2dicembre2015 AnnalisaCesaroni,PaolaMannuccieAlviseSommariva Integrali

Integrali

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Suddivisioni

Definizione (Suddivisione)

Sia [a, b] un intervallo limitato. Si dicesuddivisionedi [a, b], e si indica con D, un insieme finito {xi}i =0,...,n tale che

a = x0< x1< . . . < xn= b.

Nota.

Se D = {xi}i =0,...,n`e una suddivisione di [a, b] allora [a, b] = ∪ni =1[xi −1, xi].

Definizione (Finezza suddivisione)

Sia [a, b] limitato. Siano D1e D2due suddivisioni. Si dice che D1`e pi`u fine di

D2, seD1⊂ D2.

Definizione (Ampiezza suddivisione)

Sia [a, b] limitato e sia D = {xi}i =0,...,n una sua suddivisione. Si definisce

Somma inferiore/superiore

Definizione (Somma inferiore e superiore)

Sia f : [a, b] → R una funzione limitata, con [a, b] limitato. Siano D = {x_k}_k=0,...,n una suddivisione di [a, b]. Si dice

somma inferiore s(D, f ) di f relativa alla suddivisione D, il numero s(D, f ) = n X i =1 mi(xi− xi −1), mi = inf x ∈(xi −1,xi) (f (x ));

Lemma

Lemma

Sia f : [a, b] → R una funzione limitata, con [a, b] limitato. Siano D1, D2 due suddivisioni di [a, b], con D1 pi`u fine di D2. Allora

s(D2, f ) ≤ s(D1, f ) ≤ S (D1, f ) ≤ S (D2, f ).

Corollario

Sia f : [a, b] → R una funzione limitata, con [a, b] limitato. Allora sup

D

s(D, f ) := sup{s(D, f ) : D suddivisione di [a, b]} ≤ inf

Somme inferiori e superiori

Figura : Somme inferiori e superiori per f (x ) = sin(x ) + cos(x ) + 1 in

[−1, 2] (area in magenta), per suddivisione {xk}k=1,...,5, con

Somma di Riemann

Definizione (Integrabile secondo Riemann (Riemann, 1854)) La funzione f : [a, b] → R, con [a, b] limitato e f limitata, si dice

integrabile secondo Riemannse risulta

sup

D

s(D, f ) = inf

D S (D, f )

Il valoreR_abf (x )dx := supDs(D, f ) = infDS (D, f ) `e detto

integrale di Riemanndi f in [a, b]. Usualmente

la funzione f `e dettaintegranda, [a, b] `e detto dominio di integrazione. Nota.

Somma di Riemann

La funzione f : [a, b] → R identicamente uguale a 1, `e integrabile ed `e Z b

a

1 dx = b − a.

Svolgimento.

Sia D = {xi}i =0,...,n una suddivisione arbitraria. Allora

ricordato che s(D, f ) =Pn

j =1mj(xj− xj −1) con mj= infx ∈(xj −1,xj)f (x ),

visto che ogni intervallo (xj −1, xj) si ha f (x ) ≡ 1, deduciamo che mj= 1

per ogni j = 1, . . . , n,

abbiamo che, indipendentemente da D,

s(D, f ) = n X j =1 mi(xj− xj −1) = n X j =1 1 · (xj− xj −1) = xn− x0= b − a.

Somma di Riemann

Sia nuovamente D una suddivisione arbitraria. Allora ricordato che S (D, f ) =Pn

j =1Mj(xj− xj −1) con Mj= supx ∈(xj −1,xj)f (x ),

visto che ogni intervallo (xj −1, xj) si ha f (x ) = 1 per ogni x ∈ (xj −1, xj)

abbiamo che, indipendentemente da D, essendo x0= a, xn= b per ogni

suddivisione di [a, b], S (D, f ) = n X j =1 Mi(xj− xj −1) = n X j =1 1 · (xj− xj −1) = (xn− xn−1) + (xn−1− xn−2) + . . . + (x1− x0) = xn− x0= b − a,

e quindiinfDS (D, f )=b − a.Di conseguenza, visto che

sup

D

s(D, f ) = b − a = inf

D S (D, f ) = b − a

la funzione f non `e integrabile (secondo Riemann) e l’integrale definitoRb a 1dx

Somma di Riemann

Se f `e limitata, f non `e necessariamente integrabile. La funzione

f (x ) = 

1, se x ∈ Q

0, se x ∈ R\Q , x ∈ [0, 1]. `e limitata ma non integrabile.

Svolgimento.

Sia D = {xi}i =0,...,n una suddivisione arbitraria. Allora

ricordato che s(D, f ) =Pn

j =1mj(xj− xj −1) con mj= infx ∈(xj −1,xj)f (x ),

visto che ogni intervallo (xj −1, xj) contiene almeno un punto x ∈ R\Q per

cui quindi f (x ) = 0, deduciamo che mj= 0 per ogni j = 1, . . . , n,

abbiamo che, indipendentemente da D,

s(D, f ) = n X j =1 mi(xj− xj −1) = n X j =1 0 · (xj− xj −1) = 0

Somma di Riemann

Sia nuovamente D una suddivisione arbitraria. Allora ricordato che S (D, f ) =Pn

j =1Mj(xj− xj −1) con Mj= supx ∈(xj −1,xj)f (x ),

visto che ogni intervallo (xj −1, xj) contiene almeno un punto x ∈ Q per

cui quindi f (x ) = 1, deduciamo che Mj= 0 per ogni j = 1, . . . , n,

abbiamo che, indipendentemente da D, essendo x0= 0, xn= 1 per ogni

suddivisione di [0, 1], S (D, f ) = n X j =1 Mi(xj− xj −1) = n X j =1 1 · (xj− xj −1) = (xn− xn−1) + (xn−1− xn−2) + . . . + (x1− x0) = xn− x0= 1 − 0 = 1,

e quindiinfDS (D, f )= infD0 =1.Di conseguenza, visto che

sup

D

s(D, f ) = 0 6= inf

D S (D, f ) = 1

Alcuni teoremi

Teorema

Sia f : [a, b] → R, con [a, b] limitato e f continuaallora f `e

integrabile secondo Riemann.

Nota.

Dal precendente teorema, la maggior parte delle funzioni viste finora, quali ad esempio i polinomi, sin(x ), cos(x ), ex, log(x ), risultano integrabili nei sottinsiemi limitati [a, b] del loro dominio.

