20 ESERCIZIO: Determinare una soluzioney(x) dell'equazione dierenziale y (4)+ 2y000+y00+y0=x tale che y(0

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1997/1998

CORSI DI LAUREA IN

INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO

INGEGNERIA CIVILE

INGEGNERIA GESTIONALE

29 gennaio 1998 (2/4)

1^{0 ESERCIZIO}: Trovare le dimensioni del rettangolo di area massima con lati par- alleli agli assi coordinati che si puo inscrivere nell'ellisse ^x9 +²

y 2

4 = 1.

2^{0 ESERCIZIO}: Determinare una soluzione^y(^x) dell'equazione dierenziale

y

(4)+ 2^y000+^y00+^y0=^x tale che ^y(0) = 1.

3^{0 ESERCIZIO}: Determinare l'insieme di tutti i ^{z 2}IC per i quali la serie

1

X

n=1

1

n

nlog^1 + 1

n!





p3^z;p2^2n

e convergente.

4^{0 ESERCIZIO}: Studiare se la forma dierenziale lineare

xcos^px2+^y2;px2+^y2

p

x

2+^{y2 dx}+ ^ycos^px2+^y2

p

x

2+^{y2 dy}

e esatta ed eventualmente integrarla.

5^{0 ESERCIZIO}: Come e stato studiato durante il corso, il Teorema di Lagrange per i campi vettoriali e, in generale, falso. Lo studente dimostri la seguente proposizione, detta "Forma debole del Teorema di Lagrange":

Data una funzione vettoriale ^f~: ^ab]^!IR^p continua in ^ab]e derivabile in ]^ab, allora esiste un punto ^2]^ab tale che (^kk denota la norma euclidea in IR^p)

k

~

f(^b)^;f~(^a)^kkf~0(^)^k(^b;a)^:

(Sugg.: Se^f~(^a)⁶=^f~(^b), si consideri la funzione reale^x7!<f~(^x)^{ f~}(^b)^;f~(^a)

k

~

f(^b)^;f~(^a)^{k >},

x2^ab], ove ^<> denota il prodotto interno in IR^p).