Campi magnetici nella materia 26 novembre 2014

Campi magnetici nella materia

26 novembre 2014

Campo B nella materia

Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dell’elettrone

Teorema di Larmor

Momento magnetico atomico indotto e permanente Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo Intensità di magnetizzazione M, campo H

Eqq. di Maxwell nella materia

2

Campo B nella materia

• Nonostante la grande complessità della struttura della

materia, è possibile sviluppare il magnetismo nella materia in modo coerente e semplice

• Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto, che generi un campo induzione magnetica B₀(r)

• Il circuito venga poi “immerso” in una sostanza, che

supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo induzione magnetica generato sia ora B(r)

• Il rapporto è una grandezza adimensionale detta permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza considerata

B r

B ₀ 



Permeabilità magnetica

• Se la sostanza è omogenea r è uno scalare uniforme nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale

r(r)

• Se la sostanza non è isotropa r non è uno scalare ma un tensore

• Si introduce anche la grandezza detta permeabilità magnetica della sostanza considerata,

avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del vuoto 0





 

4

Campo B nella materia

• Il campo B si può infatti calcolare per mezzo della prima formula di Laplace, sostituendo 0 con 

• Inoltre la forza che tale campo esercita su un circuito immerso in esso si trova

introducendo tale campo nella seconda formula di Laplace



 ₃

4 r

r l

i d

B  







 ^

 i d l B F   

• A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi generato

• Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio, tale variazione è assai semplice

Magnetizzazione

• La presenza del mezzo provoca una variazione del modulo di B pari a

• Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica 

• In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei circuiti che generano il campo B₀ ci fosse una corrente aggiuntiva che genera un campo B_mag = B₀ :

• Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro volta dalle correnti che producono il campo B₀

• Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione

 

0 0

0 B B 1 B B

B

B  









B  B₀ 



6

Magnetizzazione, modello di Ampère

• La magnetizzazione della materia è dovuta a correnti microscopiche all’interno della materia stessa

• Oggi sappiamo che queste correnti sono dovute al moto orbitale degli elettroni all’interno

dell’atomo e al loro spin

• Il modello suppone che questi moti siano

equivalenti a microscopiche spire percorse da corrente (vedi il teorema di equivalenza di

Ampère)

Momento magnetico

• Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o

molecole), per trovare il momento magnetico totale M ^di

una quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare (vettorialmente) tutti i momenti atomici

• Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni (bisogna usare la meccanica quantistica)

• Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il

momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico sarà diverso da zero

8

Assenza di campo B esterno

• Nel caso in cui i momenti atomici siano nulli, sarà nullo anche il momento totale

• Nel caso in cui i momenti atomici non siano nulli, il momento totale è

generalmente (ma non nel

ferromagnetismo) ancora nullo in quanto i

momenti elementari sono orientati a caso

e in media la loro somma è zero

Presenza di campo B esterno

• Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica B0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo dovuto alle molecole del mezzo, con l’esclusione di quello della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola che stiamo indagando è immersa

• L’azione di B* produce un momento magnetico dovuto al primo o a entrambi dei seguenti fenomeni:

1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla precessione di Larmor, che riguarda tutti gli atomi

2) orientamento degli atomi che posseggono un momento magnetico permanente, nella direzione del campo esterno

10

1) Momento indotto

• Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di atomi orientati diversamente

• Possiamo allora definire il momento magnetico indotto totale del materiale e medio degli atomi come





k Lk

L m

M ^{ }



k Lk

L

L m

N

m N 

 M 1

2) Momento permanente

• Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di atomi orientati

diversamente

• Possiamo allora definire il momento magnetico permanente totale del materiale e medio degli atomi come







k ok

o

o

m

N

m N  

 M 1





k ok

o

m

M 

12

Magnetizzazione M

• Detto M il momento magnetico totale

• Definiamo (l’intensità di) magnetizzazione M come il momento magnetico per unità di volume

• Se il momento magnetico del materiale non è uniforme, bisogna usare la definizione differenziale

• Dimensioni

• Unità

m n N m

V m N

V M V

k k

k k





 

  ^M  ¹





  _













k k

k Lk ok

k ok

k Lk

o

L  m m m m m



 M M

M

 

   

dV dN dN

d dV

r d

M     

 





 M M



  M ^{ n}     ^{m  L}

  ^{I L}

^{ I}   ^L

 

u 

Momento magnetico orbitale dell’elettrone

• Per semplicità usiamo un modello classico per rappresentare il moto di un elettrone in un atomo

• L’elettrone percorrerà un’orbita circolare di raggio R e area A in un tempo T, moto che produce una corrente

