Problema di Hansen. Indice generale

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Problema di Hansen Problema di Hansen

Hansen Peter Andreas (1795 – 1874) astronomo danese, direttore dell'osservatorio di Seeberg e di Gotha, studiò il moto della luna e le relative perturbazioni. Si occupò di meccanica celeste e di perturbazioni planetarie. Famose le sue Tables de la Lune e quelle del Sole, queste ultime in collaborazione con C. Olufsen.

Si occupò anche di problemi topografici.

Indice generale

1.Posizione del problema...2

2.Primo schema di soluzione...4

3.Secondo schema di soluzione...6

4.Calcolo delle coordinate di P e Q...7

5.Altro schema di soluzione...8

6.Soluzione grafica...9

7.Esempi applicativi...10

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1. Posizione del problema

Il problema di Hansen è un tipico schema di intersezione inversa nell'ambito dell'inquadramento pla- nimetrico. Come in tutti i casi di intersezione, le osservazioni di campagna si limitano a misure di angoli.

Sono fissati due punti P e Q, intervisibili, di coordinate incognite e due punti A e B, visibili dai prece- denti, di coordinate planimetriche note. Stazionando sui punti P e Q (da qui: intersezione inversa) si effettuano le seguenti osservazioni:

Punto di Stazione Punto collimato Lettura azimutale

P A L

PA

B L

PB

Q L

PQ

Q A L

QA

B L

QB

P L

QP

da cui si possono immediatamente ricavare i seguenti angoli:

α

1

= APQ = L

PQ

- L

PA

α

2

= BPQ = L

PQ

– L

PB

β

1

= PQA = L

QA

– L

QP

β

2

= PQB = L

QB

– L

QP

Consideriamo il seguente schema (come si vedrà più avanti, uno dei possibili):

Se consideriamo i triangoli PQA e PQB, si possono ricavare gli angoli seguenti:

α₁ α

2

β¹ β² γ¹

γ2

(3)

γ

²

= QBP = π - ( α

²

+ β

²

) Conviene anche calcolare:

APB = α

1

-α

2

AQB = β

2

- β

1

Preliminarmente sono calcolabili con le usuali espressioni: AB e θ

AB

.

Come ben si vede, da un punto di vista geometrico, si tratta della soluzione di un quadrilatero di cui sono noti 5 elementi: dalle coordinate di A e B: AB; per le osservazioni effettuate: APQ, BPQ, PQA, PQB.

Si noti che la conoscenza di θ

AB

consente l'orientamento della figura e quindi la determinazione delle coordi- nate di P e Q nel sistema di riferimento globale.

Occorre qui notare che, così come formulato, il problema è isodeterminato: gli elementi noti sono in numero strettamente sufficiente alla determinazione univoca di una soluzione. Questa circostanza comporta l’impossibilità di verifiche intrinseche che sono invece possibili solo in presenza di elementi sovrabbondanti.

Nella pratica applicazione deve quindi essere posta la massima attenzione per non incorrere in errori grosso- lani impossibili da rilevare dall’interno del problema.

Nelle figure seguenti sono riportati altri schemi topologici del problema di Hansen; altri ancora sono esemplificati negli esercizi:

Le soluzioni proposte sono efficaci in tutti i casi a condizione che siano rigidamente rispettate le con- venzioni di segno per gli angoli, le definizioni degli angoli stessi e mantenuti in ogni caso i segni che escono dalle formule. È evidente che gli angoli possono sempre essere riportati all’intervallo [0, 2 π].

Sono possibili diversi procedimenti di soluzione. Se ne propongono due diversi.

α¹ β1

β²

α2

γ1 γ2

α¹ β1

β2

α²

γ1 γ2

α¹ β1

β²

α₂

γ1 γ²

(4)

2. Primo schema di soluzione

Osserviamo che la conoscenza della distanza PQ banalizza la soluzione dell'intero problema; con- centriamo dunque l'attenzione su questa misura.

