X , {a}, {b}, {c }, {a, b}, {a, c }, {b, c }}.

Nel nostro caso X ha 3 elementi e P(X ) ha 23 elementi.

Insiemi numerici.

N := {0, 1, 2, . . .}: numeri naturali;

Z := {0, 1, −1, −2, 2, . . .}: numeri interi (relativi); Q := {m_n, m, n ∈ Z, n 6= 0}: numeri razionali (frazioni); si possono scrivere in forma decimale e avere uno

p, α1α2. . . αn sviluppo decimale finito

oppure

p, α1α2. . . αn sviluppo decimale periodico.

R: numeri reali, con sviluppo decimale generico, anche infinito.

Ovviamente:

Prodotto cartesiano.

Siano A, B due insiemi. L’insieme

A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B)} si chiamaprodotto cartesiano.

Ha per elementi le coppie ordinate (a, b).

Ovviamente se a ∈ A, b ∈ B, allora (a, b) ∈ A × B mentre

(b, a) /∈ A × B a meno che b ∈ A e a ∈ B.

Esempio di prodotto cartesiano.

Siano A = {0, 1}, B = {2, 3}. Allora A × B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)} B × A = {(2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)} e quindi A × B 6= B × A.

Se A = B allora si scrive A2 := A × A. Cos`ı , ad esempio:

Esempio di prodotto cartesiano.

Pi`u in generale si possono definire insiemi del tipo

A1× . . . × An= {(a1, . . . , an) : a1∈ A1, . . . , an∈ An}

come ad esempio

R3:= R × R × R = {(x, y , z) : x, y , z ∈ R)} o pi`u in generale

Insiemi numerici.

Dato un insieme X , un’operazione in X associa a ogni coppia ordinata (x , y ) ∈ X × X uno e un solo elemento di X . Un esempio su N, Z, Q, R sono le operazioni di somma e prodotto. Vediamo

quale esempio le propriet`a in Q. Relativamente alla somma +:

Per ogni x , y ∈ Q si ha x + y = y + x (propriet`a commutativa);

Per ogni x , y ∈ Q si ha (x + y ) + z = x + (y + z) (propriet`a associativa);

Esiste un unico elemento detto zero tale che x ∈ Q si ha x + 0 = x (propriet`a elemento neutro);

Insiemi numerici.

Similmente, relativamente al prodotto ·:

Per ogni x , y ∈ Q si ha x · y = y · x (propriet`a commutativa); Per ogni x , y ∈ Q si ha (x · y ) · z = x · (y · z) (propriet`a associativa);

Esiste un unico elemento detto unit`a e indicato con 1 tale che x ∈ Q si ha x · 1 = x (propriet`a elemento neutro); Per ogni x ∈ Q, x 6= 0 esiste un unico elemento detto reciproco, indicato con x−1, tale che x · x−1= 1 (propriet`a inverso);

Le operazioni di somma e prodotto in Q sono legate dallapropriet`a distributiva

Campi.

Un insieme si dicecampo se:

esistono due operazioni (che chiameremo in generale somma e prodotto);

sono verificate le propriet`a commutativa, associativa per ogni operazione;

vale la propriet`a distributiva; esiste l’elemento neutro;

esiste l’inverso di ogni elemento (ad eccezione dell’elemento neutro del prodotto).

Campi ordinati.

Definizione (Relazione d’ordine)

Sia X un insieme. Si dice che su X `e definita una relazione d’ordine ≤ tra elementi di X se vale la propriet`a

riflessiva (cio`e a ≤ a);

antisimmetrica (cio`e se a 6= b, a ≤ b implica che non `e vero che b ≤ a);

transitiva (cio`e se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c).

Definizione (Insieme totalmente ordinato)

Un insieme X dotato di relazione d’ordine ≤ `etotalmente ordinato

se

Campi ordinati.

Esempio

SI verifica facilmente che Q, R sonocampi ordinatie che anzi sono

perfinototalmente ordinati cio`e

Logica elementare.

Nella maggior parte del corso discuteremo di proposizioni,

dimostrazioni e negazioni di proposizioni. Torna comodo discutere di notazioni.

Un esempio:

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x)

dice che

Logica elementare.

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari Con riferimento a quanto detto nell’esempio

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) si ha x ≡ n; A ≡ N; p(n) ≡ n dispari; q(n) ≡ n2 dispari.

Logica elementare.

Vogliamo mostrare che

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari

Dimostrazione

Essendo n un numero naturale dispari, sappiamo che n = 2 · k + 1 per un certo k ∈ N. Ma allora da (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 si ha

n2 = (2k + 1)2

= 4k2+ 4k + 1

= 2(2k2+ 2k) + 1 (1)

Osserviamo che 2(2k2_{+ 2k) `e pari e quindi necessariamente}

Procedimento per assurdo.

Osserviamo che:

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) `e equivalente a

∀x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x) Quindi invece che provare l’asserto

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) si prova equivalentemente che

∀x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x) spesso detto informalmente per assurdo.

Nell’esempio precedente, quindi per provare che ∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari

Nota (facoltativa)

Nota.

Dimostrare che

∀n ∈ N, n2 pari ⇒ n pari `e pi`u complicato che provare

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari. Essenzialmente se si fattorizza n in fattori primi

p1< p2< . . . < pm allora

n = p1k1· . . . · pmkm ⇒ n2= p12k1· . . . · pm2km. Ma se n2`e pari, si vede facilmente che da n = 2 · k per qualche k, necessariamente p1= 2 (vista l’unicit`a della fattorizzazione) e quindi

n = 2k1_{· . . . · p}

mkm

Procedimento per assurdo: esempio.

Teorema (Euclide)

Non esiste r ∈ Q tale che r2 = 2.

Dimostrazione.

Se per assurdo fosse vero esistesse r ∈ Q tale che r2 = 2, visto che si pu`o scrivere tale r come

r = n

m, n, m ∈ Z, m 6= 0, con n, m primi tra loro allora da r2 =n m 2 = n 2 m2 = 2,

avremo che n2 sarebbe pari in quanto

Procedimento per assurdo: esempio.

Per quanto visto prima, se n2 `e pari abbiamo che pure n `e pari, e quindi esiste un k ∈ Z per cui n = 2k. Ma ricordiamo che

n2= 2m2 per cui semplificando

4k2= (2k)2= n2 = 2m2⇒ m2= 2k2

Controesempi.

I controesempi si usano per dimostrare la falsit`a di una implicazione del tipo

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x).

Se trovo x ∈ A per cui vale p(x ) ma non vale q(x ), ho dimostrato la falsit`a dell’implicazione.

L’asserto

∀n ∈ N, n primo ⇒ n `e dispari

Negazione delle proposizioni.

