(a) Provare che se (X, dX) `e completo allora f `e un’applicazione chiusa

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

8 Febbraio 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia f : (X, dX) → (Y, dY) un’isometria fra spazi metrici.

(a) Provare che se (X, d_X) `e completo allora f `e un’applicazione chiusa.

(b) Fornire, se possibile, un esempio in cui (X, d_X) `e completo ma (Y, d<sub>Y</sub>) non `e completo.

(c) `E vero che se (X, d<sub>X</sub>) `e completo e f `e surgettiva allora (Y, d<sub>Y</sub>) `e completo?

2. In R² con topologia euclidea si consideri D :=(x, y) ∈ R² | x²+ y² < 1 . Sia ∼ la relazione di equivalenza su R² che identifica i punti di D, sia X := R²/ ∼ lo spazio quoziente e sia π : R² → X la proiezione canonica.

(a) L’applicazione π `e aperta? `E chiusa?

(b) Lo spazio X `e T2? `E T1?

(c) Lo spazio X `e compatto? `E localmente compatto? `E localmente connesso?

Sia S¹ := (x, y) ∈ R² | x² + y² = 1 , sia ≈ la relazione di equivalenza su X che identifica i punti di π(S¹) ∪ {π((0, 0))} e sia infine Y := X/ ≈ lo spazio quoziente.

(d) Lo spazio Y `e T2?

(e) Lo spazio Y `e omeomorfo a R² con topologia euclidea? In caso affermativo esibire un omeomorfismo fra Y e R².

(Gira il foglio)

3. Un’applicazione f : X → Y fra spazi topologici si dice propria (o perfetta) se f `e continua, chiusa e f<sup>−1</sup>({y}) `e compatto in X per ogni y ∈ Y . Dimostrare che se X e Y sono spazi topologici e X `e compatto allora la proiezione

p₂ : X × Y −→ Y, (x, y) 7−→ y

`e un’applicazione propria.

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.