Poniamo:

V

₁

= ^{sin }

¹

sin 

₁

V

₂

= ^{sin }

²

sin 

₂

R

²

= 1  V

₁²

− 2 ⋅ V

₁

⋅ cos

₁

k =  ^R

²

^ ^V

2

− 2 ⋅ V

₂

⋅ R ⋅ cos A  Q B

(per inciso, le ultime due espressioni richiamano il teorema di Carnot.) risulta, dopo laboriosi passaggi:

PQ = ^AB

k

Il valore di k può essere ricavato direttamente anche con un'altra espressione:

ponendo:

Q

₁

= sin 

₁

⋅ sin 

₂

⋅ cos 

₂

− sin 

₂

⋅ sin 

₁

⋅ cos 

₁

Q

₂

= ^{sin }

₁

⋅ ^{sin }

₂

⋅ ^{sin }

₂

− ^{sin }

₂

⋅ ^{sin }

₁

⋅ ^{sin }

₁

k =  ^Q

1

2

 Q

₂²

∣ ^{sin }

1

⋅ sin 

₂

∣

Se ora proseguiamo nei calcoli, sapendo che possiamo fare riferimento al primo schema, scriviamo:

AP = ^PQ ⋅ sin 

₁

sin 

₁

AQ = ^PQ ⋅ sin 

₁

sin 

₁

(5)

BP = ^PQ ⋅ sin 

₂

sin 

₂

BQ = ^PQ ⋅ sin 

₂

sin 

₂

B A P = arccos AP

²

 AB

²

− BP

²

2 ⋅ AP ⋅ AB 

Q B A = arccos BQ

²

 AB

²

− AQ

²

2 ⋅ BQ ⋅ AB 

se il triangolo APB è orario BAP deve essere esterno, allora:

B A P = 2 ⋅  − B A P

se il triangolo AQB è orario QBA deve essere esterno, allora:

Q B A = 2 ⋅  − Q B A infine:

P B A = Q B A − 

₂

B A Q = B A P − 

₁

Per la parte finale del problema vedi il paragrafo 4.

(6)

3. Secondo schema di soluzione

Osserviamo che la conoscenza dell’angolo PBA renderebbe banale il prosieguo dei calcoli; calcolia- mo dunque questa quantità.

Poniamo:

 = 

₂

 

₁

Q = ^{sin }

²

⋅ sin A  Q B ⋅ sin 

₁

sin 

₁

⋅ sin A P B ⋅ sin 

₂

risolvendo si ottiene:

P B A = arctan sin  Q  cos 

se PBA < O allora PBA = PBA + π

Si noti che l'espressione trovata e la condizione finale sono curiosamente uguali a quelle che risolvo- no il problema di Snellius-Pothenot (vedi relativa dispensa).

Immediatamente si ha:

B A Q =  − P B A

B A P =  −  P B A  A P B

Q B A = P B A  

₂

BP = ^AB ⋅ sin B A P sin A P B BQ = ^AB ⋅ sin B AQ

sin A  Q B AP = ^AB ⋅ sin P B A

sin A P B AQ = ^AB ⋅ sin Q B A

sin A Q B

Per la parte finale del problema vedi il successivo paragrafo 4.

(7)

4. Calcolo delle coordinate di P e Q

Il calcolo inizia con la determinazione degli azimut:



_AP

= 

_AB

 B A P



_AQ

= 

_AB

 B A Q



_BP

= 

_AB

  − P B A



_BQ

= 

_AB

  − Q B A Ora si possono calcolare:

X

_P

= X

_A

 AP ⋅ sin 

_AP

= X

_B

 BP ⋅ sin 

_BP

Y

_P

= ^Y

_A

 ^AP ⋅ ^cos

_AP

= ^Y

_B

 ^BP ⋅ ^cos

_BP

X

_Q

= X

_A

 AQ ⋅ sin 

_AQ

= X

_B

 BQ ⋅ sin 

_BQ

Y

_Q

= Y

_A

 AQ ⋅ cos

_AQ

= Y

_B

 BQ ⋅ cos

_BQ

(8)

5. Altro schema di soluzione

Il problema può essere utilmente affrontato per altra via che non richiede formulari.