La negazione della proposizione

∀x vale p(x) si scrive

∃x : non vale p(x). La negazione della proposizione

∀x vale p(x) e q(x) si scrive

Insiemi limitati.

Sia X un insieme totalmente ordinato (come ad esempio Q). Il sottoinsieme E ⊆ X `e limitato superiormentese esiste M ∈ X tale che x ≤ M per ogni x ∈ E . Tale M si dice

maggiorante.

Il sottoinsieme E ⊆ X `e limitato inferiormentese esiste m ∈ X

tale che m ≤ x per ogni x ∈ E . Tale M si dice minorante.

L’insieme E `e limitatose `e limitato superiormente e inferiormente cio`e

Massimi e minimi.

Vediamo alcuni esempi

E = {x ∈ Q : x < 5} `e superiormente limitato da 5;

E = {x ∈ Q : −27 < x < 1} `e inferiormente e superiormente limitato risp. da −27 e 1 e quindi limitato;

Massimi e minimi.

Sia E ⊆ X , con X totalmente ordinato.

L’elemento x `e massimo per E se

x ∈ E ;

x ≤ x per ogni x ∈ E .

L’elemento x `e minimo per E se

x ∈ E ;

Massimi e minimi.

Alcuni esempi E = [0, 1] = {x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1} ⊆ R ha massimo in x = 1 e minimo in x = 0. E = (0, 1] = {x ∈ R, 0 < x ≤ 1} ⊆ R ha massimo in x = 1 ed `

e limitato inferiormente ma non ha minimo.

E = {x ∈ Q, x < −5} ⊆ R `e limitato superiormente ma non ha massimo e non `e limitato inferiormente.

Osserviamo che

Massimi e minimi.

Teorema

Sia E totalmente ordinato. Se esiste il massimo di E , questo `e unico.

Dimostrazione.

Supponiamo che per assurdo esistano due massimi di E, siano M1

e M2 con M16= M2. Dalle loro definizioni,

M1≤ M2 e M2≤ M1

Estremo superiore e inferiore.

Definizione

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si dice

maggiorantedi E, se x ≤ k per ogni x ∈ E . Si definisce estremo superiore di E (in X ), e lo si indica con sup(E ), il minimo dei maggioranti di E in X (se esiste).

Definizione

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si dice

minorantedi E, se k ≤ x per ogni x ∈ E . Si definisce estremo inferiore di E (in X ), e lo si indica con inf(E ), il massimo dei minoranti di E in X (se esiste).

Osserviamo che

Estremo superiore e inferiore: esempio 1.

Esempio

Si consideri E = [0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

Estremo superiore e inferiore: esempio 2.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 e ovviamente il loro massimo, che `e inf(E ), `e x = 0.

Esempio

Si consideri E = {x ∈ Q : x < 5}. Evidentemente max(E ) non esiste;

min(E ) non esiste;

Estremo superiore e inferiore: esempio.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 e ovviamente il loro massimo, che `e inf(E ), `e x = 0.

Esempio

Si consideri E = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 < 2}. Evidentemente max(E ) non esiste;

min(E ) = inf(E ) = 0;

Facoltativo. Estremo superiore e inferiore.

L’insieme X ha lapropriet`a dell’estremo superiore se per ogni E ⊆ X , non vuoto e limitato superiormente, questo possiede sup in X .

Nota.

Si noti che non `e X ad avere estremo superiore, ma ogni E ⊆ X

Facoltativo. Campo ordinato.

Teorema

L’insieme R `e un campo ordinato che ha la propriet`a dell’estremo superiore.

Facoltativo.

Si dimostra che in questo caso, la propriet`a dell’estremo superiore `e equivalente a dire che per ognisezione {A, B} di R, cio`e A, B tali che

A, B 6= ∅; A ∩ B = ∅; A ∪ B = R;

se a ∈ A, b ∈ B allora a < b,

Facoltativo. Campo ordinato: R.

Esempio Siano A = {x ∈ R : x2< 2} e B = {x ∈ R : x2 ≥ 2}.

Facoltativo. Campo ordinato.

Facoltativo. Campo ordinato.

Alcuni esercizi.

Esempio

Si consideri

E = {x ∈ R : x = 1

n, n ∈ N, n 6= 0}. Si mostri che E `e limitato.

Dimostrazione.

Non `e difficile mostrare che max (E ) = 1. Infatti

1

n ≤ 1 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

Alcuni esercizi.

Mostriamo ora che inf (E ) = 0. Infatti

1

n > 0 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

Per ogni  > 0 esiste  > 0 tale che x < . Infatti se n > 1_ allora _n1 < .

Di conseguenza l’insieme

E = {x ∈ R : x = 1

n, n ∈ N, n 6= 0}

avendo massimo `e superiormente limitato;

Facoltativo. Esercizio per casa.

Sia

A = {x ∈ R : x = n

n + 1, n ∈ N}. Vediamo alcuni valori:

n = 0: x = _n+1n = ₀₊₁0 = 0; n = 1: x = _n+1n = ₁₊₁1 = 1₂ = 0.5; n = 2: x = _n+1n = 2₃ = 0.6666 . . .; n = 3: x = _n+1n = ₃₊₁3 = 0.75; n = 4: x = _n+1n = ₄₊₁4 = 0.8; n = 100000: x = _n+1n = _100000+1100000 = 0.9999900000999991 . . .; Si capisce intuitivamente che il valore di x = _n+1n `e positivo, cresce al crescere di n e tende a 1 pur essendo inferiore poich`e

n < n + 1 ⇒ n

Facoltativo. Esercizio per casa.

Dimostrare che

1 min(A) = inf(A) = 0

2 sup(A) = 1.

Facoltativo. Esercizio su max, min, sup, inf.

Esercizio Sia A = {x ∈ R : x = (−1) n n , n ∈ N, n 6= 0}.

Determinare max e min.

Valore assoluto (o modulo).

Definizione (Valore assoluto)

Sia a ∈ R. Si definiscevalore assoluto (o modulo), la quantit`a |a| :=



a, se a ≥ 0 −a, se a < 0

Si mostra facilmente che |a| ≥ 0;

Valore assoluto (o modulo).

Teorema

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x| ≤ b; 2 Se b ≥ 0 allora |x | ≤ b se e solo se

−b ≤ x ≤ b.

Nota.

Dal precedente si vede in modo analogo che Sia b ∈ R.

1 Se b ≤ 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x| < b; 2 Se b > 0 allora |x | < b se e solo se

Valore assoluto (o modulo).

Svolgimento.