Teorema

Alcuni teoremi

Teorema

Siano a < b < c. Sia f1: [a, b] → R, f2: [b, c] → R integrabili (secondo

Riemann). Allora la funzione f (x ) =



f1(x ), se x ∈ [a, b]

f2(x ), se x ∈ [b, c]

`e integrabile (secondo Riemann) in [a, c] ed `e Z c a f (x )dx = Z b a f1(x )dx + Z c b f2(x )dx . Corollario (Additivit`a)

Siano a < b < c. Sia f : [a, c] → R, integrabile (secondo Riemann) in [a, b] e [b, c]. Allora la funzione f `e integrabile (secondo Riemann) in [a, c] ed `e

Alcuni teoremi

Siano a < b, a, b ∈ R. Siano f : [a, b] → R, g : [a, b] → R integrabili (secondo Riemann). Allora per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg `e integrabile (secondo Riemann) e Z b a (αf (x ) + βg (x ))dx = α Z b a f (x )dx + β Z b a g (x )dx . Nota.

Alcuni teoremi

Esempio

Sappiamo che le funzioni sin(x ), cos(x ), essendo continue in [0, π], sono pure integrabili secondo Riemann. Di conseguenza `e pure integrabile

Alcuni teoremi

Notazione.

Siano a < b, a, b ∈ R. Sia f : [a, b] → R integrabile. Useremo la convenzione Z b a f (x )dx = − Z a b f (x )dx . Esempio

Alcuni teoremi

Teorema

Siano a < b, a, b ∈ R. Sia f : [a, b] → R integrabile (secondo Riemann) e non negativa. Allora

Z b

a

f (x )dx ≥ 0.

Esempio

La funzionesin2(x )`e continua in [0, π] e quindi risulta integrabile secondo Riemann. Essendo ivi pure non negativa, deduciamo che

Z π

0

Alcuni teoremi

Teorema

Siano a < b, a, b ∈ R. Sia f : [a, b] → R, g : [a, b] → R integrabili (secondo Riemann) e tali che f (x ) ≥ g (x ) per ogni x ∈ [a, b].

Allora Z b a f (x )dx ≥ Z b a g (x )dx . Traccia.

Alcuni teoremi

Teorema

Teorema della media integrale

Teorema (Media integrale (Cauchy, 1821))

Siano a < b, a, b ∈ R. Sia f : [a, b] → R continua. Allora esiste ξ ∈ [a, b] tale che

1 b − a Z b a f (x )dx = f (ξ). Nota.

Il teorema precedente dice che esiste c tale cheRb

a f (x )dx `e uguale

Teorema della media integrale

Se f `e continua nell’intervallo limitato [a, b], per il teorema di Weierstrass, esistono m = min{f (x ) : x ∈ [a, b]}, M = max{f (x ) : x ∈ [a, b]} ed `e

m ≤ f (x ) ≤ M. Dalla monotonia dell’integrale, visto cheRb

a 1 dx = b − a (pensarci su!), m(b − a)= m Z b a 1 dx = Z b a m dx ≤ Z b a f (x ) dx≤ Z b a M dx =M(b − a). Quindi, dividendo per b − a,

m ≤ 1 b − a

Zb a

f (x )dx ≤ M.

Siccome f `e continua, allora, per il teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori tra m e M. Quindi esiste ξ ∈ [a, b] tale che

f (ξ) = 1 b − a

Z b a

Primitiva di una funzione

Definizione (Primitiva)

Sia f : [a, b] → R. Una funzione G : [a, b] → R, derivabile in [a, b] `e una

primitivadi f in [a, b] se

G0(x ) = f (x ), per ogni x ∈ [a, b].

Esempio

G (x ) = x2_{`e una primitiva di f (x ) = 2x ;}

G (x ) = sin(x ) `e una primitiva di f (x ) = cos(x ); G (x ) = log(x ) `e una primitiva di f (x ) = 1/x .

Teorema

Primitiva di una funzione

Dimostrazione.

Se G `e una primitiva di f (in (a, b)) allora lo `e pure Gk(x ) := G (x ) + k in

quanto

Gk0(x ) = G 0

(x ) + 0 = f (x ). Se G1e G2sono due primitive di f allora

G10(x ) = f (x ), G 0

2(x ) = f (x ), per ogni x ∈ [a, b]

e quindi

G10(x ) − G 0

2(x ) = f (x ) − f (x ) = 0, per ogni x ∈ [a, b].

Primitiva di una funzione

Notazione.

Con la scrittura _Z

f (x )dx

indichiamo tutte le primitive della funzione f , e chiameremo R f (x)dx integrale indefinito di f .

Esempio

Vediamo alcuni esempi di integrale indefinito. R cos(x)dx = sin(x) + k, k ∈ R;

R ₁

xdx = log(x ) + k, k ∈ R;

Nota.

L’integrale definitoRb

a f (x )dx `e un numero reale, mentre l’integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Definizione (Funzione integrale)

Supponiamo f : [a, b] → R sia una funzione integrabile (secondo Riemann) e sia c ∈ [a, b]. La funzione

F (x ) = Z x

c

f (t)dt

che mappa x ∈ [a, b] nell’integrale definitoRx

c f (t)dt, `e detta

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema (Fondamentale del calcolo integrale, (Torricelli-Barrow, Gregory))

Sia f : [a, b] → R continua, x0∈ [a, b] e

F (x ) = Z x x0 f (t)dt. Allora F `e derivabile ed `e F0(x ) = f (x ),

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Dimostrazione.

Osserviamo che, per il teorema della media integrale, posto nell’asserto a = x , b = x + h, abbiamo che esiste ξx(h) ∈ (a, b) = (x , x + h) tale che

f (ξx(h)) = 1 b − a Z b a f (t) dt = 1 (x + h) − h Zx +h x f (t) dt = 1 h Z x +h x f (t) dt.

Quindi, per un certo ξx(h) ∈ (x , x + h)

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Passando al limite ambo i membri, visto che f `e continua e ξx(h) ∈ (x , x + h)

da F (x + h) − F (x ) h = f (ξx(h)) abbiamo lim h→0 F (x + h) − F (x ) h = limh→0f (ξx(h)) = f (x ).

Nell’ultimo passaggio si osservi che se h → 0, visto che ξx(h) ∈ (x , x + h), pure

Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Notazione.

Sia G : [a, b] → R. La scritturaG (x )|b_a indica la quantit`a

G (b) − G (a).

Teorema (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f : [a, b] → R continua e G primitiva di f . Allora

Z b

a

Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Dimostrazione.

Se G `e una primitiva di f allora G0(x ) = f (x )

per il teorema fondamentale del calcolo integrale,la funzione G coincide con F (x ) =Rx

a f (t)dt a meno di una costante k, visto che F `e una primitiva, definita a meno di una costante di proporzionalit`a . Quindi G (x ) = Z x a f (t)dt + k. SiccomeRa

af (t)dt = 0 (deriva dalla definizione di integrale), abbiamo

Lista di integrali indefiniti

Teorema

Vale la seguente lista di integrali indefiniti:

Lista di integrali indefiniti

Nota.