Considerando il primo schema di soluzione proposto (che deriva da questa trattazione): poniamo fit- tiziamente PQ'= 1 (o un qualsiasi altro valore). Impostando un sistema di riferimento fittizio qualsiasi (istintiva è la scelta dell'origine in P e asse delle ascisse contenente il punto Q, quindi di coordinate fittizie PQ

^'

, 0), la conoscenza degli angoli misurati consente di determinare le coordinate fittizie di A e B, mediante la soluzione dei triangoli PQA e PQB. La distanza AB

^'

è invariante rispetto al sistema di riferimento.

Ma la distanza AB è nota ed è evidente che tra la figura reale e quella generata dalla scelta fittizia di PQ

^*

sussiste un rapporto di similitudine. Tale rapporto è facilmente calcolabile come:

r = ^AB

AB ' Va da sé che ora:

PQ = r ⋅ PQ' e se PQ' = 1, addirittura PQ=r e anche:

AP = r ⋅ AP ' AQ = r ⋅ AQ' BP = r ⋅ BP ' BQ = r ⋅ BQ '

Tutte le misure di lunghezza risultano nello stesso rapporto di similitudine, mentre gli angoli, eviden- temente, sono uguali.

Il prosieguo dei calcoli è riportato nel paragrafo 4.

(9)

6. Soluzione grafica

Il problema ha anche una soluzione grafica interessante per l’effettiva ricerca della soluzione (però la precisione è adeguata solo se la costruzione è eseguita in ambiente CAD). Osserviamo la figura seguente:

L’angolo APB=( α

1

−α

2

) è l’angolo sotto cui dal punto P si vede il segmento AB. Il luogo geometrico di P è dunque una circonferenza di cui AB è una corda. Ricordiamo che, data una circonferenza, tutti gli ango- li alla circonferenza che insistono su una data corda hanno ampiezza metà dell’angolo al centro che insiste sulla stessa corda. Ruotando in senso antiorario il segmento AB intorno al punto B di un angolo pari a ( π/2− APB) e intersecandolo con l’asse del segmento AB si determina il centro O

2

della circonferenza luogo cercata (praticamente, per non fare calcoli, si può ruotare in senso orario il segmento AB di un angolo APB e quindi ruotarlo in senso antiorario di un angolo retto). Tutti i punti della circonferenza c

2

sono, con riguardo al valore di APB, possibili soluzioni per P.

La stessa costruzione, per chiarezza di disegno dalla parte opposta del segmento AB, può essere sviluppata per l’angolo AQB=( β

2

−β

1

): il centro della circonferenza è l’intersezione del segmento AB ruotato in senso orario di un angolo (π/2−AQB) con l’asse del segmento AB. Tutti i punti della circonferenza c

1

sono, con riguardo al valore di AQB, possibili soluzioni per Q.

Ruotando in senso orario il segmento O

2

B di un angolo 2·α

2

si determina il punto T sulla circonfe- renza c

2

. Analogamente, ruotando in senso antiorario il segmento O

2

A di un angolo 2·β

1

si determina il punto S sulla circonferenza c

1

. Si congiungano ora i punti S e T e si prolunghi il segmento ST fino ad intersecare en- trambe le circonferenze. La nuova intersezione con c

1

è il punto P, mentre la nuova intersezione con c

2

è il punto Q. Infatti, l’angolo al centro di c

1

, che vale 2·β

1

, sottende l’arco che ha per corda AS, la quale, alla cir- conferenza sottende un angolo di ampiezza dimezzata: appunto β

1

. Analogamente, la corda BT sottende l’an- golo al centro 2·α

2

e quindi l’angolo alla circonferenza α

2

.

α1 α

2

β1

β² γ¹

γ2

β2−β¹

α¹− α² α1−α

2

2∗β¹ β2− β1

2∗α²

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7. Esempi applicativi

Problema n. 11 Angolo piatto= 200.

