RIASSUNTI DI FONDAMENTI DI SEGNALI PER INGEGNERIA BIOMEDICA

RIASSUNTI DI

FONDAMENTI DI SEGNALI

PER INGEGNERIA BIOMEDICA

Chiara Moreschini

RIASSUNTI DI SEGNALI BIOMEDICI CARATTERIZZAZIONE DEI SEGNALI ANALOGICI

Proprietà dei segnali

I segnali analogici si possono classificare in base alle caratteristiche della variabile dipendente, indipendente o del segnale stesso.

In base alla variabile indipendente (tempo) si distinguono segnali a tempo continuo o discreto. In base alla variabile dipendente (ampiezza) si distinguono segnali a valori reali e quantizzati.

Classificazione in base alle proprietà del segnale stesso:

 Segnali periodici: si ripetono uguali a se stessi ogni periodo

 Segnali aperiodici: non si ripetono nel tempo

 Segnali deterministici: esiste una funzione che descrive e predice il segnale

 Segnali stocastici: non esiste una funzione che descrive il segnale e non si conosce il suo andamento prima di averlo osservato (c’è un certo grado di incertezza)

Segnali

deterministici

Energia:

𝐸

_𝑥

= ∫ |𝑥(𝑡)

_−∞^{+∞ 2}

|𝑑𝑡

Potenza:

𝑃

_𝑥

= lim

𝑇→∞

1

𝑇

∫ |𝑥(𝑡)

^{+ 2}

|𝑑𝑡

𝑇 2

−^𝑇₂

Valore efficace:

𝐴

_𝑒𝑓𝑓

= √𝑃

𝑥

Se un segnale deterministico è anche periodico si può calcolare la potenza in un solo periodo, mentre l’energia sarà infinita:

𝑃

_𝑥

=

_𝑇¹

∫ |𝑥(𝑡)

^{+ 2}

|𝑑𝑡

𝑇 2

−^𝑇₂

𝐸

_𝑥

= ∞

 In generale si può affermare che se Ex è finita, Px= 0 e se Px 0, Ex è infinita

 Il valore efficace è il valore che dovrebbe assumere un segnale costante per avere la stessa potenza del segnale dato

Segnali stocastici

Di un segnale stocastico si possono avere diverse realizzazioni e in ogni istante il valore del segnale è casuale, anche se varia solo in un ristretto intervallo di valori con una certa probabilità. Per caratterizzare un segnale stocastico si usano allora:

- Distribuzione di probabilità e probabilità congiunte

- Media, varianza, deviazione standard, correlazione, covarianza, ecc…

Segnali stocastici stazionari

I segnali stocastici stazionari sono segnali le cui proprietà statistiche non dipendono da un sistema di riferimento temporale assoluto.

Caratteristiche:

- Stazionarietà debole: valor medio e varianza sono costanti e la correlazione dipende solo dal ritardo (si considerano solo i momenti di primo e secondo ordine)

- Ergodicità: le statistiche del segnale possono essere calcolate considerando una sola realizzazione del segnale, ovvero le medie temporali di una singola realizzazione coincidono con le medie d’insieme (comodo perché permette di studiare il segnale con una sola realizzazione del processo)

Funzione di autocorrelazione (ACF)

Per questi processi si definisce una funzione di autocorrelazione, ovvero una funzione che ricerca delle somiglianze all’interno del segnale

𝑅(𝜏) = ∫ 𝑥(𝑡 + 𝜏)𝑥(𝑡)𝑑𝑡

^+∞

−∞

Se la funzione di autocorrelazione ha un picco nell’origine ed è molto bassa altrove significa che in segnale non si ripete uguale a se stesso (processo bianco). Se invece la funzione è alta anche al di fuori dell’origine significa che il segnale è abbastanza periodico (processo colorato).

 La funzione di autocorrelazione è pari

 Spesso alla ACF si sottrae anche il valor medio m

SERIE DI FOURIER: segnali continui periodici

Serie di Fourier

La serie di Fourier è la scomposizione di una funzione in una somma di sinusoidi con fase, ampiezza e frequenza diverse. Esistono diverse forme di sviluppi in serie di Fourier: in forma polare, rettangolare ed esponenziale.

 Con le serie di Fourier si ottiene una rappresentazione nel dominio delle frequenze del segnale, anziché nel dominio del tempo

 Data la formula della serie di Fourier è necessario trovare i coefficienti di ciascuna sinusoide

 Sotto alcune ipotesi, un segnale periodico generico può essere sempre scomposto in una somma di sinusoidi di ampiezze, frequenze e fasi opportune.

Forma polare:

𝑥(𝑡) = 𝐴

₀

+ 2 ∑ 𝐴

_𝑘

cos(2𝜋𝑓

₀

𝑘𝑡 + 𝜗

_𝑘

)

∞

𝑘=1

Forma

rettangolare:

𝑥(𝑡) = 𝑎

₀

+ 2 ∑[𝑎

_𝑘

cos(2𝜋𝑓

₀

𝑘𝑡) − 𝑏

_𝑘

cos(2𝜋𝑓

₀

𝑘𝑡) ]

+∞

𝑘=1

Forma

esponenziale:

𝑥(𝑡) = ∑ 𝑋

_𝑘

𝑒

^{𝑗2𝜋𝑓0𝑘𝑡}

+∞

𝑘=−∞

 La forma esponenziale è la più usata e anche quella per cui è più semplice trovare i coefficienti

 Ottenuta dalla forma polare attraverso le formule di Eulero cos(𝑥) =𝑒^𝑗𝑥+ 𝑒^−𝑗𝑥

2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) =𝑒^𝑗𝑥− 𝑒^−𝑗𝑥 2

Coefficienti della forma esponenziale

Dato lo sviluppo in serie di Fourier in forma esponenziale, è necessario trovare i coefficienti Xk delle sinusoidi

𝑋

_𝑘

= 1

𝑇

₀

∫ 𝑥(𝑡) 𝑒

^{−2𝜋𝑓0𝑘𝑡}

𝑑𝑡

+𝑇₀ 2

−𝑇₀ 2

𝑘 = 0,1, …

 I coefficienti Xk sono complessi, quindi si ottengono uno spettro di ampiezza e uno spettro di fase, entrambi discreti e funzione di k

 Per k=0 si ottiene il primo coefficiente della serie (che non è moltiplicato per alcuna sinusoide), che coincide con il valor medio del segnale

𝑋

₀

=

_𝑇¹

0

∫

^+𝑇02

𝑥(𝑡)𝑑𝑡

−^𝑇0₂

Criterio di Dirichlet

Il criterio di Dirichlet fornisce tutte le ipotesi che un segnale deve soddisfare affinchè si possa applicare ad esso uno sviluppo in serie di Dirichlet:

1. x(t) assolutamente integrabile in un periodo T0

2. x(t) continua con al più un numero finito di discontinuità di prima specie in un periodo T0

3. x(t) derivabile rispetto a t in un periodo T0, escluso al più un numero finito di punti in cui esistono derivata dx e sx (ovvero x(t) ha un numero finito di massimi e minimi in un periodo T0)

Se tali ipotesi sono rispettate si può affermare che la serie di Fourier converge al segnale x(t).

 se x(t) ha discontinuità di prima specie converge alla semisomma del limite dx e sx

 il criterio di Dirichlet fornisce delle condizioni sufficienti per Fourier

Equazione di analisi e di sintesi

L’equazione dello sviluppo in serie e quella dei coefficienti vengono usate sempre insieme. L’equazione che fornisce i coefficienti viene detta equazione di analisi, mentre quella che fornisce il segnale sotto forma di sommatoria di sinusoidi è della equazione di sintesi.