• e un momento magnetico orbitale

• Tale momento è dell’ordine di grandezza di un magnetone di Bohr



 2 e

T i  e 

iA m



T

B

 9 . 26  10

J /



14

Momento magnetico orbitale dell’elettrone

• Introducendo il momento angolare orbitale l il momento magnetico è

• m

risulta opposto in verso a l, a causa della carica negativa dell’elettrone

• Tale calcolo è classico, non quantistico, ma il risultato è corretto

m l Rmv e

m vR e

R e m_orb e

2 2

2 2

0 2   









m l e

m

m_orb e   2

2  



Momento magnetico intrinseco dell’elettrone

• Oltre al momento angolare orbitale l, l’elettrone possiede un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale

• Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo quantisticamente

• Per visualizzare il fenomeno si immagina l’elettrone come una sfera che ruota su se stessa

• Essendo l’elettrone carico, in tal modo si “giustifica” la comparsa del momento magnetico intrinseco

m s s e

m

m 

 e    

16

Teorema di Larmor

• Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe usare la meccanica quantistica)

• Se si immerge il materiale in un campo B, si genera una fem indotta che accelera o decelera gli elettroni atomici

• La velocità angolare orbitale degli elettroni (0 in assenza di campo) cambia per una quantità

(precessione di Larmor)

m B B e

m e

L



 

2

2 



 

Dimostrazione classica

• Consideriamo un modello classico molto semplice: un elettrone che percorre un’orbita circolare nel campo

coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico

• L’eq. del moto e`

• Da cui si ricava la velocita` angolare

• Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione

• Se ora accendiamo il campo, avremo una variazione di velocità e anche la comparsa di una forza di Lorentz

• e l’eq. del moto diventa

 

 

r Q k e

r r

k eQ₂ ˆ  ₂  ˆ  ₀²  ˆ

0 3

mr Q k e





r m

r B e r

m^rB



  



B v

e^ ^ 





Dimostrazione classica

• Affinche’ l’eq. sia soddisfatta occorre che la velocita`

angolare soddisfi l’equazione di 2^o grado

• ove si e` definita la frequenza di Larmor

• L’eq. ha le soluzioni

18

0

2 ₀²

2 2

0

2 







 





m B e

m B e

L  2



0 2

0 2

2 ,

1

    



B

r

v F_L

₀

_L

B

r v

F_L

₀

_L

Dimostrazione classica

• La soluzione corrisponde ad un aumento del modulo della velocita`

angolare

• La soluzione corrisponde ad una diminuzione del modulo della

velocita` angolare

• In entrambi i casi compare una velocita` angolare aggiuntiva, equiversa al campo





r

v F_L

₀

_L

B

r v

F_L

₀

_L





 ₀

m B e

L

 

 2



20

Momento indotto

• Per un elettrone immerso in un campo B, la

precessione di Larmor è associabile ad una corrente elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a quella dovuta al moto in assenza di campo

• ed a un momento magnetico, il cui modulo e`

• e il cui verso e` opposto a e quindi e` sempre opposto al campo

m B e i_L e ^L







4 2

 2



m B A A e

i m_{L L}

 4

 2



m B A m_L e 

 4

 2





Diamagnetismo

• Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono dette correnti di magnetizzazione o amperiane

• N.B. Le correnti elettroniche non comportano alcun effetto Joule

• Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla supeficie del materiale

• Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a tutti i materiali

• Non dipende da T

• È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici atomici permanenti

22

Campo magnetico totale

• I momenti indotti generano un campo induzione magnetica che va a diminuire il campo esterno B

, poiché essi sono sempre opposti a quest’ultimo

• Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza

diamagnetica e` negativa (ovvero 

<1)

• E quindi il campo risultante e` minore del campo in assenza di materia

0 0

0 0

0

B B B B

B

B       

 0

 B

B

 

Momento permanente

• Per atomi dotati di momento magnetico permanente,

avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo la direzione del campo esterno (magnetizzazione per orientamento)

• All’azione orientatrice del campo si oppone l’agitazione termica che tende a disorientare gli atomi in tutte le

direzioni

• All’equilibrio termico, gli atomi disposti nel verso del campo sono un po’ più numerosi degli altri

• Questo fenomeno è detto paramagnetismo

24

Campo magnetico totale

• In questo caso il campo induzione magnetica generato dal materiale va ad

aumentare il campo esterno B

• Questo si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza

paramagnetica e` positiva (ovvero 

>1)

• E quindi il campo risultante e` maggiore del campo in assenza di materia

0 0

0

B B

B

B    

 0



B

B

 

Paramagnetismo

• Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici atomici, prodotti dalle correnti elettroniche

orbitali e di spin (correnti amperiane)

• Anche nelle sostanze paramagnetiche è presente il diamagnetismo

• Questo, però, è più che compensato dal

paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici

atomici permanenti

26

Confronto fra energia magnetica e termica

• L’analisi statistica dell’orientamento dei momenti molecolari si basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati estremi in cui i dipoli possono trovarsi

• e l’energia termica media

• A temperatura ambiente l’energia magnetica è piccola rispetto all’energia termica e per conseguenza il numero di dipoli

orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a quello di dipoli orientati in verso opposto

• Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al paramagnetismo è generalmente piccola

• Per aumentarla è necessario andare a basse temperature mB

U_mag  2



kT U_th

2

 3



Confronto fra energia magnetica e termica

• Energia magnetica del dipolo è dell’ordine di

• Il valore tipico del momento di dipolo magnetico è

• In un campo intenso (1 T) otteniamo

mB U_mag 

T

B

J

10

26 .