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

APQ= 124.4006 PQA= 48.0112 QAP= 27.5882 BPQ= 42.9553 PQB= 127.5279 QBP= 29.5168 APB= 81.4453 AQB= 79.5167

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.98995E+00 Den= 0.98995E+00

BAP= 68.5547 QBA= 79.5168 PBA= 50.0000 BAQ= 40.9665 AP= 738.241 azAP= 168.5547 P: 350.001 -650.000

AQ= 1000.001 azAQ= 140.9665 Q: 800.001 -599.999 PQ= 452.770 BP= 919.238 azBP= 250.0000 P: 350.001 -650.000

BQ= 632.455 azBQ= 220.4832 Q: 800.001 -599.999 PQ= 452.770 --- k= 2.208627 PQ= 452.770

AQ= 1000.001 azAQ= 140.9665 Q: 800.001 -599.999 BP= 919.238 azBP= 250.0000 P: 350.001 -650.000 BQ= 632.455 azBQ= 220.4832 Q: 800.001 -599.999

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.81068E+00 Den= -0.50262E+01

BAP= -372.8400 QBA= 220.4832 PBA= 189.8196 BAQ= -49.9999 AP= -604.151 azAP= -272.8400 P: -549.999 250.000

AQ= -707.105 azAQ= 50.0001 Q: -500.000 -499.998 PQ= 751.663 BP= -1570.031 azBP= 110.1804 P: -549.999 250.000

BQ= -1581.138 azBQ= 79.5168 Q: -500.000 -499.998 PQ= 751.663 --- k= 1.330384 PQ= 751.663

BAP= 227.1600 QBA= 20.4832 PBA= -10.1804 BAQ= 150.0001

(11)

BQ= 1581.138 azBQ= 279.5168 Q: -500.000 -499.998

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

APQ= 370.3914 PQA= 277.6129 QAP= -48.0043 BPQ= 31.6240 PQB= 126.4413 QBP= 41.9347 APB= 338.7674 AQB= 248.8284

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.98949E+00 Den= 0.62494E+00

BAP= -74.6293 QBA= -22.2034 PBA= -64.1381 BAQ= -26.6250 AP= 1030.775 azAP= 25.3707 P: 399.999 949.999

AQ= 492.442 azAQ= 73.3750 Q: 450.000 200.000 PQ= 751.664 BP= 1123.610 azBP= 364.1381 P: 399.999 949.999

BQ= 585.235 azBQ= 322.2034 Q: 450.000 200.000 PQ= 751.664 --- k= 1.330381 PQ= 751.664

BAP= 325.3707 QBA= 377.7966 PBA= 335.8619 BAQ= 373.3750 AP= 1030.775 azAP= 25.3707 P: 399.999 949.999

AQ= 492.442 azAQ= 73.3750 Q: 450.000 200.000 BP= 1123.610 azBP= -35.8619 P: 399.999 949.999 BQ= 585.235 azBQ= -77.7966 Q: 450.000 200.000

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

APQ= 321.8771 PQA= 309.1426 QAP= -31.0197 BPQ= 337.6624 PQB= 347.6814 QBP= -85.3438 APB= 384.2147 AQB= 38.5388

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.67074E+00 Den= -0.16769E+01

BAP= -8.4385 QBA= 138.8800 PBA= 224.2238 BAQ= 22.5812

(12)

AP= 1513.273 azAP= 91.5615 P: 1499.998 199.999

AQ= 1439.616 azAQ= 122.5812 Q: 1349.998 -499.999 PQ= 715.889 BP= 538.514 azBP= 75.7762 P: 1499.998 199.999

BQ= 610.326 azBQ= 161.1200 Q: 1349.998 -499.999 PQ= 715.889 --- k= 1.396865 PQ= 715.889

AQ= 1439.616 azAQ= 122.5812 Q: 1349.998 -499.999 BP= 538.514 azBP= 75.7762 P: 1499.998 199.999 BQ= 610.326 azBQ= 161.1200 Q: 1349.998 -499.999

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.92945E+00 Den= 0.10456E+01

BQ= 1252.995 azBQ= 231.7894 Q: 400.000 -1099.999 PQ= 715.890 --- k= 1.396863 PQ= 715.890