𝑥(𝑡) ⇔ 𝑋

_𝑘

𝑥(𝑡) = ∑ 𝑋

_𝑘

𝑒

^{𝑗2𝜋𝑓0𝑘𝑡}

+∞

𝑘=−∞

𝑋

_𝑘

= 1

𝑇

₀

∫

⁺

𝑥(𝑡) 𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑓0𝑘𝑡}

𝑑𝑡

𝑇₀ 2

−𝑇0 2

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖

 Nella realtà la sommatoria di armoniche non è infinita ma finita, quindi si commetterà sempre un errore di approssimazione

Proprietà 1. Simmetria 𝑋_𝑘 = 𝑋_−𝑘

modulo e fase uguali

2. Linearità 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) ↔ 𝑍_𝑘 = 𝑎𝑋_𝑘+ 𝑏𝑋_𝑘 Se x(t) e y(t) hanno lo stesso periodo

3. Se x(t) pari 𝑋_𝑘 =_𝑇²

0∫₀^+𝑇02 𝑥(𝑡)cos (2𝜋𝑓₀𝑘𝑡) 𝑑𝑡 Se x(t) dispari 𝑋_𝑘 =^−2𝑗_𝑇

0 ∫₀^+𝑇02 𝑥(𝑡)cos (2𝜋𝑓₀𝑘𝑡) 𝑑𝑡

Treno di impulsi

rettangolari

La funzione rettangolo ripetuta periodicamente è un segnale non reale che però approssima bene segnali con variazioni rapide

𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡) =

{

1 𝑠𝑒 |𝑡| <1 2 0 𝑠𝑒 |𝑡| >1

1 2

2 𝑠𝑒 |𝑡| =1 2

𝑥(𝑡) = ∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( 𝑡 − 𝑛𝑇

₀

𝑇 )

+∞

𝑛=−∞

↔ 𝑋

_𝑘

= 𝑎 𝑇

𝑇

₀

𝑠𝑖𝑛𝑐 ( 𝑘 𝑇 𝑇

₀

)

Funzione sinc Funzione pari che tende a zero per i valori interi di x e vale 1

in zero

𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑥) =

^{𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)}_𝜋𝑥

T è il lato alto del rettangolo mentre T0 è il periodo che intercorre tra ogni rettangolo

TRASFORMATA CONTINUA DI FOURIER: segnali continui aperiodici

Integrale (o trasformata) di Fourier

È l’equivalente della serie di Fourier per segnali aperiodici, ottenuto facendo tendere T0

all’infinito e modificando il coefficiente della serie. Si considera quindi x(t) come se fosse periodico di periodo infinito.

𝑋(𝑘𝑓

₀

) = 𝑋

_𝑘

𝑇

₀

 Se T0 tende all’infinito, f0 tende a zero

Equazione di analisi e di sintesi

𝑥(𝑡) ⇔ 𝑋(𝑓)

𝑥(𝑡) = ∫ 𝑋(𝑓) 𝑒

^{𝑗2𝜋𝑓𝑡}

𝑑𝑓

+∞

−∞

𝑋(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑓𝑡}

𝑑𝑡

+∞

−∞

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖

Spesso al posto della notazione in frequenza si usa la pulsazione 

𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑥(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ 𝑋(𝜔) 𝑒

^𝑗𝜔𝑡

𝑑𝜔

+∞

−∞

𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑒

^{−𝑗𝜔𝑡}

𝑑𝑡

+∞

−∞

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖

 Le due equazioni sono somme infinite di elementi infinitesimi di frequenza variabile sull’asse reale

 X(f) è complesso quindi ha uno spettro di ampiezza e uno spettro di fase Singolo impulso

rettangolare

𝑥(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( 𝑡

𝑇 ) ↔ 𝑋(𝑓) = 𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇) Criterio di

Dirichlet per l’integrale

Anche per la trasformata di Fourier il criterio di Dirichlet fornisce una condizione sufficiente per l’applicabilità:

1. x(t) è assolutamente sommabile

2. x(t) ha un numero finito di discontinuità di prima specie in un intervallo qualsiasi

3. x(t) ha un numero finito di massimi e minimi in un intervallo qualsiasi oppure

una condizione sufficiente per la trasformata di Fourier è che l’energia di x(t) è finita

Proprietà della trasformata

La trasformata o integrale di Fourier ha le seguenti proprietà:

1. Simmetria coniugata 𝑋(𝑓) = 𝑋^∗(−𝑓)

2. Linearità 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) ↔ 𝑍(𝑓) = 𝑎𝑋(𝑓) + 𝑏𝑌(𝑓) 3. Dualità 𝑥(𝑡) ⇔ 𝑋(𝑓)

Teorema del ritardo

La trasformata di un segnale con ritardo t0 è uguale alla trasformata del segnale senza ritardo moltiplicata per un fattore esponenziale

𝑥(𝑡 − 𝑡

₀

) ↔ 𝑋

_𝑟𝑖𝑡

(𝑓) = 𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑓𝑡0}

𝑋

₀

(𝑓)

|𝑋

_𝑟𝑖𝑡

(𝑓)| = |𝑋

₀

(𝑓)|

∡ 𝑋

_𝑟𝑖𝑡

(𝑓) = ∡ 𝑋

₀

(𝑓) − 2𝜋𝑓𝑡

₀

 Xrit trasformata della funzione con ritardo, X0 trasformata della funzione senza ritardo

 Dunque il ritardo ha effetti solo sullo spettro di fase della trasformata e non su quello del modulo

Integrale di

convoluzione 𝑥(𝑡)⨂𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝛼)𝑦(𝑡 − 𝛼)𝑑𝛼 =

+∞

𝛼=−∞

∫ 𝑦(𝛼)𝑥(𝑡 − 𝛼)𝑑𝛼

+∞

o 𝛼=−∞

Graficamente l’integrale di convoluzione in un punto t0 si ottiene intersecando l’area di x(t) con l’area traslata e ribaltata di y(t).

Per determinare tutto il prodotto si ripete l’operazione per ogni punto.

Teorema del prodotto

La trasformata di un prodotto di funzioni nel dominio delle frequenze diventa l’integrale di convoluzione delle due funzioni

𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ 𝑦(𝑡) ↔ 𝑍(𝑓) = 𝑋(𝑓)⨂𝑌(𝑓)

Teorema della

convoluzione

La convoluzione di due funzioni nel dominio del tempo diventa il prodotto delle trasformate nel dominio delle frequenze

𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡)⨂𝑦(𝑡) ↔ 𝑍(𝑓) = 𝑋(𝑓) ∙ 𝑌(𝑓)

 di Dirac

Il  di Dirac è la funzione generalizzata impulsiva. Definiamo un segnale u, con  sufficientemente piccolo. Calcolando la derivata di u e facendo tendere  a zero otteniamo la funzione impulsiva generalizzata  di Dirac.

