13ottobre2014 PaolaMannuccieAlviseSommariva Introduzione.

Introduzione.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Funzioni.

Definizione

Siano A, B insiemi. Lafunzionef `e una legge che ad ogni

elemento di A associauno e uno solo elemento di B, e si scrive

f : A → B.

I Usualmente si dice f `e definita da A a B;

I Se x ∈ A, con f (x ) si indica il valore di B associato a x mediante f .

I A volte si scrive f : x → f (x ) ∈ B. La variabile x si chiama

variabile indipendente.

I L’insieme A si chiama dominio di f , mentre l’insieme B si

chiama codominio di f .

Funzioni: esempi.

Sia X = {1, 2, 3} e Y = {a, b, c, d , e}. Sia f : X → Y la funzione per cui f (1) = a, f (2) = c, f (3) = d . Osserviamo che non tutti gli elementi del codominio sono funzione di qualche elemento del dominio.

Funzioni: esempi.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio `e R e il codominio R.

Esempio

Sia A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} e sia f : A → B definita da f (x ) = x + 1.

Esempio

Sia R+= {x ∈ R, x > 0}. Sia f : R+→ R definita da f (x ) = log₁₀(x ).

Funzioni: immagine.

Definizione

Sia f : A → B. Si diceimmaginedi A attraverso f , il sottinsieme di B definito da

f (A) = Im(f ) = {x ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x )}.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4_{. In questo caso, il dominio `e}

R e il codominio R. L’immagine di f `e R+.

Esempio

Funzioni: immagine e grafico.

Sia f : R2→ R, definita da f (x, y) = x + y. In questo caso, il dominio `e R2 e il codominio R. L’immagine di f `e R.

Esempio

Sia f : R → R2, definita da f (x ) = (x , 2 · x ). In questo caso, il dominio `e R e il codominio R2. L’immagine di f `e una retta di R2 (cio`e y = 2 · x ).

D’ora in poi, qualora non detto esplicitamente, sar`a f : A ⊆ R → R

Definizione

Sia f : A ⊆ R → R. Si dicegrafico di f , il sottinsieme di R2

definito da

graf(f ) = {(x , y ) ∈ R2 : y = f (x ), x ∈ A}.

Funzioni: grafico.

Figura : Grafico di funzione (`_{e f (x ) = sin(x ), con f : [−5, 5] → R).}

Funzioni: grafico.

Figura : Un esempio che non `_{e grafico di funzione da [0, 1] ⊂ R in R. Ad} esempio in 0 assume due valori, −1 e +1

.

Funzioni: sul dominio.

Di seguito consideremo, a meno di specificazioni, f : D ⊆ R → R con D dominio naturale di f , ci`e tutti gli x per i quali ha senso scrivere f (x ).

Esempio

Sia f (x ) =√x . Allora D = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Esempio

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  x se x ≥ 0 −x se x ≤ 0 Che funzione nota `e f ?

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura : Grafico di f nell’intervallo −5 e +5

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  1 se x ∈ Q 0 se x ∈ R\Q

Funzioni: successioni.

Definizione

Si dicesuccessione ogni funzione f in cui il dominio `e N. In particolare ogni funzione f : N → R si chiamasuccessione reale.

Esempio

La funzione f : N → R definita da f (n) := fn:=

n − 1 n + 1

`e una successione. In particolare f0 = −1, f1= 0, f2 = 1/3, etc. Si

verifica facilmente che fn< fn+1 essendo n−1_n+1 < _n+2n (risolvere una

disequazione di secondo grado!).

Funzioni: limitate superiormente.

Definizione

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata superiormente se

esiste M ∈ R tale che

f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D.

Esempio

Funzioni: limitate superiormente.

Figura : Grafico di f (x ) = −x2nell’intervallo −10 e +10

.

Funzioni: limitate inferiormente.

Definizione

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata inferiormente se

esiste m ∈ R tale che

f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D.

Esempio

La funzione f (x ) = x2 ha il grafico che consiste in una parabola ed assume esclusivamente valori positivi. In questo caso si pu`o

Funzioni: limitate inferiormente.

Figura : Grafico di f (x ) = x2nell’intervallo −10 e +10

.

Funzioni: limitate.

Definizione

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata se `e limitata superiormente e inferiormente, cio`e esistono m, M ∈ R tali che

m ≤ f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D che `e equivalente a dire che esiste k ∈ R tale che

Funzioni: limitate, esempi.

Sia f (x ) = x3, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = R e quindi la funzione non `e limitata n`e inferiormente, n`e superiormente.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 106

Figura : Grafico di f (x ) = x3 _{nell’intervallo −100 e +100. Attenzione}

che `e in scala 1 milione sull’asse y !

Funzioni: limitate, esempi.

Sia f (x ) = _1+x1 2, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = (0, 1] e

Funzioni: simmetriche.