Si osservi che non tutte le funzioni hanno una primitiva

esplicitamente nota o facilmente esprimibile. Questo `e il caso di Z

e−x2dx = √

π 2 erf(x ) ove per definizione

erf(x ) = √2 π

Z x

0

Applicazione dei teoremi fondamentali del calcolo integrale

Esempio

Essendo G (x ) = −cos(x ) la primitiva di f (x ) = sin(x ), abbiamo Z b

a

sin(x )dx = (−cos(b)) − (−cos(a)) = cos(a) − cos(b)

Esempio

Essendo G (x ) = log(x ) la primitiva di f (x ) = 1/x , abbiamo Z 5

3

Applicazione dei teoremi fondamentali del calcolo integrale

Esempio

Integrali per sostituzione

Teorema (sostituzione) Siano

Integrali per sostituzione

Dimostrazione.

Se G `e una primitiva di f allora G0(t) = f (t) e quindi per il teorema sulla derivata di una funzione composta, essendo t = φ(x )

d

dxG (φ(x )) = G

0

(φ(x )) · φ0(x ) = f (φ(x )) · φ0(x ).

per cui G (φ(x )) `e la primitiva di f (φ(x )) · φ0(x ). Di conseguenza, essendo t = φ(x )

Z

f (t)dt = G (t) = G (φ(x )) = Z

f (φ(x ))φ0(x )dx .

Integrali per sostituzione. Esempio 1.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

sin(3x )dx .

Svolgimento. (metodo 1)

Posto t = 3x , abbiamo che, relativamente al teorema di sostituzione, φ(x ) = 3x da cui φ0(x ) = 3 . Quindi

Z

(sin(3x )) · 3dx = Z

sin(t)dt = − cos(t) = − cos(3x ).

Da _Z

(sin(3x )) · 3dx = − cos(3x ) ricaviamo, dividendo per 3 ambo i membri

Z

Integrali per sostituzione. Esempio 1.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

sin(3x )dx .

Svolgimento. (metodo 2)

Posto t = 3x , abbiamo che, relativamente al teorema di

Integrali per sostituzione. Esempio 2.

Esempio

Calcolare l’integrale definito Z 3

0

1 2x + 1dx . Svolgimento.

Posto t = 2x + 1, abbiamo che dt = _dxd(2x + 1)
dx = 2dx, da cui dx = (1/2)dt. Quindi Z 1 2x + 1dx = Z 1 t(1/2)dt = (1/2) log(|t|) + k = (1/2) log(|2x + 1|) + k (1)

e di conseguenza per il teorema fondamentale del calcolo integrale

Integrali per sostituzione. Esempio 1.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito

Z ₁ x2_{+ 4}dx . Svolgimento. Come noto Z 1 x2_{+ 1}dx = arctan(x ) + k.

Integrali per sostituzione. Esempio 2.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito

Z ₁

(3 + 5x )6dx .

Svolgimento.

Integrali per sostituzione. Nota I.

Nota.

Si supponga di dover calcolare l’integrale indefinito

Z

f0(x ) · (f (x ))pdx , p 6= −1.

Posto t = f (x ), abbiamo dt = f0(x )dx , e quindi

Integrali per sostituzione. Nota II.

Nota.

Si supponga di dover calcolare l’integrale indefinito

Z _f0_{(x )}

f (x )dx .

Posto t = f (x ), abbiamo dt = f0(x )dx e quindi

Integrali per sostituzione. Nota III.

Nota.

Si supponga di dover calcolare l’integrale indefinito

Z

f0(x )φ(f (x ))dx .

Posto t = f (x ), abbiamo dt = f0(x )dx e quindi

Z f0(x )φ(f (x ))dx = Z φ(f (x ) |{z} t )f0(x )dx | {z } dt = Z φ(t)dt

Integrali per sostituzione. Esempio 3.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

3x · ex2dx .

Svolgimento.

Integrali per sostituzione. Esempio 4.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito

Z √

x 2 +√xdx .

Svolgimento.

Posto√x = t ovvero x = t2, abbiamo dx = 2t dt e quindi

Integrali per sostituzione. Esempio 4.

Osserviamo che, posto s = 2 + t, t = s − 2 ds = dt e quindi Z 4t 2 + tdt = Z 4(s − 2) s ds = Z 4ds − Z 8 sds = 4s − 8 log(|s|) = 4(2 + t) − 8 log(|2 + t|) Visto cheR 4t 2+tdt = 4(2 + t) − 8 log(2 + t), t = √ x , abbiamo Z √ x 2 +√xdx = t 2 − Z 4t 2 + t = t 2 − (4(2 + t) − 8 log(2 + t)) + k = |x| − (4(2 +√x ) − 8 log(|2 +√x |)) + k = |x| − 8 − 4√x + 8 log(|2 +√x |)) + k = |x| − 4√x + 8 log(|2 +√x |)) + k.

Integrazione per parti.

Teorema (Integrazione per parti) Siano f , g derivabili in [a, b]. Allora

Integrazione per parti.

Dimostrazione. Ricordiamo che

(f · g )0(x ) = f0(x ) · g (x ) + f (x ) · g (x ) ⇔ f0(x ) · g (x ) = (f · g )0(x ) − f (x ) · g (x )

e quindi integrando ambo i membri

Z f0(x )·g (x )dx = Z (f ·g )0(x )dx − Z f (x )·g (x )dx = f (x )·g (x )− Z f (x )·g (x )dx .

Integrazione per parti. Esercizio 1.

L’idea sta nel capire che derivando la x e integrando sin(x ) si ottiene un integrale pi`u semplice. Infatti posto f (x ) = x , g (x ) =R sin(x)dx = − cos(x),

Z

x sin(x )dx = −x cos(x) − Z

1 · (− cos(x ))dx = −x cos(x ) + sin(x ).

Nota.

Posto f (x ) = sin(x ), g (x ) =R xdx = x2_{/2, avrei il non ovvio}

Z

x sin(x )dx = (sin(x )) · x2/2 − Z

Integrazione per parti. Esercizio 2.

Integrazione per parti. Esercizio 3.

Osserviamo chelog(x ) = 1 · arctan(x ). Posto f (x ) = arctan(x ), g (x ) =R 1dx = x, da f0 (x ) = 1/(1 + x2_{) abbiamo} Z 1 · arctan(x )dx = x · arctan(x ) − Z 1 1 + x2· x dx = x · arctan(x ) − (1/2) · log(1 + x2) + k. essendo, posto t = 1 + x2_{, dt = 2x dx e quindi x dx = (1/2)dt}

Integrazione per parti. Esercizio 4.