Se b < 0 ci`o `e mai verificato in quanto 0 ≤ |x | per ogni x ∈ R e quindi se fosse |x | ≤ b sarebbe

0 ≤ |x | ≤ b < 0 il che non `e possibile;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≤ b se e solo se x = |x | ≤ b;

Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≤ b se e solo se −x = |x| ≤ b (cio`e x ≥ −b).

Raccogliendo i risultati si ha che per b ≥ 0 si ha

Valore assoluto (o modulo).

Teorema

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| ≤ b; 2 Se b ≥ 0 allora |x | ≥ b se e solo se

x ≤ −b oppure x ≥ b.

Nota.

Dal precedente si vede in modo analogo che se b ∈ R allora 1 se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| > b.

2 se b = 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| > b = 0 per ogni x ∈ R eccetto per x = 0.

3 se b > 0 allora |x | > b se e solo se

Valore assoluto (o modulo).

Svolgimento.

Se b < 0 ci`o `e sempre verificato in quanto |x | ≥ 0 per ogni x ∈ R;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≥ b se e solo se x ≥ b; Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≥ b se e solo se −x ≥ b (cio`e x ≤ −b).

Dai risultati, per b ≥ 0 si ha che |x | ≥ b se e solo se

1 x ≥ b oppure

2 x ≤ −b

cio`e se e solo se

Valore assoluto (o modulo): disuguaglianza triangolare.

Teorema (Disuguaglianza triangolare)

Per ogni x , y ∈ R si ha che

|x + y | ≤ |x| + |y |.

Dimostrazione.

Per quanto visto, per ogni x , y ∈ R

−|x| ≤ x ≤ |x|, −|y | ≤ y ≤ |y | e quindi −|x| − |y | ≤ x + y ≤ |x| + |y |. Ora poniamob = |x | + |y | ≥ 0ez = x + y; osserviamo che −|x | − |y | = −(|x | + |y |) = −b.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determinare quando |x + 3| < α.

Svolgimento.

Se α < 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, ci`o non si realizza mai altrimenti 0 ≤ |x + 3| < α < 0

che `e assurdo.

Se α > 0, da (2) abbiamo per b > 0

|a| < b ⇔ −b < a < b e quindi nel nostro caso implica

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determiniamo quando |x + 3| > α.

Svolgimento.

Se α < 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, ci`o si realizza sempre α < 0 ≤ |x + 3|;

Se α > 0, da (3) abbiamo per b > 0 che |a| > b se e solo se

a > b ob < −a

e quindi nel nostro caso, posto a = x + 3 e b = α, implica

x + 3 > αoppureα ≤ −(x + 3)

da cui evidenziando il termine x

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Se f , g sono due funzioni, vediamo quando |f (x )| ≤ g (x ) se g (x ) < 0, |f (x )| ≤ g (x ) non `e verificata; se g (x ) ≥ 0, |f (x )| ≤ g (x ) `e verificata se e solo se −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x); 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : Grafico di f (x ) = sin (x ) − 0.5 (pois nero),

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Determinare per quali x vale la disuguaglianza |6x2_{− 13x − 15| ≤ 3 − x.} −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figura : Grafico di f (x ) = |6x2_{− 13x − 15| (nero), g (x) = 3 − x (rosso).}

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Svolgimento.

Posto f (x ) := 6x2− 13x − 15, g (x) := 3 − x, per quanto visto se g (x ) < 0, allora |f (x )| ≤ g (x ) non `e verificata. Nel nostro caso g (x ) < 0 se e solo se 3 − x < 0, cio`e

x > 3.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

se g (x ) ≥ 0, |f (x )| ≤ g (x ) `e verificata se e solo se −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x)

.

Nel nostro caso g (x ) ≥ 0 se e solo se x ≤ 3 ed in tal caso la disuguaglianza `e verificata se e solo se

−(3 − x) = −g (x) ≤ f (x) = 6x2_{− 13x − 15 ≤ g (x) = 3 − x}

ossia



−(3 − x) ≤ 6x2_{− 13x − 15}

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Visto che

−(3 − x) ≤ 6x2− 13x − 15⇔ 6x2− 14x − 12 ≥ 0 ⇔3x2− 7x − 6 ≥ 0 e

6x2− 13x − 15 ≤ 3 − x⇔ 6x2− 12x − 18 ≤ 0 ⇔x2− 2x − 3 ≤ 0.

basta sia verificato il sistema di disequazioni quadratiche 

3x2− 7x − 6 ≥ 0

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Osserviamo che per risolvere

3x2− 7x − 6 ≥ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado

3x2− 7x − 6 = 0

che sono x1 = −2/3 e x2 = 3, e osservare che la parabola

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Similmente, osserviamo che per risolvere

x2− 2x − 3 ≤ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado

x2− 2x − 3 = 0

che tramite la ben nota formula sono x1,2 = 1 ±

√

1 + 3 = 1 ± 2

cio`e x1 = −1, x2= 3 e osservare che esclusivamente tra x1 e x2 la

parabola x2− 2x − 3 assume valori negativi, per dedurre che

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Raccogliendo i risultati, per x ≤ 3, la disuguaglianza

|6x2_{− 13x − 15| ≤ 3 − x}

`e verificata per i valori di x per cui contemporaneamente −1 ≤ x ≤ 3

e

x ≤ −2/3 oppure x ≥ 3.

Visto che si supponeva x ≤ 3, e −2/3 = 0.6666 . . ., la disuguaglianza risulta verificata per

Principio per induzione: esempi.

Il principio per induzione viene utilizzato quale tecnica per dimostrare asserti del tipo

∀n ∈ N, n ≥ n0 vale la propriet`a p(n).

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che se n `e pari allora n2 `e pari. In questo casop(n)sta per se n `e pari allora n2 `e pari.

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che 2n> n.

Principio per induzione.

Sia n0 ∈ N e supponiamo di dover dimostrare che p(n) `e verificata

per ogni n ≥ n0. Se si dimostra che 1 p(n) `e vera per n = n₀ (primo passo),

2 supponendo che p(n) allora p(n + 1) `e vera (passo induttivo),

Principio per induzione: esempio risolto.

Teorema

Per ogni n ∈ N, si dimostri che 1 + 2 + . . . + n = n X k=1 k = n(n + 1) 2 Dimostrazione.

In questo caso p(n) sta per 1 + 2 + . . . + n =Pn

k=1k = n(n+1) 2 . n = 0: per definizioneP0 k=1k = 0 ed facilmente 0(0+1) 2 = 0,

Principio per induzione: esercizi.

supponiamo che sia per un certo n valga p(n)

1 + 2 + . . . + n = n X k=1 k = n(n + 1) 2

e dobbiamo dimostrare che vale pure p(n + 1) cio`e

Principio per induzione: esercizi.