𝑢𝜀(𝑡) = {

0 𝑠𝑒 𝑡 < 𝜀 1 𝑠𝑒 𝑡 > 𝜀 1

2(1 +𝑡

𝜀) 𝑠𝑒 − 𝜀 ≤ 𝑡 ≤ 𝜀 𝑑𝑢𝜀(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛿𝜀(𝑡) = 1

2𝜀𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑡 2𝜀)

lim

𝜀→0

𝑑𝑢

_𝜀

(𝑡) 𝑑𝑡 = lim

𝜀→0

𝛿

_𝜀

(𝑡) = 𝛿(𝑡)

Proprietà 1. Proprietà campionatrice dell’impulso unitario

Moltiplicando un segnale per il delta di Dirac si ottiene il valore di quel segnale in zero

∫ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡

+∞

−∞

= 𝑥(0) ∫^+∞𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡₀)𝑑𝑡

−∞

= 𝑥(𝑡₀)

2. Trasformata dell’impulso

La trasformata dell’impulso contiene tutte le frequenze e la sua ampiezza vale sempre uno

𝛿(𝑡) ↔ ∆(𝑓) = 1

CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE

Conversione A/D

𝐶𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑧𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

Th. di

campionamento di segnali a banda limitata (Shannon)

Un segnale a banda limitata è un segnale che assume un andamento qualsiasi all’interno di una certa banda di frequenza ma al di fuori di essa è rigorosamente nullo.

Per avere un campionamento senza perdita di informazione la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della banda del segnale. In questo modo le ripetizioni dello spettro del segnale analogico non si sovrappongono e non c’è aliasing.

𝑓

_𝑐

≥ 2𝐵

 In questo modo il segnale si può ricostruire univocamente a partire dal segnale campionato, perch’ non ci sono intervalli di sovrapposizione dello spettro

 Nella realtà non esistono segnali a banda limitata, ma bisogna applicare un filtro che limita la banda

 Il risultato è tanto migliore quanto più il segnale viene sovracampionato rispetto al minimo 2B

Th. di

campionamento di segnali a banda non limitata

Se il segnale non ha banda limitata, prima di campionare si deve applicare un filtro analogico anti-aliasing, con frequenza di taglio minore della metà della frequenza di campionamento

𝑓

_{𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜}

≤ 𝑓

_𝑐

2 𝑓

_{𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜}

= 𝑓

_𝑚𝑎𝑥

 La frequenza di taglio sarà la frequenza massima del segnale (banda)

Frequenza di Nyquist

La frequenza di Nyquist è la minima frequenza a cui si deve campionare in segnale per non avere perdita di informazione nella ricostruzione del segnale.

𝑓

_𝑁

= 2𝑓

_𝑚𝑎𝑥

Aliasing

Il fenomeno dell’aliasing, o equivocazione delle frequenze, si verifica quando un segnale viene campionato ad una frequenza troppo bassa che produce delle sovrapposizioni nello spetto del segnale campionato, rendendo impossibile ricostruire univocamente il segnale.

Per evitare questo fenomeno si usa un filtro anti-aliasing, che è un filtro passa-banda con intervallo (−^𝑓₂^𝑐

;

^𝑓₂^𝑐), che evita che si creino sovrapposizioni nello spettro del segnale campionato.

Quantizzazione

Dopo il campionamento, vanno rese discrete anche le ampiezze reali. Si puo quantizzare in due modi: per troncamento (con errore max pari a q) o per arrotondamento (con errore max pari a q/2).

𝐷 = 𝑛𝑞 𝑛 = 2

^{𝑛 𝑏𝑖𝑡}

D=dinamica (ampiezza max), n=numero livelli, q=ampiezza livello (passo)

 La dinamica del segnale viene suddivisa in n livelli di passo q

 La precisione dipende dal numero di bit a disposizione

 La quantizzazione è un’operazione irreversibile

SEGNALI DIGITALI:

Segnali notevoli

Processi stazionari ergodici

I segnali stazionari ergodici sono segnali con media e varianza costanti, la cui correlazione dipende solo dal ritardo. Inoltre sono ergodici dunque i dati statistici si possono ricavare da un’unica realizzazione del processo.

Sequenza gradino

unitario

𝑢(𝑛) = {1 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 0 0 𝑠𝑒 𝑛 < 0

Sequenza esponenziale

unilatera

𝑥(𝑛) = 𝑎

^𝑛

𝑢(𝑛)

Sequenza delta

𝛿(𝑛) = {1 𝑠𝑒 𝑛 = 0 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖

Relazione impulso-gradino

L’impulso si può ottenere come differenza tra il segnale a gradino e un segnale a gradino traslato di un’unità

𝛿(𝑛) = 𝑢(𝑛) − 𝑢(𝑛 − 1)

Sequenza impulso

rettangolare casuale di durata N

𝛿(𝑛) = 𝑢(𝑛) − 𝑢(𝑛 − 𝑁)

Proprietà

Autocorrelazione polarizzata

L’ACF indica quanto un segnale è uguale a se stesso.

𝑟̂

_𝑘

= 1

𝑁 ∑ (𝑦

_𝑖

− 𝑚 ̂)(𝑦

_𝑖+𝑘

− 𝑚 ̂)

𝑁−𝑘−1

𝑖=0

𝑚 = lim

𝑁→∞

1 𝑁

∑

𝑦_𝑖

𝑁−1

𝑖=0

𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎: 𝑟̂

_𝑘

= 𝑟̂

_−𝑘

 N indica il numero di campioni di x(t), k il numero di volte che si possono traslare per ottenere una sommatoria non nulla

 K negativi si trasla verso destra, k positivi si trasla verso sinistra (i+k)

Autocorrelazione non polarizzata

Si definisce anche una stima della ACF non polarizzata, ovvero una stima che divide i prodotti a distanza k per il numero di prodotti disponibili, anziché per il numero di campioni

𝑟̂

_𝑘

= 1

𝑁 − 𝑘 ∑ (𝑦

_𝑖

− 𝑚 ̂)(𝑦

_𝑖+𝑘

− 𝑚 ̂)

𝑁−𝑘−1

𝑖=0

Funzione di cross-

correlazione (CCF)

La funzione di cross-correlazione considera la correlazione tra due segnali x e y a distanza di k passi di campionamento, ovvero quanto i due segnali sono uguali tra loro. Se vale 1 c’è la massima correlazione positiva, per -1 la massima correlazione negativa e se vale 0 c’è scorrelazione.

𝑅̂

_𝑥𝑦

[𝑘] = 1

𝑁 ∑ 𝑥

_𝑛

𝑦

_𝑛+𝑘

+∞

𝑛=−∞

𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑅̂

_𝑥𝑦

[𝑘] = 1

𝑁 − |𝑘| ∑ 𝑥

_𝑛

𝑦

_𝑛+𝑘

+∞

𝑛=−∞

𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎: 𝑅̂

_𝑥𝑦

= 𝑅̂

_𝑦𝑥

 N numero di campioni nell’unione degli intervalli di x(t) e y(t)

Convoluzione

La convoluzione per due segnali digitali (discreti) si calcola nel seguente modo:

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ⊗ ℎ(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)

+∞

𝑘=−∞

 Si tiene fisso il segnale che ha meno campioni (esplorati con k)

 Graficamente si traccia il grafico di h(k) e quello specchiato di x(-k) e poi si calcola la sommatoria per ogni n facendo traslare il x su h, finchè ci sono dei termini significativi



? ≤ 𝑛 ≤?

si trova guardano quando si può traslare x(-k) ripetto a h(k)

 Poiché l’uscita dei sistemi LTI è una convoluzione tra risposta all’impulso e ingresso, per calcolarla si usa il metodo grafico della convoluzione

 K negativi si trasla verso sinistra, k positivi si trasla verso destra (n-k), invertito rispetto all’ACF perché il segno di k è opposto

TRASFORMATA DI FOURIER A TEMPO DISCRETO (DTFT)

DTFT e DFT

Le DTFT (Discrete Time Fourier Transformation) sono le trasformate di Fourier di segnali a tempo discreto.

