13. ESERCIZI su FUNZIONI INTEGRABILI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia f : [a, b] ! R una funzione continua tale cheR

13. ESERCIZI su FUNZIONI INTEGRABILI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f : [a, b] ! R una funzione continua tale che R _b

a f (x) dx = 0. Allora A. f (x) = 0 per ogni x 2 [a, b].

B. Esiste x ₀ 2 [a, b] tale che f(x 0 ) = 0.

C. Se G(x) `e una primitiva di f (x) in [a, b] allora G(b) = G(a).

2. Sia f (x) funzione continua e decrescente in [0, + 1) con lim

x !+1 f (x) = 0. Posto F (x) = R _x

0 f (t) dt si ha

A. F (x) `e crescente B. F (x) `e concava C. lim

x !+1 F (x) = + 1

3. Sia f (x) funzione continua e limitata in [0, + 1) e F (x) = R x

0 f (t) dt per ogni x 2 [0, +1). Allora A. esiste lim

x !+1 F (x) B. lim

x!+1 F (x)

x = 0 C. lim

x !+1 F (x)

x

= 0

Calcolare i seguenti integrali riconducendoli a integrali immediati 4.

Z

1

x cos(log x) dx 5.

Z 1

x(log ² (3x) + 1) dx 6.

Z x

p 1 x ⁴ dx

7.

Z e

1 x ² dx 8.

Z cosh x sinh x p cosh ⁴ x + 1 dx

9.

Z log( p x + 1)

p x dx

10.

Z x 1

x ² + 2x + 3 dx

11.

Z 2x 1

x ² 4x + 4 dx

12.

Z x + 1 4x ² + 5 dx

13.

Z

cos x(sin ³ x + cos ² x + 1) dx

14.

Z

cos ³ x dx

15.

Z

cosh ² x sinh ³ x dx

16.

Z

tan ⁵ x dx

85

Per calcolare i precedenti integrali occorrer` a ricordare i seguenti integrali immediati

• Z

f (x) ^↵ f ⁰ (x) dx = ^{f (x)} _↵+1

+ c, ↵ 6= 1

•

Z f

(x)

f (x) dx = log |f(x)| + c

• Z

e ^{f (x)} f ⁰ (x) dx = e ^{f (x)} + c

• Z

sin(f (x))f ⁰ (x) dx = cos(f (x)) + c

• Z

cos(f (x))f ⁰ (x) dx = sin(f (x)) + c

•

Z f

(x)

cos

(f (x)) dx = tan(f (x)) + c

• Z

sinh f (x)f ⁰ (x) dx = cosh(f (x)) + c

• Z

cosh f (x)f ⁰ (x) dx = sinh(f (x)) + c

•

Z f

(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c

•

Z p f

(x)

1 f (x)

dx = arcsin(f (x)) + c

•

Z p f

(x)

f (x)

+1 dx = settsinh (f (x)) + c = log(x + p

x ² + 1) + c

•

Z p f

(x)

f (x)

1 dx = settcosh (f (x)) + c = log(x + p

x ² 1) + c

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