Esercizio

Per ogni n ∈ N si ha che n2+ n `e pari.

Esercizio

Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

Teorema (Bernoulli)

Per ogni x > −1, x ∈ R, n ∈ N si ha (1 + x )n≥ 1 + xn.

Dimostrazione.

Nel nostro caso la proposizione p(M) consiste in

per ogni x > 1 si ha (1 + x )M ≥ 1 + xM.

Proviamo l’asserto per induzione, osservando che l’induzione `e in n (e non in x ).

Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

supponiamo valga l’ipotesi induttiva p(n) (1 + x )n≥ 1 + xn e mostriamo che vale pure p(n + 1) cio`e

(1 + x )n+1≥ 1 + x(n + 1). In effetti, essendo 1 + x > 0, dall’ipotesi induttiva

(1 + x )n≥ (1 + xn) ⇔(1 + x )(1 + x )n≥ (1 + x)(1 + xn)

e da x2n ≥ 0

(1 + x )n+1 = (1 + x )(1 + x )n≥ (1 + x)(1 + xn)

Sommatorie.

Per fare la somma di molti numeri, spesso si usa il simboloP. Cos`ı

n

X

i =n0

ai := an0+ an0+1+ an0+2+ . . . + an

In questo caso, i si dice indice di sommatoria. Se n < n0 si

Progressione geometrica.

Definizione (Progressione geometrica)

La sommatoria

n X

k=0

qk= 1 + q + . . . + qn `e nota comeprogressione geometricadi ragione q.

Esempio n X k=0 3k= 1 + 3 + 32+ . . . + 3n. Teorema

Sommatorie e coefficienti binomiali.

Per esempio, nel caso q = 3 si ha che da

Sommatorie e coefficienti binomiali.

Teorema Per q 6= 1 si ha che n X k=0 qk = 1 + q + . . . + qn= q n+1_{− 1} q − 1 = 1 − qn+1 1 − q Dimostrazione. Osserviamo che (1 − q)(1 + q + . . . + qn) = 1 + q + q2+ . . . + qn −q − q2− . . . − qn+1 = 1 − qn+1 (5) abbiamo (1 − q)(1 + q + . . . + qn) = 1 − qn+1 da cui l’asserto, osservando chePn

k=0qk = 1 + q + . . . + qn e

Coefficienti binomiali e binomio di Newton.

L’intenzione `e quella di calcolare, fissati a, b, n, la quantit`a (a + b)n.

Esempi:

n = 0: (a + b)0= 1;

n = 1: (a + b)1= a + b;

Fattoriale.

Definizione (Fattoriale)

Fattoriale.

Teorema

Il fattoriale corrisponde al numero di permutazioni di n oggetti distinti.

Siano a, b, c e consideriamo le loro permutazioni:

1 (a, b, c); 2 (a, c, b); 3 (b, a, c); 4 (b, c, a); 5 (c, a, b); 6 (c, b, a).

Coefficienti binomiali.

Siano n, k ∈ N, con k ≤ n.

Si definisce coefficiente binomiale Cn,k di n e k, la quantit`a

Cn,k =  n k  = n! k!(n − k)! Alcuni esempi, ricordando che 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2:

Formula del binomio di Newton.

Teorema (Binomio di Newton)

Definito con Cn,k =  n k  = n! k!(n − k)! si ha per n ∈ N (a + b)n= (a + b) · . . . · (a + b) | {z } nvolte = n X k=0 Cn,kakbn−k

Per esempio, nel caso n = 2, essendo C2,0 = 1, C2,1= 2, C2,2 = 1,

si ottiene il noto risultato

Triangolo di Tartaglia.

I coefficienti Cn,k = _k!(n−k)!n! si calcolano col Triangolo di Tartaglia.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Il valore Cn,k `e il (k + 1)-simo elemento della (n + 1)-sima riga.

Cos`ı, dalla formula del binomio di Newton

Potenze e radici n-sime.

Teorema

Siano y ∈ R, y > 0, n ∈ N, n ≥ 1. Allora esiste un unico x > 0,

x ∈ R tale che xn= y

Usualmente tale x si denota con y1/n _oppure √n_{y e si chiama}

radice n-sima di y ;

Potenze e radici n-sime.

Esempio √ 4 = 2 Esempio Per ogni x ∈ R si ha √ x2 _{= |x |.}

in generale √n_{y = x `e definita solo se y ≥ 0;}

se n `e dispari e y < 0, √n_{y = −}√n_{−y . Esempio:}

−3 =√3

−8 = −_{p−(−8) = −}3 √3

Potenze a esponente razionale.

Definizione Supposto r =m_{n ∈ Q, y ∈ R, y > 0, si definisce} yr = ymn = (ym) 1 n Nota.

Alcune propriet`

a delle potenze (facoltativa).

Nota.

Per ogni a > 1 r ∈ R, si supponga che sia (in decimali) r = p, α1. . . αn. . .

con p ∈ Z e αk ∈ {0, 1, . . . , 9} per ogni n ∈ N Si definisce

ar := sup {p, α1. . . αn, n ∈ N}.

Logaritmo.

Definizione (Logaritmo)

Sia a > 0, a 6= 1, y > 0. Esiste un solo x ∈ R tale che ax _{= y .}

Tale x si chiamalogaritmoin base a di y e si scrive x := log_ay Dalla definizione, se x = log_ay necessariamente

Logaritmo: propriet`

a.

Si supponga a, b, x , y ∈ R, a, b, x, y > 0, a 6= 1, b 6= 1 alogax _{= x ;}

log_axy = log_ax + log_ay ; log_ax1 = − log_ax ;

log_ax_y = log_ax − log_ay ;

log_axγ = γ log_ax per ogni γ ∈ R; log_ax = _log1 xa = − log1ax ; log_ax = logbx logba; x > y > 0 ⇒  log_ax > log_ay se a > 1; log_ax < log_ay se 0 < a < 1; log_a1 = 0; log_aa = 1; log_a 1_a = −1;

Per ogni γ ∈ R, γ 6= 1, si ha

1 ∀x 6= 0 : log_ax2_{= 2 log}

a|x|;

Funzioni.

Definizione (Funzione)

Siano A, B insiemi. Lafunzionef `e una legge che ad ogni

elemento di A associauno e uno solo elemento di B, e si scrive

f : A → B.

Usualmente si dice f `e definita da A a B;

Se x ∈ A, con f (x ) si indica il valore di B associato a x mediante f .

A volte si scrive f : x → f (x ) ∈ B. La variabile x si chiama

variabile indipendente.

L’insieme A si chiama dominio di f , mentre l’insieme B si

Funzioni: esempi.

