LAUREA IN CHIMICA E CHIMICA INDUSTRIALE Istituzioni di Matematiche - Seconda Parte
Quarto appello 2007/2008 — 9 settembre 2008
Esercizio 1. (Corso 2007-2008) Determinare la soluzione dell’equazione differenziale y00− 3y0+ 2y = 0
con condizioni iniziali y(0) = 1, y0(0) = −1.
Esercizio 1’. (Corso 2006-2007) Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema x+ y + z = 1 , x+ y + kz = 1 , 2x + ky + z = 1
ha soluzioni, e specificare quante esse sono.
Esercizio 2. Calcolare Z
D
xy e−(x2+y2)2dxdy
ove D `e il dominio definito dalle disuguaglianze x ≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2 ≤ 1. (Sugg: passare a coordinate polari).
Esercizio 3. Si consideri la funzione
f(x, y) =√xy e−(x2+y2).
(a) Indicare il dominio nel quale essa `e definita e quello nel quale essa `e differenziabile.
(b) Determinarne i punti critici (nel dominio di differenziabilit`a, ovviamente).
(c) Stabilire se i punti critici sono massimi o minimi relativi o selle. (Suggerimenti per semplificare i conti: 1) Sfruttare la simmetria. 2) Nel calcolo delle derivate seconde, si osservi che si ha fx0 = gf con una certa funzione g(x, y); allora fxx00 = g0xf + gfx0 = (g2+ gx0)f ; etc.)
Esercizio 4.
(a) Scrivere la formula di Taylor al II ordine con punto iniziale (x0, y0) per una funzione f : R2→ R.
Sotto quali ipotesi su f essa `e vera?
(b) Quali relazioni intercorrono fra la continuit`a, l’esistenza di derivate parziali, l’esistenza di derivate parziali continue, e la differenziabilit`a di una funzione f : R2→ R?
• Scrivere IN MODO LEGGIBILE nome e cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato.
• Consegnare solo la bella. Cancellare in modo chiaro ogni pezzo che non deve essere valutato.
• Sulla bella svolgere gli esercizi in ordine, indicare con chiarezza i numeri degli esercizi ed indicare con chiarezza gli esercizi non svolti.
• Non `e permesso parlare con i compagni, comunicare con l’esterno, consultare libri e materiale non autorizzato, uscire dall’aula (a meno che ci si ritiri).
• Potete rivolgere domande ai docenti solo relativamente a questioni interpretative.
• Se volete ritirarvi potete farlo in qualunque momento, riconsegnando tutti i fogli ricevuti.
• Svolgere l’es. 4 solo dopo aver svolto i primi 3. Esso non verr`a valutato se i primi tre non sono circa sufficienti.