AQ= 1170.469 azAQ= 177.7965 Q: 400.000 -1099.999 BP= 602.080 azBP= 253.7405 P: 550.000 -400.000 BQ= 1252.995 azBQ= 231.7894 Q: 400.000 -1099.999

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(13)

B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.45985E+00 Den= -0.10347E+01

BAP= -222.2035 QBA= 244.2284 PBA= 173.3750 BAQ= -142.9554 AP= -585.235 azAP= -122.2035 P: 550.000 200.000

AQ= -640.312 azAQ= -42.9554 Q: 400.000 -499.999 PQ= 715.891 BP= -492.443 azBP= 126.6250 P: 550.000 200.000

BQ= -781.025 azBQ= 55.7716 Q: 400.000 -499.999 PQ= 715.891 --- k= 1.396861 PQ= 715.891

BAP= 377.7965 QBA= 44.2284 PBA= -26.6250 BAQ= 57.0446 AP= 585.235 azAP= 77.7965 P: 550.000 200.000

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 0.000 0.000 B: 1000.000 0.000

AB= 1000.000 azAB= 100.0000

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.88089E+00 Den= 0.15416E+01

AQ= 943.397 azAQ= 64.4383 Q: 799.998 500.001 PQ= 509.903 BP= 806.228 azBP= 333.0497 P: 299.997 399.999

BQ= 538.518 azBQ= 375.7760 Q: 799.998 500.001 PQ= 509.903 --- k= 1.961158 PQ= 509.903

AQ= 943.397 azAQ= 64.4383 Q: 799.998 500.001 BP= 806.228 azBP= -66.9503 P: 299.997 399.999 BQ= 538.518 azBQ= -24.2240 Q: 799.998 500.001

(14)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 5712.430 7642.780 B: 3636.130 -4649.550

AB= 12466.451 azAB= 189.5873

APQ= 47.3942 PQA= 31.7965 QAP= 100.8093 BPQ= 322.8681 PQB= 330.1754 QBP= -113.0435 APB= 84.5261 AQB= 298.3789

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.92986E-01 Den= -0.85206E-01

BAP= -132.0259 QBA= 114.4563 PBA= 227.4998 BAQ= -232.8352 AP= -9233.312 azAP= 57.5614 P: -2080.180 2690.076

AQ= -12897.954 azAQ= -43.2479 Q: 14549.541 -1752.042 PQ= 17212.787 BP= -9303.027 azBP= 142.0875 P: -2080.180 2690.076

BQ= -11291.505 azBQ= 255.1310 Q: 14549.541 -1752.042 PQ= 17212.787 --- k= 0.724255 PQ= 17212.787

BAP= 47.9741 QBA= 294.4563 PBA= 47.4998 BAQ= -52.8352 AP= 9233.312 azAP= 237.5614 P: -2080.180 2690.076

AQ= 12897.954 azAQ= 136.7521 Q: 14549.541 -1752.042 BP= 9303.027 azBP= 322.0875 P: -2080.180 2690.076 BQ= 11291.505 azBQ= 75.1310 Q: 14549.541 -1752.042

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: -7684.320 3156.860 B: 4662.450 6783.330

AB= 12868.334 azAB= 73.6315

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.99534E+00 Den= 0.14570E+01

BAP= 85.4180 QBA= 58.0229 PBA= 34.3395 BAQ= 61.1919 AP= 8361.588 azAP= 159.0495 P: -4694.538 -4651.939

AQ= 12506.583 azAQ= 134.8234 Q: 1186.388 -5659.327 PQ= 5966.584 BP= 14775.609 azBP= 219.2920 P: -4694.538 -4651.939

BQ= 12919.084 azBQ= 195.6086 Q: 1186.388 -5659.327 PQ= 5966.584 --- k= 2.156734 PQ= 5966.584

AQ= 12506.583 azAQ= 134.8234 Q: 1186.388 -5659.327 BP= 14775.609 azBP= 219.2920 P: -4694.538 -4651.939 BQ= 12919.084 azBQ= 195.6086 Q: 1186.388 -5659.327

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 742.930 -23612.590 B: 4612.620 -20596.190

AB= 4906.442 azAB= 52.0638

(15)

