Si verifichi che le seguenti funzioni sono effettivamente ben definite: h : X → 2, x 7

ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 2

MARTINA LANINI

Ricordiamo che, dato un insieme A, denotiamo con P(A) il suo insieme delle parti.

(1) Sia X un insieme e siano A, B ∈ P(X). Ricordiamo che la funzione caratteristica di un sottoinsieme C di X `e definita come

χC : X → {0, 1} =: 2, x 7→

 0 se x 6∈ C, 1 se x ∈ C.

Si verifichi che le seguenti funzioni sono effettivamente ben definite:

h : X → 2, x 7→

 0 se χ_A(x) = 1 1 se χA(x) = 0.

k : X → 2, x 7→ χ_A(x) · χ_B(x), l : X → 2, x 7→ χA(x) + χB(x) − k(x).

Si determinino gli elementi di P(X) che sono immagine di h, k, l rispetto alla funzione canonica

2^X ,→→ P(X).

(2) Sia N l’insieme dei sottoinsiemi non vuoti dell’insieme N dei numeri naturali. Si consideri la relazione ρ su N data da:

AρB se e solo se A = B oppure (a ≤ b ∀a ∈ A, b ∈ B).

Si dica se si tratta di una relazione d’ordine e, in caso affermativo, si specifichi se `e una relazione di ordine totale.

(3) Sia θ una relazione simmetrica e transitiva su un insieme A. Si dimostri se per ogni a ∈ A esiste un b ∈ A tale che aθb, allora θ `e una relazione di equivalenza.

(4) Sia ρ la relazione sui numeri reali R data da:

xρy se e solo se x − y ∈ Z.

(a) Si dimostri che ρ `e una relazione di equivalenza.

(b) Si dimostri che se xρy e x⁰ρy⁰allora (x+x⁰)ρ(y+y⁰) ma (x·x⁰) 6ρ(y·y⁰) in generale.

(5) Si consideri l’insieme X = R × R delle coppie ordinate di numeri reali.

Si denoti con O := (0, 0) ∈ X l’origine. Per ogni P = (x, y) ∈ X, si denoti inoltre con d(O, P ) la distanza di P da O, ovverop

x²+ y². Sia dunque  la relazione su X data da:

(x, y)  (x⁰, y⁰) se e solo d(O, (x, y)) ≤ d(O, (x⁰, y⁰)).

(a) Si dimostri che  `e un preordine;

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(b) si consideri la sua relazione inversa :=⁻¹ e si verifichi che  ∩ 

`e una relazione di equivalenza;

(c) si descrivano le classi di equivalenza della relazione di equivalenza del punto precedente.

(6) Sia A = {?, ∗, •}.

(a) Si determini il numero di relazioni d’ordine che possono essere def- inite su X.

(b) Si dica quante tra le relazioni del punto precedente sono di ordine totale.

(c) Si determini infine il numero di relazioni d’equivalenza che possono essere definite su X.