Un caso particolare di DTFT è la DFT (Discrete Fourier Transformation), che è la trasformata di un segnale discreto periodico e risulta essere anch’essa discreta. Si può dire che la DFT è la DTFT campionata.

Trasformata di segnali discreti aperiodici (DTFT)

Da un segnale discreto aperiodico si ottiene una trasformata periodica di periodo fc=1/T

𝑥(𝑛) = 𝑇 ∫

⁺

𝑋

_𝑐

(𝑓) 𝑒

^{𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇}

𝑑𝑓

2𝑇1

−1 2𝑇

𝑋

_𝑐

(𝑓) = ∑ 𝑥(𝑛) 𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇}

+∞

𝑛=−∞

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖

 Il pedice c indica che il segnale è già campionato

 T periodo di campionamento

Pettine di Dirac

Il pettine di Dirac è una funzione discreta periodica di periodo T e modulo costante. Si usa spesso per campionare i segnali poiché moltiplicando un segnale continuo per il pettine di Dirac si ottiene un segnale campionato con il periodo del pettine.

𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

+∞

𝑛=−∞

Campionamento:

𝑥_𝑐(𝑡) = 𝑝(𝑡)𝑥(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

+∞

𝑛=−∞

𝑥(𝑛𝑇)

 xc(t) rimane una funzione a tempo continuo in questo caso, anche se dipende solo dai valori che assume in un insieme tempo-discreto di punti!

Trasformate Trasformata del pettine di Dirac:

𝑝(𝑡) ⇔ 𝑃(𝑓) = 1

𝑇

_𝑐

∑ 𝛿(𝑓 − 𝑘𝑓

_𝑐

)

+∞

𝑘=−∞

Trasformata del segnale campionato (DTFT):

𝑥_𝑐(𝑡)

⇔

𝑋_𝑐(𝑓)

= 1

𝑇

_𝑐 ^{∑ 𝑋𝐴(}

𝑓 − 𝑘𝑓

_𝑐)

+∞

𝑘=−∞



I pedici A e C stanno per analogico e campionato, dunque Xc sono i coefficienti del segnale campionato e XA quelli del segnale analogico

 XA si calcola con le equazioni viste precedentemente, a seconda che x(t) sia un segnale analogico continuo periodico o aperiodico



Quindi la trasformata del segnale campionato è uguale alla trasformata del segnale analogico ripetuta infinite volte a multipli della frequenza di campionamento (periodica, poiché il segnale da cui proviene è campionato, quindi discreto)

Trasformata di segnali discreti periodici (DFT)

La trasformata di un segnale discreto periodico è anche detta DFT (Discrete Fourier Transormation) ed è un caso particolare di DTFT discreta.

𝑥(𝑛) = 1

𝑁 ∑ 𝑋

_𝑘

𝑒

^{𝑗2𝜋𝑘𝑁𝑛}

𝑁−1

𝑘=0

𝑋

_𝑘

= ∑ 𝑥(𝑛) 𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑘𝑁𝑛}

𝑁−1

𝑘=0

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖

 T0 è il periodo del segnale mentre Tc il periodo con cui viene campionato

 Per un sequenza x(n) di durata N finita deve esistere un numero finito di campioni in frequenza che la rappresenti in modo univoco (si ottengono N valori nel dominio della frequenza a partire da N valori nel dominio del tempo)

Frequenza e velocità normalizzate

Spesso invece che esprimere la trasformata in funzione della frequenza si usa la frequenza normalizzata, definita come il rapporto tra frequenza e frequenza di campionamento del segnale. La velocità normalizzata invece è la velocità in funzione della frequenza normalizzata.

𝐹 = 𝑓

𝑓

_𝑐

Ω = 2𝜋𝐹

𝐷𝑇𝐹𝑇: 𝑋(𝐹) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒^{−𝑗2𝜋𝑛𝐹}

+∞

𝑛=−∞

𝑋(Ω) = ∑ 𝑥(𝑛) 𝑒^{−𝑗Ω𝑛}

+∞

𝑛=−∞



In funzione della frequenza normalizzata X(F) è periodica di periodo 1, infatti X(f) era periodica di periodo fc e F=f/fc

Trasformata di segnali continui/discreti, periodici/aperiodici

Segnale Coefficienti della trasformata

x(t) continua periodica Xk discreto aperiodico

x(t) continua aperiodica Xk continuo aperiodico

x(t) discreta aperiodica Xk continuo periodico

x(t) discreta periodica Xk discreta periodico

Il tempo continuo implica che la trasformata sia aperiodica Il tempo discreto implica che la trasformata sia periodica

La periodicità implica che la trasformata sia discreta L’aperiodicità implica che la trasformata sia continua

TRASFORMATA Z

Trasformata z

La trasformata z è una generalizzazione della trasformata di Fourier per le sequenze. La trasformata z calcolata sulla circonferenza di raggio unitario coincide con la trasformata di Fourier X().

𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧

^−𝑛

+∞

𝑛=−∞

𝑋(𝑒^𝑗𝜔) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧^{−𝑗𝜔𝑛}

+∞

𝑛=−∞

= 𝑋(𝜔) 𝜔 ∈ [−𝜋, +𝜋]

 In questo caso  è la pulsazione normalizzata, precedentemente indicata con 

 Si tiene conto solo della semicirconferenza superiore

 𝜔 = 𝜋 frequenza di Nyquist

 Sulla semicirconferenza ci sono alcuni punti notevoli:

𝜔 = 0 ↔ 𝑧 = 1 𝜔 =𝜋

2 ↔ 𝑧 = 𝑗 𝜔 = 𝜋 ↔ 𝑧 = −1

Proprietà

La trasformata z di una generica sequenza esiste se la trasformata converge (assumiamo questa ipotesi sempre valida).

Teorema del ritardo

(antitrasformate)

La trasformata di un segnale con un certo ritardo nel tempo è la trasformata del segnale non ritardato moltiplicata per un operatore di ritardo

𝑦(𝑘 − 1) ↔ 𝑍(𝑦(𝑘 − 1)) = 𝑧

⁻¹

𝑌(𝑧) 𝑦(𝑘 − 𝑛

₀

) ↔ 𝑍(𝑦(𝑘 − 𝑛

₀

)) = 𝑧

^−𝑛0

𝑌(𝑧)

 Z^-1 è detto operatore del ritardo unitario

Linearità

ℎ(𝑛) = 𝑎𝑥(𝑛) + 𝑏𝑦(𝑛) ↔ 𝐻(𝑧) = 𝑎𝑋(𝑧) + 𝑏𝑌(𝑧)

Convoluzione Il prodotto di convoluzione nel dominio della trasformata z è il

prodotto delle due trasformate

𝑍(𝑥(𝑛) ⊗ 𝑦(𝑛)) = 𝑋(𝑧) ∙ 𝑌(𝑧)

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

Proprietà

I sistemi a tempo discreto possono essere:

 Lineari: se vale il principio di sovrapposizione degli effetti

 Stabili: se ad ogni ingresso limitato corrisponde un’uscita limitata

 Causali: se l’uscita al tempo n0 dipende solo dagli ingressi xn fino al tempo n0 e non dagli ingressi futuri

Sistemi LTI

I sistemi LTI sono sistemi lineari tempo invarianti, per i quali quindi vale il principio di sovrapposizione degli effetti e che non dipendono esplicitamente dal tempo.