9 

 

J T

T J

U

 9 . 27  10

 1  10

28

Confronto fra energia magnetica e termica

• Energia termica di un atomo è dell’ordine di

• A temperatura ambiente (300 K) otteniamo

• Cioè più di due ordini di grandezza maggiore dell’energia magnetica

• Forti magnetizzazioni sono possibili solo a basse temperature



U

 3 2 kT



U_th  3 2

 

Paramagnetismo

• In campi deboli M è

proporzionale al campo e inversamente

proporzionale a T (legge di Curie)

• In campi molto forti M tende al valore di

saturazione M

(indipendente dal campo)

Magnetizzazione in funzione del campo B₀ esterno M

B₀ M_s

Ms

kT M mB⁰

3

 1

30

Diamagnetismo Paramagnetismo

Ferromagnetismo

• È presente in un numero limitato di elementi (o loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio,

disprosio

• È dovuto all’allineamento dei momenti magnetici atomici

• Un debole campo B

esterno è capace di produrre un altro grado di allineamento dei momenti magnetici atomici

• Il campo B indotto può essere migliaia di volte più forte di quello esterno

• Questo allineamento può persistere anche dopo

che è stato soppresso il campo esterno:

32

Ferromagnetismo

• Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra loro lungo una direzione preferenziale

• La direzione dei domini varia invece da dominio a dominio

• Sotto l’influenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra domini cambiano orientamento, aumentando l’estensione dei domini allineati al campo a spese di quelli non allineati

• Esiste una temperatura critica al di sopra della quale

l’agitazione termica è abbastanza grande da sopprimere questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale 1043 K)

• Sopra tale temperatura le sostanze diventano paramagnetiche

Domini di Weiss

• Magnetic domains (Weiss domains) in a

piece of ferromagnetic material, revealed in a Kerr micrograph. The metal is composed of microcrystalline grains. The magnetic

domains are the red and green stripes within each grain. Due to its magnetic anisotropy, the crystal lattice of each grain has an "easy" preferential direction of

magnetization, so the domains within each grain are oriented parallel to this easy axis.

The magnetization of red and green domains is in opposite directions parallel to the long axis of the domain.

34

Ferromagnetismo

• Prendiamo ferro ricotto, con M=0 e aumentiamo il campo B esterno partendo da 0 (punto O)

• L’appiattimento della curva vicino ad A indica che M tende ad un valore di

saturazione M

M

B₀ A M_s

O

Ferromagnetismo

• Se ora diminuiamo B0 e lo

portiamo a 0, M non ritorna a 0

• La variazione dei domini di Weiss non è completamente reversibile

• Il valore di M quando B₀ è 0 è

detto magnetizzazione residua Mr

ed è il principio fisico del magnete permanente

• Se si diminuisce ancora B0 (valori negativi), M diminuisce e si

annulla nel punto C per un valore del campo B_c detto campo di

coercizione

C

M

B₀ A M_s

O B_c

M_r

36

Ferromagnetismo

• Diminuendo B₀ ulteriormente si arriva alla saturazione nel verso opposto (punto D)

• Se ora aumentiamo il campo, M non seguirà la curva già

percorsa ACD, ma ne percorrerà un’altra DC’A

formando complessivamente un ciclo, il ciclo di isteresi

• M dipende quindi dalla storia precedente della sostanza e non è legata a B₀ da una

relazione semplice

C

D

M

B₀ A

-M_s

O C’

Ferromagnetismo

• L’area racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale all’energia dissipata nella trasformazione irreversibile magnetizzazione/smagnetizzazione

• Materiali dolci

– l’area del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M residua è piccola

– Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori per evitare di avere grandi perdite di energia quando B varia alternativamente

• Materiali duri

– la perdita del ciclo è grande, M residua è grande – Questi materiali sono usati per costruire magneti

38

Circuitazione di M

• Si puo` dimostrare che la circuitazione di M è uguale alle correnti di magnetizzazione del materiale

• Ed in forma differenziale

conc

i

l d

M  

 ^{ }

J

M  

  



Circuitazione di M

• Questa relazione ci permette di estendere la legge di Ampère in presenza di materia