Assemblando i risultati

Z

ex· sin(x)dx = ex· sin(x) − (ex_{· cos(x) −}Z

ex· (− sin(x))dx)

= ex· sin(x) − ex_{· cos(x) −}

Z

ex· sin(x)dx

Portando a primo membroR ex· sin(x)dx e raccogliendo ex

2 Z

ex · sin(x)dx = ex· (sin(x) − cos(x)) cio`e

Z

ex · sin(x)dx = e

x_{· (sin(x) − cos(x))}

Integrazione di funzioni razionali.

Definizione (Funzioni razionali) La funzione

Pn(x )

Qm(x )

con Pn, Qm rispettivamente polinomi di grado n e m, sono note

comefunzioni razionali. Esempio Le funzioni 3x2₊₁ x2₊₅; 1 2x2₋₈; x8 x3_{+2x +3};

Integrazione di funzioni razionali.

Problema.

Consideriamo al variare di m, n, il calcolo di integrali indefiniti di funzioni razionali, cio`e

Z _P

n(x )

Qm(x )

Integrazione di funzioni razionali n ≥ m.

Traccia.

Si fa la divisione tra i due polinomi e si trova

Pn(x ) = Sn−m(x ) · Qm(x ) + Rm−1(x )

con Sn−m polinomio di grado al pi`u n − m e Rm−1 polinomio di

grado al pi`u m − 1. Quindi Z Pn(x ) Qm(x ) dx = Z Sn−m(x )dx + Z Rm−1(x ) Qm(x ) dx

Visto che `e semplice calcolare l’integrale di un polinomio, abbiamo risolto il problema se siamo in grado di studiare i casi in cuila funzione razionale ha il polinomio a numeratore di grado inferiore

Integrazione di funzioni razionali n ≥ m. Esempio.

mediante integrali di funzioni razionali con il grado del polinomio a numeratore inferiore o uguale a quello del denominatore.

Traccia.

Dalla divisione di polinomi,

Integrazione di funzioni razionali n < m: alcuni casi,

1/(Ax + B).

Poniamo y = Ax + B e abbiamo che dy = A dx ovvero dx = (1/A) dy , per cui

Z ₁

Ax + Bdx =

Z ₁

y(1/A) dy

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c).

In questa situazione, studiamo caso per caso il problema al variare di

∆ = b2− 4ac. Ricordiamo che se

∆ > 0, allora ax2+ bx + c = a(x − x0)(x − x1) per

x06= x1 ∈ R;

∆ = 0, allora ax2+ bx + c = a(x − x0)2 per x0 ∈ R;

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ > 0.

Traccia.

Supponiamo sia∆ = b2− 4ac > 0. Allora esistono x1, x2∈ R tali

che

ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x 2)

e quindi per certi S , T abbiamo

1 ax2_{+ bx + c} = 1 a(x − x1)(x − x2) = 1 a  S x − x1 + T x − x2 

Si verifica facilmente che deve essere 

S + T = 0

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ > 0.

Traccia.

Integrando ambo i membri di

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ > 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

1

x2_{+ 4x − 5}dx

Traccia.

Non `e difficile vedere che x2+ 4x − 5 = (x − 1)(x + 5). Affinch`e

1 x2_{+ 4x − 5} = S x − 1+ T x + 5 da S x − 1 + T x + 5 = S (x + 5) + T (x − 1) (x − 1)(x + 5) = (S + T )x + (5S − T ) (x − 1)(x + 5)

per confronto, serve che 

S + T = 0

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ < 0.

Traccia.

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ < 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito

Z ₁

x2_{+ 4x + 5}dx Traccia.

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ = 0.

Traccia.

Se ∆ = 0 allora per certi S , T ∈ R abbiamo ax2+ bx + c = (Sx + T )2

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

1/(ax

+ bx + c), ∆ = 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

1

3x2_{− 12x + 12}dx Traccia.

Non `e difficile vedere che 3x2_{− 12x + 12 ha radici reali in quanto ∆ = 0 e sono}

Integrazione di funzioni razionali n < m: alcuni casi,

x /(ax

+ bx + c), ∆ > 0.

Consideriamo il caso ∆ = b2− 4ac > 0. Osserviamo che posto t = x − x0,

dx = dt si ha Z 1 x − x0 dx= Z 1 tdt = log(|t|) =log(|x − x0|). Come prima, ∆ > 0 vuol dire che esistono x1, x2∈ R per cui

ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2). Quindi per certi S , T ∈ R, da

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ > 0.

Osserviamo che affinch`e sia

x a(x − x0)(x − x1) = S a(x − x0) + T a(x − x1) =S (x − x1) + T (x − x0) a(x − x0)(x − x1) necessariamente, per confronto nei termini al numeratore,



S + T = 1 −Sx1− Tx0 = 0

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ > 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

x

x2_{+ 4x − 5}dx Traccia.

Da un esempio precedente, x2_{+ 4x − 5 = (x − 1)(x + 5). Affinch`e} x x2_{+ 4x − 5} = S x − 1+ T x + 5 da S x − 1 + T x + 5 = S (x + 5) + T (x − 1) (x − 1)(x + 5) = (S + T )x + (5S − T ) (x − 1)(x + 5)

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ < 0.

Traccia.

Consideriamo ora il caso ∆ < 0. Da _dxdax2+ bx + c = 2ax + b, R (f0_{(x )/f (x ))dx = log(|f (x )|) + k} Z x ax2_{+ bx + c}dx = Z 2ax + b − b 2a(ax2_{+ bx + c)}dx = 1 2a Z 2ax + b ax2_{+ bx + c}dx + b Z 1 ax2_{+ bx + c}dx  = 1 2a(log(|ax 2 + bx + c|) + bC1arctan(C2x + C3)) + k dove la primitivaR ₁ ax2_{+bx +c} = C1arctan(C2x + C3)) si calcola

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ < 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

x

x2_{+ 4x + 5}dx Traccia.

Non `e difficile vedere che x2+ 4x + 5 non ha radici reali in quanto ∆ = 16 − 20 < 0. Notiamo che x2+ 4x + 5 = x2+ 4x + 4 − 4 + 5 = (x2+ 4x + 4) + 1 = (x + 2)2+ 1. Calcoliamo preliminariamenteR t t2+1dt. Ponendo u = t 2 + 1, abbiamo du = 2t dt, (1/2)du = t dt e quindi ricaviamo

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ = 0.

Traccia.

Consideriamo ora il caso ∆ = 0. In questo caso, le radici x1, x2

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

x /(ax

+ bx + c), ∆ = 0. Esempio.

Esempio

Calcolare l’integrale indefinito Z

x

3x2_{− 12x + 12}dx Traccia.