Num= 0.67112E-01 Den= 0.83849E-01

BAP= 43.0209 QBA= -45.4706 PBA= 38.6731 BAQ= -34.8250 AP= 3098.421 azAP= 95.0847 P: 3829.158 -23887.196

BQ= 2842.609 azBQ= 277.5344 Q: 1794.553 -20223.465 PQ= 4190.769 --- k= 1.170774 PQ= 4190.769

BAP= 43.0209 QBA= 314.5294 PBA= 38.6731 BAQ= -34.8250 AP= 3098.421 azAP= 95.0847 P: 3829.158 -23887.196

AQ= 3548.532 azAQ= 17.2388 Q: 1794.553 -20223.465 BP= 3382.977 azBP= 193.3907 P: 3829.158 -23887.196 BQ= 2842.609 azBQ= -82.4656 Q: 1794.553 -20223.465

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 122.580 2785.240 B: 4258.360 145.580

AB= 4906.371 azAB= 122.5480

FINE DATI ===============================================================================

Num= 0.63922E+00 Den= -0.11728E+01

AQ= 5676.586 azAQ= 111.4057 Q: 5407.594 713.463 PQ= 1571.455 BP= 968.143 azBP= 151.1397 P: 4725.659 -702.318

BQ= 1281.885 azBQ= 63.7042 Q: 5407.594 713.463 PQ= 1571.455 --- k= 3.122184 PQ= 1571.455

AQ= 5676.586 azAQ= 111.4057 Q: 5407.594 713.463 BP= 968.143 azBP= 151.1397 P: 4725.659 -702.318 BQ= 1281.885 azBQ= 63.7042 Q: 5407.594 713.463

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: 8795.640 5665.880 B: 2458.870 3265.560

AB= 6776.149 azAB= 249.2537

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.95423E+00 Den= 0.21905E+01

AQ= 8322.696 azAQ= 200.1946 Q: 5922.561 -2145.181 PQ= 5355.927 BP= 2594.160 azBP= 92.7923 P: 5049.950 3139.183

BQ= 6424.428 azBQ= 147.3746 Q: 5922.561 -2145.181 PQ= 5355.927 --- k= 1.265168 PQ= 5355.927

(16)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: -7239.330 1125.180 B: 965.360 3018.890

AB= 8420.396 azAB= 77.0033

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.68271E+00 Den= 0.32480E+00

BAP= -53.7462 QBA= -216.5154 PBA= -64.5573 BAQ= 21.5018 AP= 8636.222 azAP= 23.2571 P: -3829.256 9059.644

AQ= 19341.810 azAQ= 98.5051 Q: 11889.774 -1735.413 PQ= 19068.853 BP= 7712.266 azBP= 321.5606 P: -3829.256 9059.644

BQ= 11914.119 azBQ= 113.5187 Q: 11889.774 -1735.413 PQ= 19068.853 --- k= 0.441579 PQ= 19068.853

BAP= 306.2538 QBA= 143.4846 PBA= 295.4427 BAQ= 21.5018 AP= 8636.222 azAP= 23.2571 P: -3829.256 9059.644

AQ= 19341.810 azAQ= 98.5051 Q: 11889.774 -1735.413 BP= 7712.266 azBP= -38.4394 P: -3829.256 9059.644 BQ= 11914.119 azBQ= 113.5187 Q: 11889.774 -1735.413

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A: -3216.430 -6945.620 B: 1676.190 -1047.820

AB= 7663.013 azAB= 39.6780

FINE DATI ===============================================================================

Num= -0.92932E+00 Den= 0.10124E+01

BAP= -56.2895 QBA= -119.8421 PBA= -42.5511 BAQ= -25.7783 AP= 5244.398 azAP= -16.6115 P: -4715.705 -1920.097

AQ= 11771.231 azAQ= 13.8997 Q: -388.715 4480.924 PQ= 7726.312 BP= 6451.138 azBP= 262.2291 P: -4715.705 -1920.097

BQ= 5901.767 azBQ= 339.5201 Q: -388.715 4480.924 PQ= 7726.312 --- k= 0.991807 PQ= 7726.312

AQ= 11771.231 azAQ= 13.8997 Q: -388.715 4480.924 BP= 6451.138 azBP= -97.7709 P: -4715.705 -1920.097 BQ= 5901.767 azBQ= -20.4799 Q: -388.715 4480.924

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Problema di Hansen. Indice generale

Problema di Hansen Problema di Hansen

Si occupò anche di problemi topografici.