• A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle

correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il campo B₀, anche le correnti di magnetizzazione che

generano il campo B_mag : in totale otterremo il campo B

• ovvero:





 ^{B   d l   }

ⁱ

^{ }

ⁱ

^{ B }

^{ d l   }

^{M   d l }

 



   ⁰

 ^{B  B   M  d l }

40

Circuitazione di M

• Data l’arbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue

• E poiche’

• Abbiamo e anche

• Dall’equazione

• si deduce la forma differenziale:

conc mag conc

cndt

J

J

B   



0

0



 







M B

B   

0 0

 



B

B

B   





M B 





 B  M 

0

0



 

conc mag conc

cndt

i

i l

d

B   

 

 ^{ }

Campo H

• Dall’equazione:

• dividendo entrambi i membri per 0 e sostituendo la relazione tra M e J_mag :

• Otteniamo

• Introducendo il vettore campo magnetico

• si ottiene l’eq.

• Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di conduzione e non da quelle di magnetizzazione



H  

B 



^

M 

 J J



B   

   

 

M J 

 









M J

B    

     



0

1

 ^{M J}

B   

  



 



 







J H  

  



42

Campo B nella materia

• Nelle sostanze paramagnetiche e

ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B

• In quelle diamagnetiche ha verso opposto

• Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale a B

(se questo è abbastanza piccolo)

• Dove  è la suscettività magnetica





M    B 







B   

B

 

^{M   B }

 ^{1 }   ^{ }

^{B }

Campo B nella materia

• Diamagnetismo: 

< 1

–  è una piccola costante negativa indipendente dalla temperatura

• Paramagnetismo: 

> 1

–  è una piccola costante positiva che dipende dalla temperatura

• Ferromagnetismo: 

>> 1

–  è una funzione di B₀ che dipende dalla temperatura e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume valori molto elevati (10³-10⁴)

– Formalmente si può scrivere anche in questo caso

 

44

Campo B nella materia

• Il campo B all’interno della materia risulta proporzionale al campo nel vuoto tramite la permeabilità magnetica relativa

• L’equazione è simile a quella per il campo E nella materia

B

B  

r

E E





Relazioni tra B, M e H

• Eliminando M dalle relazioni

• Otteniamo

• cioè

0 0

  ^B M

 



r r

r

B B

B H B













 



1 1

0 0

0 0







 

 



 



 











H  

B 



^

M 

r

B B



 

0



 H B

 



46

Campi nella materia

• Come nel caso elettrico è stato introdotto il campo ausiliario spostamento elettrico D

• così nel caso magnetico abbiamo introdotto il campo ausiliario magnetico H

• Questi campi non servono nel vuoto, ma sono utili nello studio delle proprietà e.m. della materia

E E

D  







 



r

B H B









 





Eqq. di Maxwell nella materia

• Le equazioni di Maxwell si riscrivono così

• Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui conduttori e non quella di polarizzazione

• e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione

• A queste vanno aggiunte le relazioni tra campi dt

D i d

l d

H ^conc

C

) ( 

     



)

( D  Q

 

0 )

( 

 B 

dt B l d

d E

C

) ( 

     



E D  





H B

 



48

Eqq. di Maxwell nella materia

• Nella materia le equazioni assumono la forma

• In un dielettrico le ultime due equazioni divengono

t E B



 







 



t J D

H 

 







 



 





 D  

 0



 B  

t H D



 





 

0 





 D  

Eqq. di Maxwell nella materia

• Sostituendo le espressioni per D e H (supposto il dielettrico omogeneo e isotropo)

• otteniamo

E D  





H B

 



 

t E t

B E B



 



 





 



 



 





 

 

  





1

  ^{    0}









  D   E   E 



  E     0

t B E



 





 

 

Eqq. di Maxwell nella materia

• Quindi otteniamo esattamente le stesse equazioni trovate nel vuoto, con la sola

differenza che la costante nell’ultima equazione invece che ora è

• Per un dielettrico trasparente, ripetendo la derivazione delle onde e.m., troviamo

l’equazione

50

2

0

2

2





 

 t

E E

 

 

0 2

0

c

r r r

r



 







  

0 0





Eqq. di Maxwell nella materia

• La velocità delle onde nel dielettrico è quindi

• Quindi la teoria di Maxwell predice che l’indice di rifrazione di un dielettrico è uguale a

r r

v c





 ^

 1

r

v

n  c   

Eqq. di Maxwell nella materia

• Per i dielettrici

• Ma il confronto tra indice di rifrazione e costante dielettrica relativa dà

• La discrepanza è dovuta al fatto che la costante dielettrica dipende dalla frequenza dell’onda: il valore riportato è relativo al caso statico, non al campo elettrico di frequenza ottica

52

r r

n  

  

materiale n _r

acqua 1.334 80

etanolo 1.365 25