FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 2007/2008 Appello straordinario del 28 maggio 2008

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 2007/2008

1) Un corpo di massa m = 40 g, fissato ad una fune di lunghezza L = 1m si muove di moto circolare (in senso antiorario) uniforme su di un piano orizzontale privo di attrito e la tensione T della fune vale 6.31 N .

Calcolare:

a) il numero di giri compiuti in un secondo;

b) sapendo che la fune si spezza nel punto A = (l m , 0), calcolare la posizione del corpo dopo un tempo t = 4 s dall’istante in cui la fune si è spezzata.

2) Un recipiente cilindrico, alto H = 2 m e del diametro d = 2 m poggia a terra ed ha un forellino circolare ad una altezza h = 0.5 m dal suolo. Il rapporto fra le velocità dell’acqua alla superficie libera del recipiente, V, e quella all’uscita dal forellino, v, V/v è pari a 10^{– 4} .

Supponendo l’acqua un fluido ideale , in moto stazionario e irrotazionale, si determini:

a) il raggio del forellino.

b) la velocità iniziale di deflusso dell’acqua dal forellino, facendo le opportune approssimazioni.

3) Una mole di un gas ideale monoatomico compie la seguente trasformazione ciclica:

A → B: trasformazione isocora da pressione pA = 1 atm e volume VA = 1 litro a pB = 2 atm;

B → C: trasformazione con variazione lineare della pressione con il volume, fino allo stato C con pressione pC = 1 atm e volume VC = 2 VA;

C → A: compressione isobara.

a) Si disegni nel piano (p,V) la trasformazione termodinamica, indicandone il verso di percorrenza, e si calcolino le temperature degli stati A, B e C;

b) Si calcolino calore, lavoro e variazione di energia interna per le tre trasformazioni precedenti e per l’intero ciclo.

(N.B. R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol)

4) Una lamina verticale di estensione infinita viene caricata positivamente con densità di carica σ = 2 10^-9 C/m². Alla lamina viene unita una molla di costante elastica k = 1000 N/m, fissata perpendicolarmente alla lamina.

Alla molla viene quindi attaccata una carica positiva Q. Supponendo di trascurare il peso della carica, determinare:

a) modulo, direzione e verso del campo elettrico prodotto dalla lamina;

b) il valore della carica Q tale che l’estensione della molla sia pari ad x = 1 cm.

(N.B. ε0 = 8.85 10^-12 C²/Nm² )

SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.

SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)

O A x

y

O A x

y

O A x

y

Soluzione Esercizio 1

a) La tensione della fune è la forza centripeta che mantiene il corpo lungo la traiettoria circolare e vale in modulo: T = m v² / L e pertanto v = √ T L/m. Sostituendo i valori numerici risulta v= 12.56 m/s Poiché un giro corrisponde alla lunghezza dell’intera circonferenza , cioè 6.28 m, il numero di giri fatti in 1 secondo è 2.

b) Quando la fune si spezza la particella non soggetta a forze si muove con velocità costante , nella direzione della tangente alla circonferenza in A e quindi parallelamente all’asse y. All’istante t=4s si trova quindi nel punto B= (1m, 50.24m ).

Soluzione Esercizio 2

a) La portata volumetrica dell’acqua si conserva e pertanto V • S = v • s, dove S è l’area della superficie libera del recipiente che ha raggio R e s è l’area del forellino che ha raggio r. Pertanto V• πR² = v • πr² , (r/R)² =V/v , e quindi r/R = 10^-2 , pertanto r=1 cm.

b) Applicando il teorma di Bernoulli a due punti situati rispettivamente sulla superficie libera dell’acqua nel recipiente e nel forellino , si ha :

p atmo + ½ ρ V² + ρ g H = p atmo + ½ ρ v² + ρg h , dove H è l’altezza dell’acqua nel recipiente, h quella del forellino e ρ è la densità dell’acqua

Poichè V << v si ricava : v = √2 g ( H-h) =5.4 m/s

Soluzione Esercizio 3

a) Le temperature degli stati A, B e C possono essere ricavate applicando l’equazione di stato dei gas perfetti.

pV =nRT sapendo che:

pA= 1×10⁵ N/m², VA= 10⁻³ m³; p_B= 2 x10⁵ N/m², V_B= 10⁻³ m³; pC= 1 x10⁵ N/m², VC= 2x10⁻³ m³.

TA = pAVA/nR

= (1×10⁵ N/m²) (10⁻³ m³) / (1 moli ×8.31 J/K mole) = 12.03 K TB = pBVB/nR =2 pAVA/nR = 2TA = 24.06 K

TC = pCVC/nR = 2 pAVA/nR = 2TA = 24.06 K

b) Trasformazione A → B: W = 0

Q = ncv ∆T = 3/2 R (TB-TA) = 3/2 R TA = 149.95 J ∆Eint = Q = 149.95 J

Trasformazione B→ C: ∆Eint = 0 (dato che TB = TC)

Q = W = (p_B + p_A) x (V_B-V_A)/2 = 3p_A V_A/2 = 3/2 10⁵ Pa 10^-3 m³ = 150 J

Trasformazione C→ A: Q = ncp∆T = 5/2 R (TA-TC)= - 5/2 R TA = -249.92 J W = pA (VA-VB) = -100 J

∆Eint = Q – W = -149.92 J

La variazione di energia interna per l’intero ciclo è nulla ed il calore Qciclo scambiato è pari al lavoro W_ciclo svolto dal gas (corrispondente all’area del tirangolo ABC):

Wciclo = Qciclo = (2VA-VA) x (2pA-pA)/2 = pAVA/2 = 10⁵ Pa x 10^-3 m³ /2 = 50 J

p

V V

2 V

A C B

p

2p

p

V V

2 V

A C B

p

2p

Soluzione Esercizio 4

a) La lamina piana, infinitamente estesa, produce un campo elettrico perpendicolare alla lamina, con verso uscente e di intensità costante, pari a:

E 0.113 10 N/C 113N/C

/Nm C 10 8.85 2

C/m 10 2 2

3 2

2 12 -

2 -9

0

=

×

× =

=

= ε σ

a) La carica positiva Q attaccata alla molla tenderà ad essere allontanata dalla lamina, cosicché all’equilibrio si avrà:

C C

N m

m N E

kx Q

QE kx

F

F_{molla el}

2

2 )/(113 / ) 8.85 10

10 / 1000 ( /

0 0

−

− = ×

×

=

=

= +

−

= + r r