(1)Equazioni differenziali ordinarie - 7 luglio 2022 Dato il sistema differenziale  ˙x = 2y − 3 ˙ y = −10x + 4x3, (1) i) dimostrare che il sistema `e hamiltoniano e trovare la funzione hamiltoniana

Equazioni differenziali ordinarie - 7 luglio 2022

Dato il sistema differenziale

 ˙x = 2y − 3

˙

y = −10x + 4x³, (1)

i) dimostrare che il sistema `e hamiltoniano e trovare la funzione hamiltoniana;

ii) studiare eventuali simmetrie del sistema;

iii) trovare eventuali rette invarianti o dimostrare la non esistenza di rette invarianti;

iv) trovare tutti i punti critici del sistema, studiarne la stabilit`a e calcolarne l’indice;

v) discutere l’esistenza di centri e localizzarli, se ne esistono;

vi) scrivere le equazioni delle separatrici, se ne esistono;

vii) disegnare il ritratto di fase.

Soluzione.

i) La divergenza del sistema `e identicamente nulla ed il sistema `e definito in tutto il piano, quindi il sistema `e hamiltoniano. Applicando la consueta procedura si ottiene la funzione hamiltoniana

H(x, y) = −x⁴+ 5x²+ y²− 3y − 4 + C, C ∈ IR.

Per semplicit`a scegliamo C = 0. L’equazione

−x⁴+ 5x²+ y²− 3y − 4 = 0

pu`o essere risolta rispetto ad y in modo da scomporre il polinomio −x⁴ + 5x² + y² − 3y − 4 nel prodotto di due polinomi di grado inferiore. In questo modo otteniamo

H(x, y) = −x⁴+ 5x²+ y²− 3y − 4 = (y − x²+ 1)(y + x²− 4).

ii) La funzione hamiltoniana contiene solo termini di grado pari in x, quindi H(−x, y) = H(x, y). La famiglia delle orbite `e simmetrica rispetto all’asse y.

iii) Vedi dopo il punto iv)

iv) Risolvendo il sistema algebrico

 ˙x = 2y − 3

˙

y = −10x + 4x³, otteniamo tre punti critici:

A =

 0,3

2



, B = −

r5 2,3

2

!

, C =

r5 2,3

2

! .

Osserviamo che l’insieme di livello 0 di H(x, y) `e unione di due parabole di equazioni y − x²+ 1 = 0, y + x²− 4 = 0.

Entrambe le parabole sono invarianti. Le loro intersezioni sono a loro volta invarianti, ed essendo punti isolati sono punti critici del sistema, i punti B e C di cui sopra.

La matrice hessiana di H(x, y) `e:

H_H(x, y) = 10 − 12x² 0

0 2

 .

1

Nei punti critici abbiamo:

H_H

 0,3

2



= 10 0

0 2

 .

Gli autovalori sono 10 e 2, positivi, quindi H(x, y) ha un minimo in A, che di conseguenza `e un centro per il sistema.

HH − r5

2,3 2

!

= −20 0

0 2

 .

Gli autovalori sono -20 e 2, di segno opposto, quindi H(x, y) ha un sella in A, che di conseguenza `e un punto di sella per il sistema.

HH

r5 2,3

2

!

= −20 0

0 2

 .

Gli autovalori sono -20 e 2, di segno opposto, quindi H(x, y) ha un sella in A, che di conseguenza `e un punto di sella per il sistema.

vi) A non ha separatrici, in quanto `e un centro. B e C ne hanno quattro ognuno, essendo punti di sella. Le loro separatrici sono contenute nelle parabole di equazioni

y − x²+ 1 = 0, y + x²− 4 = 0.

iii) Se esistesse una retta invariante r, questa intersecherebbe almeno una dele parabole. Ogni punto di tale intersezione sarebbe un punto critico, che non pootrebbe essere A, perch´e `e un centro. Quindi l’intersezione avverrebbe in B o C. In tal modo le due semirette in cui B o C dividerebbero r sarebbero separatrici del punto critico, che avrebbe sei separatrici, e non quattro come si verifica per una sella. Quindi il sistema non ha rette invarianti.

vii) Il ritratto di fase `e nella figura seguente.

Figura 1: Alcune orbite del sistema (1)

2