Esempio

Sia X = {1, 2, 3} e Y = {a, b, c, d , e}. Sia f : X → Y la funzione per cui f (1) = a, f (2) = c, f (3) = d . Osserviamo che non tutti gli elementi del codominio sono funzione di qualche elemento del dominio.

Figura : Esempio di funzione.

Funzioni: esempi.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio `e R e il codominio R.

Esempio

Sia A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} e sia f : A → B definita da f (x ) = x + 1.

Esempio

Funzioni: immagine.

Definizione (Immagine)

Sia f : A → B. Si diceimmaginedi A attraverso f , il sottinsieme di B definito da

f (A) = Im(f ) = {x ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x )}.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio `e R e il codominio R. L’immagine di f `e R+.

Esempio

Funzioni: immagine e grafico.

Esempio

Sia f : R2→ R, definita da f (x, y) = x + y. In questo caso, il dominio `e R2 e il codominio R. L’immagine di f `e R.

Esempio

Sia f : R → R2, definita da f (x ) = (x , 2 · x ). In questo caso, il dominio `e R e il codominio R2. L’immagine di f `e una retta di R2 (cio`e y = 2 · x ).

D’ora in poi, qualora non detto esplicitamente, sar`a f : A ⊆ R → R.

Definizione (Grafico)

Funzioni: grafico.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Grafico di funzione (`_{e f (x ) = sin(x ), con f : [−5, 5] → R).}

Funzioni: grafico.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Un esempio che non `_{e grafico di funzione da [0, 1] ⊂ R in R. Ad}

esempio in 0 assume due valori, −1 e +1

Funzioni: sul dominio.

Di seguito consideremo, a meno di specificazioni, f : D ⊆ R → R con D dominio naturale di f , ci`e tutti gli x per i quali ha senso scrivere f (x ).

Esempio

Sia f (x ) =√x . Allora D = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Esempio

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  x se x > 0 −x se x ≤ 0 Che funzione nota `e f ?

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  1 se x ∈ Q 0 se x ∈ R\Q

E’ il grafico della funzione f facilmente rappresentabile? In questo

Funzioni: successioni.

Definizione (Successione)

Si dicesuccessione ogni funzione f in cui il dominio `e N. In particolare ogni funzione f : N → R si chiamasuccessione reale.

Esempio

La funzione f : N → R definita da f (n) := fn:=

n − 1 n + 1

`e una successione. In particolare f0 = −1, f1= 0, f2 = 1/3, etc. Si

verifica facilmente che fn< fn+1 essendo n−1_n+1 < _n+2n (risolvere una

Funzioni: limitate superiormente.

Definizione (Funzione limitata superiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata superiormente se

esiste M ∈ R tale che

f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D.

Esempio

Funzioni: limitate superiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0

Figura : Grafico di f (x ) = −x2nell’intervallo −10 e +10

Funzioni: limitate inferiormente.

Definizione (Funzione limitata inferiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata inferiormente se

esiste m ∈ R tale che

f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D.

Esempio

La funzione f (x ) = x2 ha il grafico che consiste in una parabola ed assume esclusivamente valori positivi. In questo caso si pu`o

Funzioni: limitate inferiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Figura : Grafico di f (x ) = x2nell’intervallo −10 e +10

Funzioni: limitate.

Definizione (Funzione limitata)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata se `e limitata superiormente e inferiormente, cio`e esistono m, M ∈ R tali che

m ≤ f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D che `e equivalente a dire che esiste k ∈ R tale che

Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x ) = x3, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = R e quindi la funzione non `e limitata n`e inferiormente, n`e superiormente.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 6

Figura : Grafico di f (x ) = x3 _{nell’intervallo −100 e +100. Attenzione}

che `e in scala 1 milione sull’asse y !

Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x ) = _1+x1 2, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = (0, 1] e

Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione pari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicepari se

f (x ) = f (−x ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120

Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione dispari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicedisparise

f (x ) = −f (−x ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Funzioni: simmetriche, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x2 `e pari. Infatti

f (−x ) = (−x )2 = x2 = f (x ).

Esempio

La funzione f (x ) = x3 `e dispari. Infatti

Funzioni: simmetriche, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3− x17 _{`e dispari.}

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3+ 1 non `e n`e pari n`e dispari. Ad esempio f (2) = −5, f (−2) = 7 6= ±5 = ±f (2).

Nota.

Osserviamo che una funzione

pari ha un grafico simmetrico rispetto l’asse y ;

Funzioni: monotone.

Sia f : D ⊆ R → R.

Definizione (Monotona crescente)

La funzione f `e monotona crescentese

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≤ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente crescente)

La funzione f `e monotona strettamente crescente se

Funzioni: monotone.

Definizione (Monotona decrescente)

La funzione f `e monotona decrescentese

∀x₁, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≥ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente decrescente)

La funzione f `e monotona strettamente decrescentese

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x3, f : R → R, `e strettamente crescente.

Esempio

La funzione f (x ) = 1, f : R → R, `e crescente e decrescente.

Esempio

La funzione f (x ) = _1+x1 2, f : R → R, non `e n`e crescente n`e

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x2, f : R+→ R, `e strettamente crescente. La funzione f (x ) = x2, f : R−→ R, `e strettamente decrescente.

Funzioni: periodiche.

Definizione (Periodica)

La funzione f : D ⊆ R → R `eperiodicadi periodo T > 0 se T `e il pi`u piccolo numero reale tale

f (x + T ) = f (x ), ∀x ∈ D, x + T ∈ D.

Nota.

Usualmente D = R o pi`u raramente D = R\X con

X = {x : x = x0+ kT , k ∈ Z} per un certo x0∈ R dove la funzione f non `e definita (si pensi alla tangente!).

Esempio

La funzione f (x ) = sin (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

Funzioni: monotone, esempi.

−15 −10 −5 0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Funzioni: periodiche.

Esempio

La funzione f (x ) = cos (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

cos (x + 2π) = cos (x ), ∀x ∈ R.

Nota.

Funzioni: monotone, esempi.

−15 −10 −5 0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Funzioni: elementari.

Definizione (Potenza)

La funzione f : D ⊆ R → R definita da f (x) = xα, α ∈ R `e nota

come funzionepotenza.

Si riconosce subito che f (1) = 1;

Im(f ) = [0, +∞) se α ∈ N `e pari; Im(f ) = R se α ∈ N `e dispari;

se α ∈ N `e dispari allora f `e crescente;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = [0, +∞) se n `e pari;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = R se n `e dispari; se α ∈ R allora R+\{0} ⊆ Im(f );

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x−1 = 1_x, f : R\{0} → R, `e una iperbole, `e dispari non `e monotona.

Esempio

La funzione f (x ) = x−2 = _x12, f : R\{0} → R, `e pari ma non `e

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) =√x = x1/2, f : R+→ R, `e monotona crescente.