Si distinguono due tipi di sistemi LTI:

 FIR (finite impulse response): se h(n) ha un numero finito di impulsi

 IIR (infinite impulse response): se h(n) ha un numero infinito di impulsi

In un sistema LTI, ad ogni ingresso x(n) corrisponde un’uscita y(n)

𝑥(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)𝛿(𝑛 − 𝑘)

+∞

𝑘=−∞

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘)

+∞

𝑘=−∞

Uscita del

sistema

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘)

+∞

𝑘=−∞

= ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)

+∞

𝑘=−∞

Blocchi in serie

Due blocchi in serie sono equivalenti ad un blocco che è il prodotto degli altri due

ℎ(𝑛) = ℎ

₁

(𝑛) ∙ ℎ

₂

(𝑛)

Blocchi in

parallelo

Due blocchi in parallelo sono equivalenti ad un blocco che è la somma degli altri due

ℎ(𝑛) = ℎ

₁

(𝑛) + ℎ

₂

(𝑛)

Proprietà 1. Stabilità

Un sistema LTI è stabile solo se il modulo di h(n) è limitato Condizione sufficiente: y(n) limitata

Condizione necessaria: x(n) limitata 2. Causalità

Un sistema LTI è causale se h(n)=0 per n<0, altrimenti si dice anticausale

 I sistemi FIR sono sempre stabili poiché h(n) ha un numero finito di campioni

Sistema ritardatore

I sistemi ritardatori sono sistemi LTI che ritardano l’ingresso di una quantità n0

ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛 − 𝑛

₀

) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 𝑛

₀

) Sistema a media

mobile

I sistemi a media mobile sono sistemi LTI che danno in uscita la media aritmetica del segnale in ingresso

ℎ(𝑛) = 1

𝑁 ∑ 𝛿(𝑛 − 𝑘)

𝑁−1

𝑘=0

𝑦(𝑛) = 1

𝑁 ∑ 𝑥(𝑛 − 𝑟)

𝑁−1

𝑟=0

Sistema integratore

I sistemi integratori sono sistemi LTI che integrano il segnale in ingresso

ℎ(𝑛) = 𝑢(𝑛) = {1 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 0 0 𝑠𝑒 𝑛 < 0 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)

𝑛

𝑘=−∞

Sistema derivatore

I sistemi derivatori sono sistemi LTI che derivano il segnale in ingresso

ℎ(𝑛) = 𝛿(𝑛) − 𝛿(𝑛 − 1) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) − 𝑥(𝑛 − 1) Funzione di

trasferimento H(z)

La funzione di trasferimento di un sistema LTI è la trasformata z di h(n) del blocco, ovvero il rapporto delle trasformate di uscita e ingresso del sistema. I valori che annullano il numeratore della FdT sono detti zeri del sistema (M), mentre quelli che annullano il denominatore poli (N).

𝐻(𝑧) = 𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧) = ∏

^𝑀_𝑘=1

(1 − 𝑧

_𝑘

𝑧

⁻¹

)

∏

^𝑁_𝑘=1

(1 − 𝑝

_𝑘

𝑧

⁻¹

)

Stabilità

Un sistema LTI è stabile se e solo se tutti i poli del sistema si trovano all’interno della circonferenza di raggio unitario nel piano di Gauss.

|𝑝

_𝑘

| < 1

Un sistema LTI è semplicemente stabile se ci sono dei poli sulla circonferenza di raggio unitario ma non sovrapposti.

|𝑝

_𝑘

| = 1 𝑛𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑖

Un sistema LTI è instabile se i poli si trovano al di fuori della circonferenza di raggio unitario oppure sono sulla circonferenza e sono sovrapposti.

|𝑝

_𝑘

| > 1 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 |𝑝

_𝑘

| = 1 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖

 La frontiera della circonferenza unitaria rappresenta il luogo della risposta in frequenza 𝑒^𝑗𝜔

Equazione alle differenze

A partire dalla FdT di un sistema e antitrasformandola si ottiene l’equazione alle differenze, ovvero un’equazione che esprime l’uscita y(n) in funzione delle uscite e degli ingressi passati

𝑌(𝑧) = [1 − 𝑎 𝑧

⁻¹

]𝑋(𝑧)

^ℑ

→ 𝑦(𝑛) = 𝑎 𝑦(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛)

⁻¹

∑ 𝑎

_𝑘

𝑦(𝑛 − 𝑘) =

𝑁

𝑘=0

∑ 𝑏

_𝑘

𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

Risposta

all’impulso h(n)

Un sistema LTI si può caratterizzare anche tramite la sua risposta all’impulso, che è il segnale più semplice che si può dare in ingresso al sistema

𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛) 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 → 𝑦(𝑛) = ℎ(𝑛) 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑙

^′

𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜

 La risposta all’impulso si trova facilmente applicando l’equazione alle differenze, ricordando che l’impulso è nullo per tutti i valori diversi dall’origine

 La risposta all’impulso si considera nulla per tutti i valori negativi

Risposta in frequenza H(f)

La risposta in frequenza di un sistema si può vedere come la trasformata di Fourier della funzione del sistema h(n) oppure come trasformata z della FdT considerata sulla circonferenza di raggio unitario 𝑒^𝑗𝜔. Permette di calcolare in modo immediato l’uscita del sistema quando l’ingresso è una sinusoide o un esponenziale complesso, tramite modulo e fase.

𝑥(𝑛) = 𝑒

^{𝑗2𝜋𝐹𝑛}

𝐻(𝐹) = ∑ ℎ(𝑘)𝑒

^{−𝑗2𝜋𝑘𝐹}

+∞

𝑘=−∞

→ 𝑦(𝑛) = |𝐻(𝑓)| 𝑒

^{𝑗∡𝐻(𝑓)}

𝑒

^{𝑗2𝜋𝐹𝑛}

 F frequenza normalizzata

Ritardo di fase Il ritardo di fase  è la variazione di fase che il segnale subisce nell’attraversare il sistema LTI. Se il sistema è lineare il ritardo di fase è costante, mentre in generale è una funzione della frequenza.