Il polinomio 3x2− 12x + 12 ha radici reali in quanto ∆ = 0 e sono la radice (doppia) x∗= 2. Quindi posto t = x − 2, si ha dx = dt e cos`ı

Integrazione di funzioni razionali n < m. Il caso

(Ax + B)/(ax

+ bx + c).

Nota.

Per studiare il caso generale

Z _{Ax + B} ax2_{+ bx + c}dx si osserva che Z Ax + B ax2_{+ bx + c}dx = A Z x ax2_{+ bx + c}dx + B Z 1 ax2_{+ bx + c}dx

Integrazione di funzioni razionali: tabella.

Nota.

Vale la seguente lista di integrali indefiniti. I parametri S , T , U, C1, C2, C3 sono da determinare. Inoltre x1, x2 sono le

radici dell’equazione ax2+ bx + c = 0. f R f (x)dx nota 1 Ax +B (1/A) log(|Ax + B|) 1 ax2_{+bx +c} S alog(|x − x1|) + T alog(|x − x2|) b 2_{− 4ac > 0} 1 ax2_{+bx +c} 1 S√Uarctan  Sx +T_√ U  b2− 4ac < 0 1 ax2_{+bx +c} 1 S −1 Sx +T
b2− 4ac = 0 x ax2_{+bx +c} S alog(|x − x0|) + T alog(|x − x1|) b 2_{− 4ac > 0} x ax2_{+bx +c} 1 2a(log(|ax 2 + bx + c|) + bC1arctan(C2x + C3)) b2− 4ac < 0 x

Integrazione di funzioni pari su intervalli [−k, k].

Teorema

Sia f una funzione integrabile (secondo Riemann) in [−k, k], con f pari. Allora Z k −k f (x ) dx = 2 Z k 0 f (x ) dx −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Integrazione di funzioni dispari su intervalli [−k, k].

Teorema

Sia f una funzione integrabile (secondo Riemann) in [−k, k], con f dispari. Allora Z k −k f (x ) dx = 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Integrazione di funzioni pari e dispari su intervalli [−k, k].

Esempi.

Esempio

La funzione sin(x ) `e dispari. Quindi

Z π

−π

sin(x ) dx = 0.

Esempio

La funzione cos(x ) `e pari. Quindi

Integrali definiti con funzioni

√

a − x

_{. Esempio 1.}

Posto x = sin(t), abbiamo dx = cos(t) dt. Osserviamo che

cos(2t) = cos2_{(t) − sin}2_{(t) = 2 cos}2_{(t) − 1 implica cos}2_{(t) = (cos(2t) + 1)/2.}

Integrali definiti con funzioni

√

a − x

_{. Esempio 2.}

3 e si risolve come nell’esempio 1, ottenendo

Integrali indefiniti con funzioni

√

1 + x

_.

dxsinh(x ) = cosh(x ) e che 1 + sinh(t)

2_{= cosh}2_{(t). Si pone} x = sinh(t) e si ha dx = cosh(t)dt Z p 1 + x2_{dx =} Z p 1 + sinh(t)2_{· cosh(t) dt} = Z cosh(t) · cosh(t) dt

Integrando per parti, si ottiene dopo qualche non facile conto Z

p

1 + x2_{dx = arcsinh(x )/2 + (x · (x}2

+ 1)1/2)/2

Integrali indefiniti con funzioni

√

x

_{− 1.}

dxcosh(x ) = sinh(x ) e che 1 + sinh(t)

2_{= cosh}2_{(t). Si pone}

x = cosh(t) e si ha dx = sinh(t)dt ee quindi

Z p x2_{− 1 dx =} Z p cosh(t)2_{− 1 · (sinh(t)) dt} = Z | sinh(t)| · sinh(t) dt

Si ottiene dopo qualche non facile conto Z

p

Integrali indefiniti con funzioni

√

x

_{+ 1. Applicazione.}

Esempio

Determinare l’area A tra le due iperboli

y =p1 + x2_{, y = −}p_{1 + x}2 nell’intervallo [−1, 1]. Traccia. Osserviamo che se f (x ) < 0, eRb a f (x ) dx esiste, allora Rb a f (x ) dx < 0. Essendo

l’area una quantit`a positiva, necessariamente, in virt`u delle simmetrie, della primitiva di√x2_{+ 1, nonch`e del teorema fondamentale del calcolo integrale,}

Integrali indefiniti con funzioni

√

x

_{+ 1. Applicazione.}

Figura : In magenta la regione tra le iperboli y =√1 + x2_,

Integrali generalizzati o impropri.

Di seguito discuteremo gli integraligeneralizzati, detti anche

impropri, cio`e il limite di un integrale definito al tendere di un estremo di integrazione (o entrambi) ad un numero reale oppure all’infinito.

Gli integrali impropri si utilizzano per rendere calcolabili integrali riguardanti

intervalli illimitati, funzioni non limitate,

Integrali generalizzati.

Problema.

Finora abbiamo considerato il caso in cui[a, b]`e limitato e f `e

limitata. Ci domandiamo cosa succede quanto una di queste

ipotesi cade. Esempio

Che significato ha la scrittura Z +∞

1

3xdx essendo l’intervallo illimitato?

Integrali generalizzati.

Esempio

Che significato ha la scrittura Z 0.01

0

1 xdx

Integrazione di funzioni non limitate (a destra).

Definizione (Funzioni integrabili non limitate a destra)

Sia f : [a, b) → R continua ma con limx →b−f (x ) = ±∞. Allora poniamo Z b a f (x )dx := lim →0+ Z b− a f (x )dx . Se il limite

esiste finito, allora f si diceintegrabilein [a, b] o Rb

a f (x )dx

converge;

vale ±∞, allora si dice che Rb

a f (x )dx diverge;

Integrazione di funzioni non limitate (a sinistra).

Definizione (Funzioni integrabili, non limitate a sinistra)

Sia f : (a, b] → R continua ma con limx →a+f (x ) = ±∞. Allora poniamo Z b a f (x )dx := lim →0+ Z b a− f (x )dx . Se il limite

esiste finito, allora f si diceintegrabilein [a, b] o R_abf (x )dx

converge;

vale ±∞, allora si dice che R_abf (x )dx diverge;

non esiste, allora si dice cheRb

Esempio 1.

Esempio

La funzione f (x ) = _1−x1 `e illimitata in [0, 1] in quanto

lim

x →1− 1

1 − x = +∞.

Esempio 2.

Esempio

La funzione f (x ) = 1_x `e illimitata in [0, 1] in quanto

lim

x →0+ 1

x = −∞.

Esempio 3.

Allora, visto cheR 1/√x dx = 2 · x1/2+ k, Z 1 0 1 xdx := →0lim+ Z 1 0+ 1 xdx = lim→0+2 · x 1/2 1_ = lim →0+  2 · 11/2− 2 · 1/2= 2. Nota.