Esempio

La funzione f (x ) =√3x2_{= x}2/3

, f : → R, `e pari ma non `e monotona.

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) =√x = x1/2, f : R+ → R, `e monotona crescente.

Esempio

La funzione f (x ) =√3x2 _{= x}2/3_{, f : → R, `e pari ma non `e}

Funzioni: monotone, esempi.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura : Grafico di f (x ) = x2 _{in rosso, f (x ) = x in nero, f (x ) = x}1/2 _in

Funzioni: esponenziali.

Definizione (Esponenziale)

Sia α ∈ R+\{0}. La funzione f (x) = αx_{, f : R → R si chiama}

funzione esponenzialein base α. Si osservi che il dominio `e R; Im(f ) = (0, +∞); f (0) = 1 per ogni α −3 −2 −1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura : Grafico di f (x ) = 2x _{in rosso, f (x ) = 1}x _{in nero, f (x ) = 1/2}x

Funzioni: logaritmi.

Sia D := R+_{\{0} e a ∈ R}+_{\{0, 1}. Sia f (x) = log}

ax . Allora

Il dominio di f `e D = R+\0; Im(f ) = R;

f (1) = 0 per ogni scelta di a; Si ha che y = log_a(x ) ⇔ ay = x ;

Se a = 1 allora il logaritmo non `e definito.

Sia e := 2.718281828459046 . . . il numero di Nepero. Allora log_ex = ln(x ) = log(x )

`

e noto comelogaritmo naturale;

a = eln (a);

Funzioni: logaritmi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5

Funzioni trigonometriche.

Si supponga

Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell’origine (disco unitario); siano A = (1, 0), B = (0, 1);

sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l’angolo A ˆOP misuri x radianti (orientato antiorario!);

sia Q la proiezione di P sull’asse delle ascisse;

sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezione sull’asse dell’ascisse sia A.

Allora

l’ascissa di Q si denota cos (x ) (cosenodi x); l’ordinata di P si denota sen(x) (seno di x); l’ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x);

Funzioni trigonometriche.

Funzioni trigonometriche.

Poich`e i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che

tg (x ) = sen(x ) cos(x ),

Si definisce poicotangentela funzione ctg (x ) = cos(x )

sen(x ). Inoltre `e facile osservare che

cos (0) = 1, sin (0) = 0; cos (2π) = 1, sin (2π) = 0;

dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario,

Funzioni trigonometriche.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : La funzione sin (x ).

La funzione sin (x ) `

e periodica con periodo 2π; `

e dispari:sin (−x ) = − sin (x )

Funzioni trigonometriche.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : La funzione cos(x).

La funzione cos(x) `

e periodica con periodo 2π; `

e pari: cos (−x ) = cos (x );

ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [−1, 1] (quindi | cos (x)| ≤ 1);

Funzioni trigonometriche.

Figura : La funzione tan(x).

La funzione tan(x) `

e periodica con periodo π; `

e dispari: tan(−x ) = −tan(x ) ;

non `e definita nei punti xk= kπ con k ∈ Z;

Funzioni trigonometriche: esercizio.

Esercizio

Qual’`e il periodo di f (x ) = sin (3x )?

Da f (x + T ) = f (x ) abbiamo per y = 3x

f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T ) (8) f (x ) = sin (3x ) = sin (y ). (9) Il pi`u piccolo ˆT per cui sin(y + ˆT ) = sin(y ) `e ˆT = 2π, per cui il pi`u piccolo T per cui

f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y ) = f (x ) `e 3T = ˆT = 2π da cui

T = 2π/3.

Funzioni iperboliche.

Definizione (Seno iperbolico)

Si definisceseno iperbolicola quantit`a Sh(x ) = sinh (x ) := e

x_{− e}−x

2 .

Definizione (Coseno iperbolico)

Si definiscecoseno iperbolico la quantit`a Ch(x ) = cosh (x ) := e

x_{+ e}−x

Funzioni iperboliche.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definiscetangente iperbolicala quantit`a Th(x ) = tanh (x ) := sinh(x )

cosh(x ) =

ex − e−x ex _{+ e}−x.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definiscecotangente iperbolica la quantit`a Th(x ) = coth (x ) := cosh(x )

sinh(x ) =

ex+ e−x ex_{− e}−x.

Funzioni iperboliche: sinh.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −30 −20 −10 0 10 20 30

Figura : La funzione sinh(x ) in [−4, 4].

La funzione sinh(x ) `

e dispari: sinh(−x ) = − sinh(x ) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R; `

Funzioni iperboliche: cosh.

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30

Figura : La funzione cosh(x ) in [−4, 4].

La funzione cosh(x ) `

e pari: cosh(−x ) = cosh(x ) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1, +∞) (cio`e cosh(x) ≥ 1); `

Funzioni iperboliche: tanh.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : La funzione tanh(x ) in [−10, 10].

La funzione tanh(x ) `

e dispari: tanh(−x ) = − tanh(x ) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = (−1, 1) (cio`e tanh(x) `e limitata);

`

Funzioni iperboliche: coth.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −150 −100 −50 0 50 100 150

Figura : La funzione coth(x ) in [−10, 10].

La funzione coth(x ) `

e dispari: coth(−x ) = − coth(x ) (verificarlo) ;

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = f (x ) + a?

Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x ).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = f (x + a)?

Risposta: Si trasla orizzontalmente di −a il grafico di f (x ).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x ) (nero) e

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = −f (x )? Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x ) rispetto l’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = k · f (x )? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x ) (rispetto l’asse x). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura : Grafico di y = sin (x ) (nero), y = 2 sin (x ) (rosso) e

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = f (kx )? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x ) (rispetto l’asse y). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Grafico di y = sin (x ) (nero), y = sin (2x ) (rosso) e

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = |f (x )|? Risposta: Se f (x ) ≥ 0 non si fa niente, altrimenti lo si riflette sull’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual’`e il grafico di y = f (|x |)? Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x ≥ 0 rispetto l’asse y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1

Operazioni sui grafici.

Nota. (Sugli zeri (facoltativa))

Si supponga di conoscere che f (x∗) = 0. Allora

posto g (x ) := f (x + a), y∗= x∗− a, si ha facilmente che g (y∗ ) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y − a) = 0;

posto g (x ) := −f (x ), si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := k · f (x ) (con k ∈ R), si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := f (k · x ) (con k ∈ R\{0}), si ha che g (x∗/k) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (yk) = 0 con yk= k · y ;

posto g (x ) := |f (x )| si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := f (|x |), se x∗≥ 0 e y∗

Funzioni composte.