𝜏

_𝑓

(𝐹) = − ∡𝐻(𝑓) 2𝜋𝐹 Relazione tra

DFT, X(z), X(F)

^{𝑋𝑘 = ∑ 𝑥(𝑛) 𝑒−𝑗2𝜋𝑘}

𝑛 𝑁 𝑁−1

𝑘=0

𝑋(𝐹) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒^{−𝑗2𝜋𝑛𝐹}

+∞

𝑛=−∞

𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧^−𝑛

+∞

𝑛=−∞

I valori della DFT coincidono con campioni equispaziati tra 0 e 1 della variabile F 𝑋_𝑘 = 𝑋(𝐹) |

𝐹 =𝑘 𝑁

I valori della DFT coincidono con campioni equispaziati sulla circonferenza di raggio unitario nel dominio z

𝑋_𝑘 = 𝑋(𝑧) |

𝑧 = 𝑒^{𝑗2𝜋𝑘𝑁}

X(F) coincide con la trasformata z calcolata sulla circonferenza di raggio unitario 𝑋(𝐹) = 𝑋(𝑧) |

𝑧 = 𝑒^{𝑗2𝜋𝐹}

Zero padding

Lo zero padding è un’operazione che prevede di aggiungere alla sequenza x(n) di lunghezza N degli zeri, per aumentare il numero di campioni.

Questo permette di diminuire il periodo della DFT e quindi avere una trasformata più fitta (anche se la forma della trasformata non cambia!)

𝑋_𝑘 = 𝑋(𝑓) |

𝑓 =_𝑁^𝑘𝑓_𝑐

Un sistema LTI si può caratterizzare tramite queste tre quantità, tra loro equivalenti:

1. H(z) funzione di trasferimento del sistema 2. h(n) risposta all’impulso

3. H(f) risposta in frequenza

FILTRI NUMERICI

Filtri ideali

I filtri numerici sono sistemi LTI che modificano il contenuto in frequenza di un segnale e possono migliorare il rapporto segnale-rumore. I filtri ideali tagliano il contenuto in frequenza di un segnale in modo netto, senza banda di transizione.

Filtro passa-basso

Fa passare tutte le frequenze minori della frequenza di taglio e arresta quelle superiori

 Il filtro anti-aliasing è un tipo di filtro passa-basso, perché elimina il contenuto in frequenza dopo una certa frequenza Filtro passa-alto

Fa passare tutte le frequenze maggiori della frequenza di taglio e arresta quelle inferiori

Filtro passa- banda

Fa passare solo le frequenze all’interno dell’intervallo di taglio

Filtro arresta-

banda Fa passare solo le frequenze all’esterno dell’intervallo di taglio ed elimina quelle comprese nell’intervallo

Filtro notch

Elimina solo una determinata frequenza fx

Filtri reali

Nei filtri reali vi è una banda di transizione, in corrispondenza della quale la frequenza viene modificata gradatamente e non in modo istantaneo.

 Nei filtri reali le frequenze eliminate non vengono mai azzerate del tutto e quelle che vengono fatte passare vengono leggermente modificate (ci sono delle oscillazioni)

 Generalmente con i filtri reali (ad esempio anti-aliasing reali) si considera una frequenza di taglio più alta di quella teorica, altrimenti la banda di transizione inizierebbe a modificare il segnale prima della frequenza voluta

𝑓

_{𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜}

> 𝑓

_𝑥

Filtri FIR

I filtri FIR sono sistemi LTI la cui funzione h(n) ha un numero finito di campioni M.

Caratterizzazione filtri FIR

Equazione alle differenze:

𝑦(𝑛) = 𝑏

₀

𝑥(𝑛) + 𝑏

₁

𝑥(𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑏

_𝑛

𝑥(𝑛 − 𝑀)

Funzione di trasferimento:

𝐻(𝑧) = 𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧) = 𝑏

₀

𝑧

^𝑛

+ 𝑏

₁

𝑧

^𝑛−1

+ ⋯ + 𝑏

_𝑛

𝑧

^𝑛

 Dall’equazione alle differenze si ricava anche la risposta all’impulso h(n)

 Dall’equazione di y(n) si nota che l’uscita è una somma pesata di M+1 campioni dell’ingresso, dunque h(n) è una serie di coefficienti bk che moltiplicano gli ingressi

Media mobile

𝑏

_𝑘

= 1 𝑛 + 1

Stabilità La condizione per la stabilità di un sistema è che h(k) converga.

Guardando però la FdT del sistema notiamo che i poli sono tutti nell’origine, dunque all’interno della circonferenza di raggio unitario. Si conclude che i filtri FIR sono SEMPRE STABILI

Causalità Un filtro è causale se l’uscita del sistema dipende solo dagli istanti precedenti. Tale condizione equivale a dire che h(n) vale zero per tutti gli n negativi

ℎ(𝑛) = 0 ∀𝑛 < 0

Nella trasformata z tale condizione per la causalità si traduce in:

#𝑝𝑜𝑙𝑖 ≥ #𝑧𝑒𝑟𝑖

Fase lineare e

ritardo di fase

I filtri FIR sono filtri a fase lineare, come si dimostra da alcune proprietà di simmetria (vedi sotto), ovvero filtri in cui la fase è multipla di 2. La costante k è il ritardo di fase

∡𝐻(𝑓) = −2𝜋𝑘𝐹 𝑘 = 𝑁 − 1 2

 F frequenza normalizzata

Simmetria Analizzando le diverse proprietà di simmetria che si possono presentare si dimostra che i filtri FIR sono filtri a fase lineare con un ritardo di fase k, uguale in tutti i casi:

- Simmetria con N pari - Simmetria con N dispari - Anti-simmetria con N pari - Anti-simmetria con N dispari

Calcolando H(F) infatti si ottiene un numero REALE, ciò significa che la fase è un multiplo di 2 e H(F) nel piano di Gauss si trova sempre sull’asse dei reali.

Progetto di filtri FIR

Esistono 3 diversi metodi per la progettazione dei filtri FIR:

Metodo della finestra temporale (studiare bene!)

Il metodo della finestra temporale consiste nel moltiplicare la risposta all’impulso di durata infinita per una finestra wR(k) di durata finita.

ℎ(𝑘) = ℎ

_𝑑

(𝑘) ∙ 𝑤

_𝑅

(𝑘) → 𝐻(𝑓) = 𝐻

_𝑑

(𝑓)⨂𝑊

_𝑅

(𝑓)

 Hd(f) trasformata del filtro ideale passa-banda, hd(k) risposta all’impulso del filtro ideale passa-banda, wR(k) finestra finita, H(f) trasformata del filtro FIR ottenuto

 Nel dominio delle frequenze si fa il prodotto di convoluzione tra segnale e finestra

N.B.

 Tanto più la finestra rettangolare è stretta nel tempo, quanto più è largo il lobo principale nelle frequenze (serve più larga o più stretta in base a cosa deve fare il filtro)

 La banda di transizione del filtro reale è pari alla larghezza del lobo principale nelle frequenze

 Le finestre più usate sono quella rettangolare e le finestre di Kaiser, Blackman e Chebyshev. La finestra rettangolare è quella che presenta il lobo principale nelle frequenze più stretto

 Se si una usa una finestra rettangolare c’è un certo ripple (oscillazioni) dovute al brusco troncamento della finestra.

Usando altre finestre senza brusche variazioni alle estremità diminuisce il ripple ma si ha un lobo principale più alto, quindi anche una banda di transizione più larga

Metodo del campionamento in frequenza (solo concetto)

Il metodo di campionamento in frequenza consiste nel campionare in alcuni punti N equidistanti un filtro passa-basso ideale (continuo).

Il filtro avrà le caratteristiche del filtro ideale nei punti di campionamento, mentre negli altri punti ci saranno degli errori.