Alcuni casi notevoli

Si vede pi`u in generale che Teorema

Valgono i seguenti asserti

R1

0 1

xαdx converge per α < 1, mentre diverge per α ≥ 1;

R1/2

0

1

xα_{| log(x)|}β dx converge per α < 1, β ∈ R;

R1/2

0

1

xα_{| log(x)|}β dx converge per α = 1, β > 1, diverge per

Criteri di integrabilit`

a

Teorema Siano

f , g : [a, b) continue e lim_{x →b}−f (x ) = lim_{x →b}−g (x ) = +∞;

(i) 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) in [a, b) o

(ii) 0 ≥ f (x ) ≥ g (x ) in [a, b).

Allora

se g `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b) allora f `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b);

se f non `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b) allora g non `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b);

Nota.

L’idea `e che noto il comportamento di alcune funzioni campione come 1/xαin (0, 1] o 1/(xα_{· log}β_{(x )) in (0, 1/2], possiamo determinare il comportamento di}

Criteri di integrabilit`

a. Esempio 1.

La funzione f (x ) `e continua in (0, 1] ed essendo 0 ≤ sin2 1_x
≤ 1, ricaviamo che 1 √ x · sin 2 1 x  ≤ √1 x. Essendo √1

x integrabile (secondo Riemann) in [0, 1], ivi lo `e pure 1

√ x · sin

2 1

Criteri di integrabilit`

a. Esempio 2.

La funzione `e illimitata poich`e diverge in 0+_{. Inoltre la funzione}

f (x ) `e continua in (0, 1] ed essendo 1 ≤ 1 + sin2(x ), ricaviamo che 1

x5 ≤

1 + sin2(x )

x5 .

Essendo divergente _x15 in [0, 1], ivi lo `e pure

1+sin2(x )

Criteri di integrabilit`

a.

Teorema (Criterio del confronto asintotico con ∼, in b) Siano f , g : [a, b) continue; (i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) in [a, b) o (ii) 0 ≥ f (x ), 0 ≥ g (x ) in [a, b). (i) f , g → +∞, per x → b− _o (ii) f , g → −∞, per x → b−. f ∼ g cio`e lim_{x →b}−f (x )/g (x ) dx = 1.

Criteri di integrabilit`

a.

Teorema (Criterio del confronto asintotico con ∼, in a) Siano

f , g : (a, b] continue e limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = +∞;

(i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) in [a, b) o

(ii) 0 ≥ f (x ), ≥ g (x ) in [a, b).

(i) f , g → +∞, per x → a+ o

(ii) f , g → −∞, per x → a+_.

f , g → ±∞, per x → a+;

f ∼ g cio`e limx →a+f (x )/g (x ) dx = 1.

Criteri di integrabilit`

a. Esempio 1

e lo si confronti asintoticamente con

Z 1 0

1 xdx .

Posto f (x ) = _{sin(x )}1 , g (x ) = _x1 abbiamo

f , g : (0, 1] continue e limx →0+f (x ) = limx →o+g (x ) = +∞;

0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ); f , g → ±∞, per x → 0+_;

f ∼ g cio`e limx →0+f (x )/g (x ) dx = 1.

Allora f `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b] se e solo se g `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b]. Siccome g non `e

Criteri di integrabilit`

a.

Teorema (Criterio del confronto con o piccoli, in a)

Siano f , g : (a, b] continue; (i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) in [a, b), o (ii) 0 ≥ f (x ), 0 ≥ g (x ) in [a, b); (i) f , g → +∞, per x → a+_{, o} (ii) f , g → −∞, per x → a+_;

f = o(g )cio`e limx →a+f (x )/g (x ) = 0.

Criteri di integrabilit`

a.

Teorema (Criterio del confronto con o piccoli, in b)

Siano f , g : [a, b) continue; (i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) in [a, b), o (ii) 0 ≥ f (x ), 0 ≥ g (x ) in [a, b); (i) f , g → +∞, per x → b−_{, o} (ii) f , g → −∞, per x → b−;

f = o(g )cio`e limx →b−f (x )/g (x ) = 0.

Criteri di integrabilit`

a. Esempio.

Esempio

Per descrivere se sia integrabile (secondo Riemann) in (0, 1] Z 1 0 1 e−1/xdx confrontiamolo con Z 1 0 1 xαdx .

Osserviamo che per f (x ) = _e−1/x1 , g (x ) = _x1α poich`e si mostra che e1/x tende a 0 pi`u velocemente di qualsiasi potenza di x

lim x →0+ f (x ) g (x ) = limx →0+ xα e−1/x = 0.

Integrabilit`

a assoluta.

Nota.

I criteri esposti di confronto e confronto asintotico valgono per funzioni a segno costante in [a, b) o (a, b].

Se f non ha sempre lo stesso segno, si guarda se converge

Z b

a

|f (x)|dx,

che ovviamente `e sempre non negativa. Se |f | `e integrabile (secondo Riemann) in [a, b) o (a, b], allora pure f risulta integrabile.

Definizione (Assolutamente integrabile) Se f `e tale che Rb

a |f (x)|dx, converge, allora f si dice

Integrabilit`

a assoluta. Esempio

Esempio

Si consideri l’integrale generalizzato Z 1 0 1 √ x · sin  1 √ x  dx . La funzione f (x ) =√1 x · sin  1 √ x 

cambia segno vicino a x = 0+ (poich`e 1/√x → +∞), quindi non possiamo applicare i criteri del confronto e del confronto asintotico. Ma essendo 0 ≤ | sin(y )| ≤ 1 per ogni y ∈ R, e _√1

x ≥ 0     1 √ x · sin  1 √ x     = √1 x ·     sin  1 √ x     <√1 x, x > 0 Essendo _√1

x integrabile (secondo Riemann) in [0, 1], lo `e pure

   1 √ x · sin  1 √ x   e quindi per la nota precedente √1

Integrabilit`

a assoluta. Esempio

Figura : Le forti oscillazioni di √1

x · sin  1 √ x  in [0, 1], [10−6, 10−4],

[10−8_{, 10}−7_{]. L’ultimo grafico appare quasi un’area nera, per via dell’alto}

Integrazione su intervalli illimitati.

Definizione (Integrabile su intervalli illimitati) Sia f : [a, +∞) → R continua e sia

L = Z +∞ a f (x ) dx := lim w →∞ Z w a f (x ) dx

Integrazione su intervalli illimitati.

