UNIVERSITA' DEL PIEMONTE ORIENTALE CALCOLO DELLE PROBABILITµA E STATISTICA MATEMATICA Corso di Laurea in Informatica luglio 1999

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UNIVERSITA' DEL PIEMONTE ORIENTALE

CALCOLO DELLE PROBABILITµ A E STATISTICA MATEMATICA Corso di Laurea in Informatica

luglio 1999

ESERCIZIO 1

Un giocatore sceglie a caso una moneta tra tre monete A, B e C e la lancia due volte. La probabilit¶ a di ottenere Testa con la moneta A vale 0.75 , con la moneta B vale 0.25 e con la moneta C vale 0.5 .

1. Calcolare la probabilita' di ottenere due Teste ; 2. Calcolare la probabilita' di ottenere una Testa.

3. Calcolare la probablit¶ a di ottenere al pi¶ u una Testa.

ESERCIZIO 2

Siano X e Y due variabili aleatorie le cui leggi sono riportate nelle tabelle seguenti :

x ¡2 ¡1 0 4

p (x ) 0:2 0:1 0:4 0:3

y 2 4 6 8

p (y ) 0:1 0:2 0:4 0:3 1. Calcolare la speranza matematica di X.

2. Calcolare la varianza di Y .

3. Si suppongano X e Y NON indipendenti e si determini una possibile legge per U=min(X; Y ) 4. Determinare speranza matematica di U.

5. Determinare la funzione di ripartizione di U , F

U

(u) ESERCIZIO 3

In una popolazione umana si osserva che l'altezza delle donne ha legge normale con media 167 cm e varianza 49.

1. Qual'¶e la percentuale di donne che ha altezza :

² maggiore di 167 cm

² maggiore di 170 cm ;

² fra 161 cm e 173 cm.

2. Si scelgono a caso quattro donne dalla popolazione. Determinare la probabilita' che :

² tutte e quattro abbiano altezza maggiore di 170 cm ;

² due abbiano altezza superiore alla media e due inferiore alla media.

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ESERCIZIO 4 (1998/1999)

Sia X una popolazione di media e varianza sconosciute. I dati riportati sotto rappresentano un campione di numerosit¶ a 5 estratto da X.

x 1 1 2 2 1

1. Calcolare due stimatori non distorti della media.

2. Calcolare lo stimatore non distorto della varianza.

3. Costruire un intervallo di con¯denza a livello 10% per ¹.

ESERCIZIO 4

Siano X

1

; :::; X

20

variabili aleatorie di legge esponenziale di parametro ¸ = 3.Si indichi con S

20

la somma di X

1

; :::; X

20

1. Calcolare la speranza matematica di S

20

.

2. Calcolare la probabilit¶ a che S

20

sia maggiore di 12.

3. Calcolare la probabilit¶ a che S

20

sia compreso fra 10 e 20.