𝐻_𝑘 = 𝐻^∞(𝐹) | 𝐹 = 𝐾

𝑁𝑇

 Si può diminuire il ripple campionando un segnale reale invece che ideale, ammettendo anche la banda di transizione (il ripple infatti è dovuto ai cambiamenti bruschi del filtro)

Metodo equiripple (solo concetto)

Il metodo equiripple si basa su algoritmi a 5 parametri che, dati 3 parametri, permettono di ricavare gli altri due. Si impone un ripple uniforme, controllando le tolleranze della banda passante e oscura, permettendo così un miglior controllo.

 I due algoritmi sono l’algoritmo di Parks-McClella (che fornisce le tolleranze dati gli altri 3 parametri) e l’algoritmo di Hofstetter-Oppenheim (che fornisce le pulsazioni dati gli altri 3 parametri)

 I 5 parametri sono il numero di coefficienti M, le due tolleranze prima e dopo del taglio, la pulsazione di taglio e la pulsazione di transizione

Filtri IIR

Rispetto ai filtri FIR offrono una banda di transizione e un’attenuazione migliore, ma non sempre sono a fase lineare e non sempre sono stabili.

Grafici dei filtri

Piano di Gauss

Data la FdT di un filtro, si tracciano poli e zeri nel piano di Gauss e si confronta la loro posizione con la circonferenza di raggio unitario.

 Il filtro è stabile se tutte le singolarità sono all’interno della circonferenza

 Il filtro è causale se n_poli  n_zeri

 Nel piano di Gauss la frequenza di Nyquist coincide con 𝜔 = 𝜋 e la metà della frequenza di Nyquist con 𝜔 =^𝜋

 Il filtro è un FIR solo se tutti i poli sono nell’origine; se ci sono del poli al di fuori 2

dell’origine è IIR

Diagramma del modulo

(frequenza)

Il diagramma del modulo si traccia in funzione della frequenza. Per tracciarlo qualitativamente si calcolano i valori del modulo della FdT nei punti notevoli.

𝐻(𝑓) = 𝐻(𝑧) |

𝑧 = 𝑒

^𝑗𝜔

Generalmente si calcola H(f) per i seguenti punti 𝜔 = 0 ↔ 𝑧 = 1 → 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒 𝜔 =𝜋

2 ↔ 𝑧 = 𝑗 → 𝑓_𝑁 2 𝜔 = 𝜋 ↔ 𝑧 = −1 → 𝑓_𝑁

 Nel piano di Gauss la frequenza di Nyquist coincide con 𝜔 = 𝜋 e la metà della frequenza di Nyquist con 𝜔 =^𝜋

2 ; nel diagramma del modulo la frequenza di Nyquist coincide con la fine della banda (dove il modulo viene tagliato), dunque in corrispondenza di essa il modulo è sempre nullo.

 I poli più vicini alla circonferenza nel piano di Gauss corrispondono ai picchi più alti nel diagramma del modulo; la posizione nella circonferenza (angolo) invece dipende dalla frequenza a cui si trovano

Grafici dei filtri più usati

Filtro passa-basso Filtro passa-alto

Filtro passa-banda Filtro notch

Filtro a media sincrona

Radici complesse di potenze per trovare poli e zeri 𝑧^𝑛 → 𝑧 = cos (2𝜋𝑘

𝑛 ) + 𝑗 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘 𝑛 ) 𝑘 = 0, … , 𝑛 − 1

DETEZIONE DI EVENTI

Detezione di un evento

La detezione di un evento è un metodo per quantificare l'abilità di distinguere, in un segnale, il segnale vero e proprio portatore di informazioni dal rumore ed individuare all’interno del segnale le epoche che corrispondono a determinati processi fisiologici (ad esempio le onde PQRST in un tracciato ECG).

Con epoca si intende una porzione del segnale che contiene l’evento di interesse, mentre con evento una parte del segnale caratterizzata da una certa ampiezza, frequenza, morfologia, ecc…

Generalmente per fare la detezione si individua anche un punto fiduciario del segnale, che individua in modo preciso la posizione temporale dell’evento cercato e limita gli errori di posizione.

Metodi per la detezione di eventi

Esistono tre diversi modi per la detezione di un evento:

1. Detezione basata sul contenuto in frequenza 2. Detezione con template, che si può ottenere con:

a. Distanza

b. Calcolo cross-correlazione c. Filtro matched

3. Detezione basata su media sincrona Detezione basata

sul contenuto in frequenza

Se l’evento che si vuole analizzare ha un contenuto in frequenza ben distinto dal resto del segnale e dal rumore si può usare un filtro che individui quella determinata frequenza. Per estrarre il contenuto in frequenza desiderato si può usare un filtro derivatore oppure degli algoritmi appropriati.

 Filtro derivatore

Quando si vogliono estrarre eventi caratterizzati da una frequenza più alta rispetto al filtro del segnale si può usare un filtro derivatore, perché la derivata di quell’evento è maggiore rispetto a tutto il resto (es: complesso QRS).

Il filtro derivatore amplifica l’evento cercato, che si può poi riconoscere tramite una soglia.

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) − 𝑥(𝑛 − 1) 𝐻(𝑧) = 𝑧 − 1 𝑧

Il polo nell’origine annulla le basse frequenze, mentre le alte frequenze vengono amplificate

 Algoritmo di Pan-Tompkins per il QRS

È un algoritmo per individuare il complesso QRS, che ha una frequenza più elevata del resto del segnale. Questo algoritmo prevede di far passare il segnale per un filtro passa-banda, uno derivatore, un operatore di quadratura e di nuovo un filtro a media mobile. A questo punto il segnale viene confrontato con una soglia e vale 1 dove supera la soglia (punto in cui c’è l’evento cercato) ed è nullo altrimenti.

Detezione con template

Il template è un particolare tipo di onda con una morfologia arbitraria, che viene fatto scorrere lungo il segnale per individuare i punti che presentano la stessa morfologia.

Esistono 3 diversi modi per fare la detezione con template:

1. Distanza segnale-template

Si misurano tutte le distanze (in modulo) tra punti corrispondenti del segnale e del template e si traccia un grafico delle distanze. Il segnale è simile al template nei punti in cui le distanze tra i punti risultano minime.

Si può anche utilizzare un equalizzatore per far si che vengano considerati anche i punti in cui il segnale si discosta molto poco dal template.

Bisogna però stare attenti che il segnale non sia traslato verso l’alto rispetto al template, altrimenti si applica un filtro derivatore.

2. Cross-correlazione normalizzata

La cross-correlazione è la misura di quanto un segnale è simile a se stesso, quindi la cross-correlazione tra segnale e template sarà massima in modulo dove il segnale e il template sono simili.

3. Filtro matched

Un filtro matched è un filtro FIR le cui caratteristiche sono le stesse del template cercato ma specchiato, dunque facendo passare il segnale attraverso il filtro matched l’uscita presenterà dei picchi in corrispondenza dell’evento cercato.

L’evento cercato però non sarà nella posizione del picco ma bisogna considerare un ritardo di N-1 (che va sottratto alla posizione del picco)

ℎ(𝑛) = 𝑤(𝑁 − 1 − 𝑛)

dove h(n) è la risposta all’impulso del filtro matched e w(n) è il template; il filtro quindi corrisponde al template capovolto e traslato di una quantità N-1

 Detezione di Van-Bemmel dell’onda P

È un algoritmo che permette di riconoscere l’onda P del tracciato ECG. Consiste nel sostituire il complesso QRS con un tratto rettilineo, far passare il segnale attraverso un filtro passa- banda, poi rettificarlo e quantizzarlo in tre livelli. Infine si usa la detezione con template e la cross-correlazione per individuare l’onda P.