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicepari se

f (x ) = f (−x ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120

Figura : Grafico della funzione pari f (x ) =x4+x_1+x2+1002 in [−10, +10]

.

Funzioni: simmetriche.

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicedisparise

Funzioni: simmetriche, esempi.

La funzione f (x ) = x2 `e pari. Infatti

f (−x ) = (−x )2 = x2 = f (x ).

Esempio

La funzione f (x ) = x3 `e dispari. Infatti

f (−x ) = (−x )3 = −x3 = −f (x ). Esempio La funzione f (x ) = xn, n ∈ N`e  dispari se n `e dispari pari se n `e pari

Funzioni: simmetriche, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3− x17 _{`e dispari.}

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3+ 1 non `e n`e pari n`e dispari. Ad esempio f (2) = −5, f (−2) = 7 6= ±5 = ±f (2).

Nota.

Osserviamo che una funzione

I pari ha un grafico simmetrico rispetto l’asse y ;

I dispari ha un grafico che si ottiene applicando prima una

Funzioni: monotone.

Sia f : D ⊆ R → R.

Definizione

La funzione f `e monotona crescentese

∀x₁, x2 ∈ D, x1 < x2, f (x1) ≤ f (x2).

Definizione

La funzione f `e monotona strettamente crescente se ∀x₁, x2 ∈ D, x1 < x2, f (x1) < f (x2).

Funzioni: monotone.

Definizione

La funzione f `e monotona decrescentese

∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2, f (x1) ≥ f (x2).

Definizione

La funzione f `e monotona strettamente decrescentese

Funzioni: monotone, esempi.

La funzione f (x ) = x3, f : R → R, `e strettamente crescente.

Esempio

La funzione f (x ) = 1, f : R → R, `e crescente e decrescente.

Esempio

La funzione f (x ) = _1+x1 2, f : R → R, non `e n`e crescente n`e

decrescente. −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 106 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figura : Grafico di f (x ) = x3_{, f (x ) =} 1 1+x2 .

Funzioni: monotone, esempi.

La funzione f (x ) = x2, f : R+→ R, `e strettamente crescente. La funzione f (x ) = x2, f : R−→ R, `e strettamente decrescente.

Funzioni: periodiche.

Definizione

La funzione f : D ⊆ R → R `eperiodica di periodo T > 0 se T `e il pi`u piccolo numero reale tale

f (x + T ) = f (x ), ∀x ∈ D, x + T ∈ D.

Esempio

La funzione f (x ) = sin (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

sin (x + 2π) = sin (x ), ∀x ∈ R.

Funzioni: periodiche.

Esempio

La funzione f (x ) = cos (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

cos (x + 2π) = cos (x ), ∀x ∈ R.

Nota.

Funzioni: elementari.

La funzione f : R → R definita da f (x) = xα, α ∈ R `e nota come funzionepotenza.

Si riconosce subito che

I f (1) = 1;

I _{Im(f ) = [0, +∞) se α ∈ N `e pari;</sub> I <sub>Im(f ) = R se α ∈ N `e dispari;}

I _{se α ∈ N `e dispari allora f `e crescente;}

I _{se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = [0, +∞) se n `e}

pari;

I _{se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = R se n `e dispari;} I _{se α ∈ R allora R}+\0 ⊆ Im(f );

I _{se α ∈ R}+ _{allora R}+⊆ Im(f );

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x−1 = 1_x, f : R\0 → R, `e una iperbole, `e dispari non `e monotona.

Esempio

La funzione f (x ) = x−2 = _x12, f : R\0 → R, `e pari ma non `e

Funzioni: monotone, esempi.

Funzioni: monotone, esempi.

Funzioni: monotone, esempi.

Figura : Grafico di f (x ) = x2 _{in rosso, f (x ) = x in nero, f (x ) = x}1/2 _in

Funzioni: esponenziali.

Sia α ∈ R+\0. La funzione f (x) = αx_{, f : R → R si chiama}

funzione esponenzialein base α.

I Si osservi che il dominio `e R;

I Im(f ) = (0, +∞); I f (0) = 1 per ogni α −3 −2 −1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura : Grafico di f (x ) = 2x _{in rosso, f (x ) = 1}x _{in nero, f (x ) = 1/2}x _in

verde in [−3, 3].

Funzioni: logaritmi.

Sia D := R+\0 e a ∈ R+_{\{0, 1}. Sia f (x) = log}

ax . Allora I Il dominio di f `e D = R+\0;

I _{Im(f ) = R;}

I f (1) = 0 per ogni scelta di a;

I Si ha che y = log_a(x ) ⇔ ay = x ;

I Se a = 1 allora il logaritmo non `e definito.

I Sia e := 2.718281828459046 . . . il numero di Nepero. Allora

log_ex = ln(x ) = log(x ) `

e noto comelogaritmo naturale;

I a = eln (a);

Funzioni: logaritmi.

Figura : Grafico di f (x ) = log_e(x ) in (0, 10].

.