Definizione

Sia f : (−∞, a] → R continua e sia

L = Z a −∞ f (x ) dx := lim w →−∞ Z a w f (x ) dx

Integrazione su intervalli illimitati. Esempio

R

dx .

xdx =w →+∞lim (log (w ) − log(1)) =w →+∞lim log w = +∞

e quindidiverge per α = 1. Se α 6= 1 otteniamo Z +∞ 1 1 xαdx = Z+∞ 1 x−αdx = lim w →+∞ 1 −α + 1x −α+1 |w1 = 1 −α + 1w →+∞lim (w −α+1 − 1)

Integrazione su intervalli illimitati. Condizione necessaria

Teorema (Condizione necessaria di integrabilit`a a +∞) Supponiamo, a ∈ R, f : [a, +∞) → R continua. Allora se

Z +∞

a

f (x )dx

esiste finito, allora

lim

x →+∞f (x ) = 0.

Teorema (Condizione necessaria di integrabilit`a a −∞) Supponiamo, a ∈ R, f : (−∞, a] → R continua. Allora se

Z a

−∞

f (x )dx

esiste finito, allora

Integrazione su intervalli illimitati. Condizione necessaria

Nota.

Integrazione su intervalli illimitati. Condizione necessaria.

Esempio

Non converge in quanto lim x →+∞ 3x + 1 2x − 5 = 3 2 6= 0. Esempio

Poich`e limx →+∞sin2(x ) non esiste, allora non converge

Z +∞

0

Integrazione su intervalli illimitati. Condizione necessaria.

Nota

Nota.

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto.

Teorema Sia a ∈ R, e

f , g : [a, +∞) → R continue;

(i) 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) per x ∈ [a, +∞), o

(ii) 0 ≥ f (x ) ≥ g (x ) per x ∈ [a, +∞).

Allora

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto.

Teorema Sia a ∈ R, e

f , g : (−∞, a] → R continue;

(i) 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) per x ∈ (−∞, a], o

(ii) 0 ≥ f (x ) ≥ g (x ) per x ∈ (−∞, a].

Allora

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico con ∼, in [a, +∞).

Teorema

Sia a ∈ R, e

f , g : [a, +∞) → R continue;

(i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) per x ∈ [a, +∞), o

(ii) 0 ≥ f (x ), 0 ≥ g (x ) per x ∈ [a, +∞)

f ∼ g per x → +∞

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico con ∼, in (−∞, a].

Teorema

Sia a ∈ R, e

f , g : (−∞, a] → R continue;

(i) 0 ≤ f (x ), 0 ≤ g (x ) per x ∈ (−∞, a], o

(ii) 0 ≥ f (x ), 0 ≥ g (x ) per x ∈ (−∞, a]

f ∼ g per x → −∞

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico con o piccolo in [a, +∞).

Teorema

Sia a ∈ R, e

f , g : [a, +∞) → R continue;

(i) 0 < f (x ), 0 < g (x ), per x ∈ [a, +∞) o

(ii) 0 > f (x ), 0 > g (x ), per x ∈ [a, +∞);

limx →+∞_{g (x )}f (x )= 0, cio`e f = o(g ).

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico con o piccolo in (−∞, a].

Teorema Sia a ∈ R, e

f , g : (−∞, a] → R continue;

(i) 0 < f (x ), 0 < g (x ), per x ∈ (−∞, a] o

(ii) 0 > f (x ), 0 > g (x ), per x ∈ (−∞, a];

limx →−∞ f (x )_{g (x )} = 0, cio`e f = o(g ).

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico. Esempio 1.

Esempio

Dire se converge l’integrale Z +∞

1

(1 − cos(1/x )) dx

Svolgimento.

Visto che se x → +∞ allora 1/x → 0+, dallo sviluppo di cos(y ) in un intorno di 0+_{, abbiamo che cos(y ) − 1 ∼ −}y2

2 ricaviamo che cos(1/x ) − 1 ∼ −(1/x ) 2 2 = − 1 2x2 ⇒ (1 − cos(1/x)) ∼ 1 2x2. Poich`e 0 < cos(1/x ), 0 < 1

2x2 per x ∈ [1, +∞), e sono evidentemente continue

in [1, +∞),R+∞

1 (1 − cos(1/x )) dx converge se e solo se converge

Z+∞ 1 1 2x2dx = (1/2) Z +∞ 1 1 x2dx

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico. Esempio 2.

Esempio

Dire se converge l’integrale

Z +∞ 0 1 √ x2_{+ 1}dx Svolgimento.

Non `e difficile osservare che 1 √

x2_{+ 1}∼

1

x, x → +∞

e che le funzioni in questione verificano le ipotesi del criterio del confronto asintotico. Poich`e dal teorema del confronto asintotico

Z +∞ 1 1 xdx = +∞ ⇒ Z +∞ 1 1 √ x2_{+ 1}dx = +∞

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico. Esempio 3.

Esempio

Dire se converge l’integrale Z +∞ 1 3x2+ 1 x5_{+ e}1/x_{+ sin(x )}dx Svolgimento. Osserviamo che

il numeratore `e asintotico a 3x2per x → +∞;

nel denominatore, poich`e 1/x → 0, per x → +∞, dalla formula di Mac Laurin ey ∼ 1 implica e1/x_{∼ 1 e quindi dalla limitatezza di sin(x), il}

denominatore `e asintotico a +∞ a x5_.

Cos`ı, essendo verificate le ipotesi del teorema del confronto asintotico basta vedere se `e integrabile Z +∞ 1 3x2 x5 dx = 3 Z +∞ 1 1 x3dx

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto

asintotico. Esempio 4.

Esempio

Dire se converge l’integrale Z +∞ 1 x2 1 x − sin  1 x  dx Svolgimento.

Visto che 1/x → 0+ per x → +∞, dallo sviluppo di Mac Laurin

sin(y )−y ∼ −y 3 6 ⇒ y −sin(y ) ∼ y3 6 ⇒ 1 x−sin  1 x  ∼ (1/x ) 3 6 = 1 6x3, x → +∞. Poich`e per f (x ) = x2 1 x − sin 1 x

, g (x) = x 2 1 6x3 = 1 6x sono verificate le

ipotesi del teorema del confronto asintotico, basta studiare la convergenza di R+∞

1 (1/6x )dx = (1/6)

R+∞

1 (1/x )dx che come noto diverge in quanto diverge

R+∞

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto.

Esempio 5.

Esempio

Dire se converge l’integrale

Z +∞ 2

1 log(x )dx

Svolgimento.

Osserviamo che log(x ) < x per x ≥ 2. Ma allora 1/ log(x ) > 1/x per x ≥ 2. Siccome Z +∞ 2 1 x dx = Z +∞ 1 1 x dx − Z 2 1 1 xdx = +∞ − (log(2) − log(1)) = +∞. allora diverge pure

Z +∞ 2

Integrazione su intervalli illimitati. Criterio del confronto.