Indice generale

1.Posizione del problema...2

2.Primo schema di soluzione...4

3.Secondo schema di soluzione...6

4.Calcolo delle coordinate di P e Q...7

5.Altro schema di soluzione...8

6.Soluzione grafica...9

7.Esempi applicativi...10

1. Posizione del problema

Il problema di Hansen è un tipico schema di intersezione inversa nell'ambito dell'inquadramento pla- nimetrico. Come in tutti i casi di intersezione, le osservazioni di campagna si limitano a misure di angoli.

Sono fissati due punti P e Q, intervisibili, di coordinate incognite e due punti A e B, visibili dai prece- denti, di coordinate planimetriche note. Stazionando sui punti P e Q (da qui: intersezione inversa) si effettuano le seguenti osservazioni:

Punto di Stazione Punto collimato Lettura azimutale

P A L

B L

Q L

Q A L

B L

P L

da cui si possono immediatamente ricavare i seguenti angoli:

α

= APQ = L

- L

α

= BPQ = L

– L

β

= PQA = L

– L

β

= PQB = L

– L

Consideriamo il seguente schema (come si vedrà più avanti, uno dei possibili):

Se consideriamo i triangoli PQA e PQB, si possono ricavare gli angoli seguenti:

γ

= QBP = π - ( α

+ β

) Conviene anche calcolare:

APB = α

-α

AQB = β

- β

Preliminarmente sono calcolabili con le usuali espressioni: AB e θ

.

Come ben si vede, da un punto di vista geometrico, si tratta della soluzione di un quadrilatero di cui sono noti 5 elementi: dalle coordinate di A e B: AB; per le osservazioni effettuate: APQ, BPQ, PQA, PQB.

Si noti che la conoscenza di θ

consente l'orientamento della figura e quindi la determinazione delle coordi- nate di P e Q nel sistema di riferimento globale.

Nella pratica applicazione deve quindi essere posta la massima attenzione per non incorrere in errori grosso- lani impossibili da rilevare dall’interno del problema.

Nelle figure seguenti sono riportati altri schemi topologici del problema di Hansen; altri ancora sono esemplificati negli esercizi:

Sono possibili diversi procedimenti di soluzione. Se ne propongono due diversi.

2. Primo schema di soluzione

Osserviamo che la conoscenza della distanza PQ banalizza la soluzione dell'intero problema; con- centriamo dunque l'attenzione su questa misura.

Poniamo:

V

= sin 

sin 

V

= sin 

sin 

R

= 1  V

− 2 ⋅ V

⋅ cos

k =  R

 V

− 2 ⋅ V

⋅ R ⋅ cos A  Q B

(per inciso, le ultime due espressioni richiamano il teorema di Carnot.) risulta, dopo laboriosi passaggi:

PQ = AB

k

Il valore di k può essere ricavato direttamente anche con un'altra espressione:

ponendo:

Q

= sin 

⋅ sin 

⋅ cos 

− sin 

⋅ sin 

= ^{sin }

= ^{sin }

k =  ^R

^ ^V

PQ = ^AB

= ^{sin }

⋅ ^{sin }

⋅ ^{sin }

− ^{sin }

⋅ ^{sin }

⋅ ^{sin }

k =  ^Q

∣ ^{sin }

AP = ^PQ ⋅ sin 

AQ = ^PQ ⋅ sin 

BP = ^PQ ⋅ sin 

BQ = ^PQ ⋅ sin 

Q = ^{sin }

BP = ^AB ⋅ sin B A P sin A P B BQ = ^AB ⋅ sin B AQ

sin A  Q B AP = ^AB ⋅ sin P B A

sin A P B AQ = ^AB ⋅ sin Q B A