Detezione basata su media

sincrona

Metodo molto utilizzato con i potenziali evocati (PE), ovvero la risposta elettrica a stimoli sensoriali che vengono poi confrontate con le risposte fisiologiche. Non si usa la detezione in frequenza per isolare e analizzare gli stimoli poiché le frequenze dei PE sono generalmente sovrapposte al resto del segnale (es: EEG).

I potenziali evocati si possono caratterizzare in base all’ampiezza o alla latenza (precoci, intermedi, lenti). Gli stimoli che vengono creati invece possono essere acustici, visivi o somatosensoriali.

Per la detezione con media sincrona si inviano N stimoli e si divide il segnale in N parti. Per analizzare il PE bisogna togliere il rumore (in questo caso il resto dell’EEG stesso).

Ipotesi per applicare il metodo della media sincrona:

1. Additività tra segnale deterministico evocato dallo stimolo e rumore 𝑥_𝑖(𝑛) = 𝑠(𝑛) + 𝑟_𝑖(𝑛)

2. Stimolo sempre uguale ad ogni ripetizione

3. Il rumore è un rumore bianco, ovvero un processo causale, stazionario, scorrelato, a media nulla e varianza ²

In questo caso quando si parla di segnale si intende lo stimolo inviato, mentre il resto del segnale fisiologico da eliminare è il rumore.

Si può allora stimare la risposta allo stimolo come la somma tra il segnale deterministico evocato s e la media del rumore di fondo:

𝑠̂ = 1

𝑁 ∑ 𝑥

_𝑖

(𝑛)

𝑁

𝑖=1

= 𝑠 + 1

𝑁 ∑ 𝑟

_𝑖

(𝑛)

𝑁

𝑖=1

𝑠̂

è uno stimatore consistente perché il suo valore atteso tende al valore del segnale per N che tende ad infinito e la sua varianza tende a zero.

SNR: Rapporto Segnale-Rumore

 SNR calcolato su una singola ripetizione

𝑆𝑁𝑅

_𝑥𝑖

= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑎𝑙𝑒

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑢𝑚𝑜𝑟𝑒 = 𝐸[𝑠

²

(𝑛)]

𝜎

²

 SNR calcolato su una N ripetizioni

𝑆𝑁𝑅

_𝑁𝑥𝑖

= 𝑁 ∙ 𝑆𝑁𝑅

_𝑥𝑖

L’SNR migliora quando si calcola su N ripetizioni. N deve essere un numero naturale perché rappresenta il numero di ripetizioni! (se si ottiene da un calcolo si arrotonda all’intero successivo)

VALUTAZIONE DI UN RICONOSCITORE

Riconoscitori

I riconoscitori sono dei valori risultanti da test che indicano la presenza o l’assenza di una malattia. Un paziente è malato quando risulta positivo al test e sano quando è negativo.

Per distinguere tra positivi e negativi si fissa valore soglia del riconoscitore.

Matrice di confusione

I test però possono dare anche dei falsi positivi e dei falsi negativi: attraverso la matrice di confusione si ottiene una rappresentazione schematica dei risultati del test.

A seconda del tipo di test sarà più pericoloso avere dei falsi positivi o dei falsi negativi.

Indici di bontà

Esistono delle quantità che indicano quanto un test è affidabile:

 Sensibilità: misura quanti positivi (malati) il test riconosce correttamente

𝑠𝑒𝑛𝑠 = 𝑇𝑃 𝑇𝑃 + 𝐹𝑁

 Specificità: misura quanti negativi (sani) il test riconosce correttamente

𝑠𝑝𝑒𝑐 = 𝑇𝑁

𝑇𝑁 + 𝐹𝑃

 Accuratezza: misura quanti pazienti il test riconosce correttamente

𝑎𝑐𝑐 = 𝑇𝑃 + 𝑇𝑁 𝑁 Curva ROC

La curva ROC rappresenta la relazione tra sensibilità e 1-specificità al variare della soglia del riconoscitore.

Il riconoscitore è tanto migliore quanto più si allontana dalla bisettrice, quindi quanto più l’area sottesa (AUC) è grande.

ANALISI SPETTRALE

Spettri

L’analisi spettrale è un processo tramite il quale si stima il contenuto di energia e potenza di un segnale in funzione della frequenza.

Si definiscono i seguenti spettri:

 Spettro di energia: grafico che descrive l’ampiezza quadratica delle componenti armoniche di un segnale associato ad un processo deterministico

 Spettro di potenza: grafico che descrive l’ampiezza quadratica media delle componenti armoniche di un segnale associato ad un processo stocastico stazionario

Spettro di energia

Si definisce allora spettro di energia il quadrato della trasformata di Fourier. Lo spettro di energia rappresenta l’energia per unità di frequenza.

𝑆

_𝐸,𝑦

(Ω) = |𝑌(Ω)

²

|

Teorema di

Parseval

L’energia di un segnale nel tempo è uguale all’energia della sua trasformata di Fourier

𝐸

_𝑦

= ∫

^+∞

|𝑦(𝑡)

²

|𝑑𝑡

−∞

= 1

2𝜋 ∫ |𝑌(Ω)

^{+∞ 2}

|𝑑Ω

−∞

 Per segnali campionati il teorema è analogo ma con una sommatoria anziché l’integrale (DTFT), con  pulsazione normalizzata

𝐸

_𝑦

= ∑ |𝑦(𝑛)

²

|

+∞

𝑛=−∞

= 1

2𝜋 ∫ |𝑌(𝜔)

^{2𝜋 2}

|𝑑𝜔

0

𝑆

_𝐸,𝑦

(𝜔) = |𝑌(𝜔)

²

| Spettro di

potenza (PSD)

Applicando il teorema di Parseval per processi stocastici stazionari ergodici a media nulla si ottiene invece lo spettro di potenza. Lo spettro di potenza rappresenta la potenza per unità di frequenza.

𝑆

_𝑃,𝑦

(𝜔) = lim

𝑁→∞

|𝑌(𝜔)

²

| 2𝑁 + 1

Teorema di

Wiener- Khinchin

Lo spettro di potenza di un processo stocastico stazionario è dato dalla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione

𝑆

_𝑃,𝑦

(𝜔) = 𝐷𝑇𝐹𝑇{𝑟

_𝑦

(𝑘)} = ∑ 𝑟

_𝑦

(𝑘)𝑒

^{−𝑗𝜔𝑘}

+∞

𝑘=−∞

𝑟

_𝑦

(𝑘) = 𝐷𝑇𝐹𝑇

⁻¹

{𝑆(𝜔)} = 1

2𝜋 ∫ 𝑆(𝜔)𝑒

^𝑗𝜔𝑘

𝑑𝜔

2𝜋 0

 La ACF si stima come

𝑟̂

_𝑘

=

_𝑁¹

∑

^{𝑁−𝑘−1}_𝑖=0

𝑦

_𝑖

∙ 𝑦

_𝑖+𝑘 Stima dello

spettro di potenza

Applicando il teorema di Parseval si può allora stimare lo spettro di potenza

𝑟

_𝑦

(0) = 𝑃

_𝑦