Corso di Laurea in Informatica 28 giugno 2011 tema A
Complementi di Matematica (mod.Analisi) (4 cfu): Esercizi 1,2,3,4.
Analisi Matematica 1 complementi (6 cfu): Esercizi 3,4,5,6.
1) Risolvere il problema di Cauchy (
y0= 1
x − 1y + x − x2 y(2) = −1
2) Risolvere l’equazione differenziale 2y00− 2y0+ 5y = 0 con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y0(0) = 5.
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3) Data la seguente funzione
f (x, y) = (2 − x2+ y2) exp(7 − x + 2y) a) determinare il segno della funzione;
b) determinare i punti stazionari e stabilirne la natura;
c) calcolare le derivate direzionali di f (x, y) nel punto P = (−1, 2) nelle direzioni determinate dalla retta di equazione y − 2x + 7 = 0;
4) Sia D la regione limitata del piano compresa tra le regioni A e B, cio`e D = A\B dove
A =©
(x, y) ∈ R2| |y| ≤ 9 − x2ª
, B =©
x2+ y2≥ 1ª . Disegnare A, B, D e calcolare gli integrali
a) Z
D
(2x + 3) y ey4 dx dy ; b) Z
D
x2 dx dy .
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5) a) Determinare il centro, il raggio e l’insieme E di convergenza della serie di potenze
X∞ n=1
1
n(4x − 1)n; b) determinarne la somma in E.
6) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
2n2
(3n)n; b) X∞ n=2
(−1)nlog( 1
n4); c) X∞ n=1
(−1)n n − 5 3−n+ n2
