Matematica (per Chimica) - VIII foglio di esercizi
1. Risolvere le seguenti equazioni differenziali (prim’ordine a variabili separabili), ed eventualmente il problema di Cauchy indicato tra parentesi quadre:
• y0= xy [y(−1) = −3] • tan(x)y0= (y − 1) [y(−1) = 1] • y2y0= x3
• (x2− 4)y0 = 1 + 2y [y(0) = −1] • yy0√
x2+ 1 = x [y(0) = −1] • y0 = ex/2√ y + 1
• x(x − 1)y0 = y(y − 1) [y(2) = 3] • (x − 1)y0 = xy • yy0 = ex+2ysin(x)
2. Risolvere le seguenti equazioni “omogenee” (significa che si scrivono nella forma y0 = f (y/x), cio`e y0 = φ(x, y) con φ(tx, ty) = φ(x, y)), seguendo il seguente suggerimento: usando z = y/x, cio`e y = xz (dunque y0 = xz0+ z) si ottiene una equazione a variabili separabili in z...
• y0= 1 + y
x • y0= y
x+ siny
x • y0= x + y x − y
• y0= ey/x+ y
x • y0= y
x+r x + y
x • y0= 2xy x2− y2
3. Risolvere le seguenti equazioni differenziali lineari (prim’ordine), ed eventualmente il problema di Cauchy indicato tra parentesi quadre:
• y0+ 5x2y = 3x2 [y(2) = 1] • y0 = 2y
x+x − 2
x ex [y(−1) = 1] • y0= 6y + 10ex [y(0) = 2/3]
• y0= y
x+ log x [y0(1) = 1] • y0 = y log(x) + xx • y0= y sin(x) + ex−cos x
4. Risolvere le seguenti equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (second’ordine):
• y00− 4y = e2x • y00− 2y0+ y = x + 2xex • y00+ y0− 2y = ex
• y00+ y = sin x • y00+ 4y = 3x sin x • y00− 3y0 = 2e2xsin x
5. Recipienti. Un recipiente di capacit`a CM contiene una quantit`a C0 < CM di liquido, vi viene immesso lo stesso tipo di liquido con portata pi, ed `e soggetto ad una perdita proporzionale secondo il coefficiente po alla quantit`a di liquido presente. Determinare la quantit`a di liquido al variare del tempo, chiamando C(t) la funzione, e descrivere sotto quali condizioni e in quali tempi il contenitore si svuota o tracima.
Il problema `e pi`u semplice se il prelievo di liquido viene fatto con portata po costante (indipendente dalla quantit`a di liquido)?
Cosa succede se l’immissione di liquido viene fatta secondo il coefficiente pi proporzionalmente alla quantit`a di liquido mancante al recipiente? Dove si usa un tale meccanismo, possibilmente con po= 0?
6. Pentole. Una pentola d’acqua viene riscaldata in un ambiente a temperatura Ta. Tenendo conto che la fonte di calore `e a temperatura Tf > Ta, e supponendo che la variazione di temperatura sia proporzionale alla differenza tra le temperature (pentola-fonte e pentola-ambiente secondo due fattori pf e pa), determinare la temperatura T (t) della pentola in funzione del tempo. Cosa succcede per tempi lunghi?
7. Decadimenti. Una sostanza radioattiva decade con un tasso proporzionale alla sua massa radioattiva; se T0 `e il tempo di dimezzamento, determinare la funzione R(t) di sostanza radioattiva al variare del tempo, sapendo che il valore iniziale `e R0; trovare i tempi per ottenere un valore inferiore a R0/n (n intero positivo).
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8. Popolazioni. L’evoluzione nel tempo della numerosit`a di una popolazione X(t) dipende dal bilancio k(t) tra natalit`a e mortalit`a (eventualmente costante nel tempo), pu`o dipendere da fattori ambientali (disponibilit`a di risorse per massima numerosit`a M ): interpretare e confrontare i modelli di evoluzione seguenti:
• X0= kX • X0 = k(t)X • X0= kX(M − X) • X0= k(t)X(M − X)
(si tratta comunque di popolazioni isolate; come fare per tener conto di eventuali emigrazioni/immigrazioni?) 9. Diluizioni. Da un recipiente di acqua salata con capacit`a iniziale C0e percentuale iniziale di sale p0, viene prelevata acqua in quantit`a proporzionle tramite vo al liquido presente, e viene aggiunta acqua salata, con percentuale di sale pi, con portata vi. Determinare come varia la percentuale di sale nella soluzione in funzione del tempo. Se pi < p0, dopo quanto tempo la quantit`a di sale in soluzione sar`a dimezzata (in percentuale)? Cosa succede se pi= 0?
Il problema si semplifica se il prelievo viene fatto con portata vo indipendente dalla quantit`a di liquido presente?
10. Cadute. Un oggetto cadendo in un fluido `e soggetto alla forza di gravit`a proporzionalmente (secondo g) alla propria massa m, e ad un attrito viscoso proporzionale (secondo r) alla propria velocit`a.
Determinare le funzioni accelerazione, velocit`a e spazio percorso in funzione del tempo.
11. Oscillazioni. Scrivere e studiare le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali:
• oscillazioni libere: y00+ ω2y = 0 (moto armonico);
• oscillazioni smorzate: y00+ 2δy + ω2y = 0 (δ positivo, moto armonico smorzato);
• oscillazioni forzate: y00+ 2δy + ω2y = f (t) (δ positivo, moto armonico smorzato e forzato da f (t)), in particolare vedere f (t) = B cos(γt).
12. Traiettorie ortogonali. Si consideri la famiglia di circonferenze passanti per l’origine e di centro sull’asse delle ascisse (farsi un disegno): equazioni x2+ y2− 2cx = 0, se c `e l’ascissa del centro. Mostrare che esse soddisfano all’equazione differenziale y0 = y2− x2
2xy (si noti l’indipendenza da c...). Determinare le equazioni delle curve del piano che tagliano tutte quelle circonferenze ortogonalmente nei punti di interezione (significa che le rette tangenti devono essere ortogonali).
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