Definizione (Funzione composta)

Sia f : E → R, g : F → R tale che Im(f ) ⊆ F . La funzione h = g ◦ f tale che h(x ) = (g ◦ f )(x ) = g (f (x ))

si chiamafunzione composta.

Funzioni composte.

Nota.

Si noti che:

E’ fondamentale che Im(f ) ⊆ F ; In generale f ◦ g 6= g ◦ f ;

Si possono comporre pi`u funzioni

Funzioni composte: generalizzazione.

La definizione, pi`u generale consiste in

Definizione (Funzione composta (def. generale))

Siano X , Y , V , W insiemi. Siano f : X → Y , g : V → W tali che Im(f ) := f (X ) ⊆ V . Allora si pu`o definire la funzione h = g ◦ f tale che

h(x ) = (g ◦ f )(x ) = g (f (x )).

Funzioni composte: esempio 1.

Esempio Siano f (x ) = x2+ 1, g (x ) =√x Si vede che (g ◦ f )(x ) = g (f (x )) =px2_{+ 1}

Si osservi che da Im(f ) = [1, +∞), Dom(g ) = [0, +∞), la

composta `e ben definita e da Dom(f ) = R, (g ◦ f ) : R → R.

Si vede che

(f ◦ g )(x ) = f (g (x )) = (√x )2+ 1 = |x | + 1.

Osserviamo che Dom(g ) = R+= [0, +∞) e in R+ si ha che

Funzioni composte: esempio 2.

Esempio Siano f (x ) = −x2, g (x ) =√4 x Si vede che (g ◦ f )(x ) = g (f (x )) =p4 −x2

Si osservi che da Im(f ) = (−∞, 0], Dom(g ) = [0, +∞), la compostanon`e ben definita. L’unico punto in cui la funzione `

Funzioni composte: esempio 2.

Si vede che

(f ◦ g )(x ) = f (g (x )) = −(√4

x )2.

Osserviamo che Dom(g ) = R+= [0, +∞),

Im(g ) = [0, ∞) = R+_{, Dom(f ) = R}+ _{e quindi da}

Im(g ) ⊆ Dom(f ) la composta `e ben definita.

Funzioni composte: esempio 3.

Esempio Siano f (x ) =  1, x ≥ 0 3, x < 0 g (x ) =  x2, x > 1 −x, x ≤ 1 Calcoliamo (f ◦ g )(x ) = f (g (x )).

Supponiamo x ≤ 1. Allora g (x ) = −x ed `e g (x ) ≥ 0 per x ≤ 0 altrimenti, per x ∈ (0, 1], si ha che g (x ) < 0. Se x ≤ 0 abbiamo f (g (x )) = 1 mentre per x ∈ (0, 1] si ha f (g (x )) = 3. Supponiamo x > 1. Allora g (x ) = x2_{> 1 > 0 e quindi}

f (g (x )) = 1.

Funzioni composte: monotonia.

Teorema

Siano f : D ⊂ R → R, g : E ⊂ R → R con Im(f ) ⊆ Dom(g ) = E . Se f crescente, g crescente allora g ◦ f `e crescente.

Se f crescente, g decrescente allora g ◦ f `e decrescente. Se f decrescente, g decrescente allora g ◦ f `e crescente. Se f decrescente, g crescente allora g ◦ f `e decrescente.

Dimostrazione.

Dimostriamo il primo asserto. Se x1> x2, essendo f crescente, f (x1) > f (x2). Siano y1= f (x1) e y2= f (x2). Allora essendo g crescente

Funzioni composte: monotonia, esempio 1.

Esempio

Discutere la monotonia di F (x ) = log(sinh(x3)).

Svolgimento.

Posto h(x ) = log (x ), g (x ) = sinh(x ), f (x ) = x3, si vede subito che f , g , h sono funzioni crescenti e che F (x ) = (h ◦ (g ◦ f )) = h(g (f (x )). Inoltre

G := g ◦ f `e crescente perch`e composizione di funzioni crescenti; F = h ◦ (g ◦ f ) = h ◦ G , dove `e definita, `e crescente perch`e composizione di funzioni crescenti.

Funzioni composte: monotonia, esempio 2.

Esempio Discutere la monotonia di F (x ) = 1 log (x ). Svolgimento. Posto g (x ) =1

x, f (x ) = log (x ), si vede subito che g `e una funzione decrescente in (−∞, 0) e (0, +∞) ed f crescente in (0, +∞), e che F (x ) = (g ◦ f ) = g (f (x )).

Quindi F `e una funzione decrescente in (0, 1) e (1, +∞).

Possiamo dire che F `e decrescente in R+\{0, 1}? Qualche problema tra immagini e domini?

Nota.

Funzioni composte: monotonia, esempio 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −100 0 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −200 0 200 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 −2 0 2x 10 4

Funzioni invertibili e inverse.

Definizione (Funzione invertibile)

Una funzione f : D → f (D) `e invertibile in D se e solo se per ogni y ∈ f (D) esiste uno e uno solo x ∈ D tale che f (x ) = y .

Definizione (Funzione inversa)

Sia la funzione f : D → f (D)invertibile in D.

La funzione f−1: f (D) → D che associa ad ogni y ∈ f (D)

Funzioni invertibili e inverse.

Funzioni invertibili.

Definizione (Funzione identica)

La funzione Id : D → D tale che Id (x ) = x si chiamafunzione

identica.

Nota.

Se la funzione f : D → f (D) `e invertibile allora f−1◦ f (x) = f−1(f (x )) = x , ∀x ∈ D e quindi f−1◦ f = Id .

Se la funzione f : D → f (D) `e invertibile allora f ◦ f−1(y ) = f (f−1(y )) = y , ∀y ∈ f (D).

Funzioni invertibili.

Sia D ⊆ R un dominio simmetrico e f : D → R una funzione pari. Allora f non `e invertibile.

Se `e pari infatti f (x ) = f (−x ) ed essendo il dominio simmetrico x , −x ∈ D.

Sia f : R → R una funzione periodica. Allora f non `e invertibile.

Funzioni iniettive e suriettive.

Definizione (Funzione iniettiva)

Una funzione f : D → E `einiettiva in D se e solo se per ogni x1, x2 ∈ D, x16= x2 si ha che f (x1) 6= f (x2)

Nota.

La definizione di funzione iniettiva `e equivalente a dire che se x1, x2∈ D, f (x1) = f (x2) allora x1= x2.

Funzioni iniettive e suriettive.

Definizione (Suriettiva)

Una funzione f : D → E `esuriettivase e solo se per ogni y ∈ E esiste x ∈ D tale che f (x ) = y .

Definizione (Biettiva)

Una funzione f : D → E si dicebiettivase e solo se iniettiva e suriettiva.