Esempio 6.

Esempio

Dire se converge l’integrale Z +∞

0

e−x2dx

Svolgimento.

Si pu`o provare che

lim

x →+∞x α

e−x2= 0, ∀α ∈ R. Per il caso particolare α = 2

lim x →+∞ e−x2 1 x2 = lim x →+∞x 2 e−x2= 0.

Ci`o significa che e−x2= o(1

x2) e siccome

R+∞ 1

1

x2dx ∈ (0, +∞) allora per il

teorema del confronto con o piccoli, pureR+∞ 1 e −x2 dx ∈ (0, +∞). Essendo e−x2 continua in [0, 1], alloraR1 0 e −x2 dx ∈ (0, +∞)e quindi I = Z +∞ 0 e−x2dx = Z 1 0 e−x2dx + Z +∞ 1 e−x2dx ∈ (0, +∞).

Integrazione su intervalli illimitati. Convergenza assoluta.

Teorema

Sia f : [a, +∞) una funzione continua. Se Z+∞ a |f (x)|dx converge allora Z +∞ a f (x )dx converge. Teorema

Integrazione su intervalli illimitati. Convergenza assoluta.

Esempio.

Causa il segno variabile di sin(x ) non si possono applicare i soliti criteri del confronto. Vediamo se converge

Z +∞ 1

| sin(x)| x5 dx .

In effetti | sin(x)|_x5 ≤_x15 e siccome converge

Z +∞ 1

1 x5dx .

allora converge pureR+∞ 1

| sin(x)|

Integrali definiti in (−∞, +∞).

Teorema

Si supponga che esistano finitiRa

−∞f (x ) dx,

R+∞

a f (x ) dx ,allora esiste finito R+∞ −∞f (x ) dx ed `e Z +∞ −∞ f (x ) dx = Za −∞ f (x ) dx + Z +∞ a f (x ) dx . Esempio

Si dimostra (difficile!!) che

Z +∞ 0 e−x2dx = √ x 2 .

Esercizi.

Esercizi.

Esercizio Mostrare che

R tan(x)dx = − log(| cos(x)|) + k (suggerimento: porre cos(x ) = t);

R _x

x2₊₁dx = (1/2) · log(|x2− 1|) + k (suggerimento: porre x2+ 1 = t);

R sin5_{(x ) cos(x )dx =} sin6_{(x )}

6 + k (suggerimento: porre sin(x ) = t); Esercizio Mostrare che R3 2 x x2₊₁dx = √

Esercizi.

Esercizio

Mostrare per sostituzione (attenzione a risultati equivalenti!)

R ₁

x log(x )dx = log(log(|x |)) + k (suggerimento: porre

log(x ) = t); R √x + 2dx = (2 · (x + 2)3/2_{)/3 + k.} R _x √ 2−3x2dx = −(3 1/2_{· (2/3 − x}2₎1/2_{)/3 + k.} R _x3 √ 1+x4dx = (x 4_{+ 1)}1/2_{/2 + k.} R (log(x ))7 x dx = (log (x ))8/8 + k. R sin( √ x ) √ x dx = −2 · cos(x 1/2_{) + k} R ₁ exdx = −e−x + k

R sin3_{(x )dx = (cos(x ) · (cos(x )}2_{− 3))/3 + k. (suggerimento:}

Esercizi.

Esercizio

Integrando per parti, calcolare facendo attenzione a risultati equivalenti

R arcsin(x) dx = x · arcsin(x) + (1 − x2₎1/2_{+ k;}

R arccos(x) dx = x · arccos(x) − (1 − x2₎1/2_{+ k;}

R ex _{· cos(x) dx = (e}x_{(cos(x ) + sin(x )))/2 + k;}

R x2_{· sin(x) dx = 2 x sin(x) − cos(x) (x}2_{− 2) + k;}

R xn_{· sin(x) dx;}

R sin2_{(x ) dx = x /2 − sin(2x )/4 + k (sugg.}

sin2(x ) = sin(x ) · sin(x ));

R (log(x))2_{dx = x (log(x )}2_{− 2 log(x) + 2) + k (sugg.}

(log(x ))2 = log(x ) · log(x )); R x5_{· e}x2

Esercizi.

Esercizio

Calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni razionali, facendo attenzione a risultati equivalenti,

R _{x −1} x2_+xdx = log(x2+ 2)/2 − arctan(x /21/2)/21/2+ k R _{3x −8} x2₊₅dx = (3 log(x2+ 5))/2 − (8 arctan(x /51/2))/52+ k R _x3_+x x2_{+x +1}dx = log(x2+ x + 1)/2 − x + arctan(3−1/2(2 x + 1))/31/2+ x2/2 + k R _ex

Esercizi.

Esercizio

Calcolare i seguenti integrali generalizzati R1 0 1 x2dx = ∞ R1/2 0 1 x log(x )dx = −∞ Esercizio Mostrare cheRb a 1 (b−x )αdx converge a (b − a)1−α per α < 1, diverge per α ≥ 1. Esercizio Mostrare cheRb a 1

Esercizi.

Esercizio

Determinare se convergono i seguenti integrali generalizzati R3

2 1

sin(x −3)dx = −∞; (sugg.: applicare sostituzione

y = x − 3) [non integrabile]; R1

0 1

ex₋₁dx = ∞; (sugg.: ex− 1 ∼ x) [non integrabile]; R1 0 1 e√x₋₁dx ; (sugg.: e √ x _{− 1 ∼}√_{x ) [integrabile];} R3 2 1 3 √ x2₋₄dx ; (sugg.: x 2_{− 4 = (x − 2)(x + 2)) [integrabile];} Esercizio

Calcolare i seguenti integrali con moduli R1 −1 |x|+sin(x) 1+x2 dx = log(2). R2 0 |x

2_{+ 2x − 3| dx = 4. (sugg.: vedere quando}

Esercizi.

Esercizio

Riconducendosi a opportuni integrali di funzioni irrazionali, calcolare

R √

5 + x2_{dx = (5 arcsinh((5}1/2_{x )/5))/2+(x (x}2₊₅₎1/2_)/2+k

(sugg.: raccogliere 5 e porre t = x /√5); R √

x2_{− 8dx = (x (x}2_{− 8)}1/2_{)/2 − 4 log(x + (x}2_{− 8)}1/2_{) + k}

Esercizi di ricapitolazione.

x3_log2_{(x )}sin(1/x ) dx ; (converge) R+∞

2

e1/x₋₁

log(x ) dx ; (diverge)

Esercizio

Determinare se convergono, al variare di α ∈ R Z +∞

1

(1 + x3)α x2_(log2_{(x ) + 2)}dx .