Nota.

Sia E = f (D). Allora f : D → E `e sicuramente suriettiva perch`e, per definizione di immagine, per ogni y ∈ f (D) esiste x ∈ D tale che y = f (x ). Quindi una funzione f : D → f (D) `ebiettivase e solo se iniettiva.

Funzioni iniettive: esempi.

Esempio

La funzionef (x ) = x2 _{non `e iniettiva in R. Infatti}

f (−1) = f (1) = 1.

Esempio

La funzionef (x ) = x3 `e iniettiva in R. Infatti se f (x1) = f (x2)

Funzioni invertibili: le funzioni monotone.

Teorema

Sia f : D ⊂ R → f (D) ⊆ R strettamente monotona. Allora f : D → f (D) `e invertibile in D.

Dimostrazione.

Sia f : D ⊆ R → R strettamente crescente e quindi x1< x2⇒ f (x1) < f (x2).

Dimostriamo che `e iniettiva, cio`ex16= x2⇒ f (x1) 6= f (x2). Visto che x1, x2 sono arbitrari e distinti, possiamo supporre x1< x2. Ma allora essendo crescente f (x1) < f (x2) e di conseguenza f (x1) 6= f (x2).

Funzioni invertibili: le funzioni monotone.

Teorema

Sia f : D ⊆ R → f (D) ⊆ R `e strettamente monotona allora f−1: f (D) → D `e strettamente monotona.

Nota.

Se f : D ⊂ R → R `e invertibile, allora non `e detto che f sia strettamente monotona. Ad esempio si consideri

f (x ) =  −1 x se x < 0 x se x ≥ 0. −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −100 −80 −60 −40 −20 0 20

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 1.

Esempio

Sia a > 1. La funzione f (x ) = ax `e tale che f : R → (0, +∞). E’ strettamente monotona e invertibile perch`e se ax1_{= a}x2 _{allora x}

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 2.

Esempio

La funzione f (x ) = x3 _{`e tale che f : R → R. E’ strettamente}

crescente e invertibile perch`e se x₁3 = x₂3 allora x1= x2. L’inversa

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 3.

Esempio

La funzione f (x ) = x2`e

Funzioni invertibili: il suo grafico.

Nota.

Osserviamo che

(x0, y0) ∈ graf(f ) ⇔ f (x0) = y0.

Inoltre, visto che se y0= f (x0) allora f−1(y0) = x0 (altrimenti f−1

non `e definita), il grafico dell’inversa f−1 `e caratterizzato da tutte le coppie (y0, x0) con y0= f (x0). Cos`ı ,

(x0, y0) ∈ graf(f ) ⇔ (y0, x0) ∈ graf(f−1).

Funzioni invertibili: il suo grafico.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura : La funzione f (x ) = ex in [0.05, 2] (nero), f−1(y ) = loge(y )

Funzioni invertibili: il suo grafico.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : La funzione f (x ) = x3_{in [−1, 1] (nero), f}−1_{(y ) =}√3_{y (rosso).}

Funzioni invertibili: il suo grafico.

La funzione f : [0, 1] → [0, 1] con f (x ) = x2 _{`e invertibile e la sua}

inversa `e f−1(y ) =√y . 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura : La funzione f (x ) = x2_{in [0, 1] (nero), f}−1_{(y ) =}√_{y (rosso). In}

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

La funzionef (x ) = sin (x ), se considerata come f : R → R non `e invertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicit`a ) [−π/2, π/2], cio`e come f : [−π/2, π/2] → [−1, 1], essendo strettamente crescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiamaarcosenoed `e denotata con arcsin(x ) (talvolta arcsen(x)).

Per definizione di inversa, si ha che f−1: [−1, 1] → [−π/2, π/2].

Per definizione, per x ∈ [−π/2, +π/2], arcsin (sin (x )) = x . Per definizione, per y ∈ [−1, 1], sin (arcsin (y )) = y . Si mostra che

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura : La funzione f (x ) = sin (x ) in [−π/2, π/2] (nero),

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

Nota.

Cosa succede se invece di prendere quale intervallo di periodicit`a [−π/2, π/2] considero un altro intervallo in cui sin (x ) `e monotona? Supponiamo si consideri f (x ) = sin (x ) come funzione

f : [π/2, 3π/2] → [−1, 1]. Sicuramente f `e invertibile, ma il valore dell’inversa sar`a in [π/2, 3π/2] e non in [−π/2, π/2].

−2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Figura : La funzione f (x ) = sin (x ) in [π/2, 3π/2] (nero), f−1_{(y ) (rosso).}

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

La funzionef (x ) = cos (x ), se considerata come f : R → R non `e invertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicit`a ) [0, π], ci`e come f : [0, π] → [−1, 1], essendo strettamente

decrescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiamaarco cosenoed `e denotata con

arccos(x )(talvolta acos(x)).

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Figura : La funzione f (x ) = cos (x ) in [0, π] (nero), f−1(y ) = arccos y

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

La funzionef (x ) = tan (x ), se considerata come f : R → R non `e invertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicit`a )

[−π/2, +π/2], ci`e come f : [−π/2, +π/2] → R, essendo

strettamente decrescente e Im(f ) = R, risulta invertibile. La sua inversa si chiamaarco tangente ed `e denotata con

arctan(x ) (talvolta atan(x)).

Per definizione di inversa, si ha che f−1: R → [−π/2, +π/2].

Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Funzioni trigonometriche e le loro inverse: esercizio.

Esercizio

Dire per quali valori di x `e definita

f (x ) = arccos (x3− 8).

La funzione `e definita per

|x3− 8| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x3− 8 ≤ 1.

Con facili conti si ottiene che devono valere entrambe le 

x3 ≤ 9 x3 ≥ 7

Esercizio 1 sui domini di una funzione

Esercizio

Calcolare il dominio di f (x ) = cosh(log |x2− 1|).

Essendo R il dominio naturale di cosh, basta sia definita

log |x2− 1| e quindi che sia |x2_{− 1| > 0. Essendo |a| = 0 se e solo}

Esercizio 2 sui domini di una funzione

Esercizio

Calcolare il dominio di f (x ) = arcsin(e|x+2|x _).

La funzione arcsin `e definita per argomenti y tale che |y | ≤ 1. Di conseguenza bisogna richiedere che

|e|x+2|x | ≤ 1

ed essendo l’esponenziale di un numero sempre positivo, basta e|x+2|x _{≤ 1.}

Essendo il logaritmo una funzione crescente, ci`o `e vero se e solo se log(e|x+2|x _{) ≤ log (1) = 0}

cio`e |x+2|_x ≤ 0, in quanto log(e|x+2|x _{) =} |x+2|

x .