Campi elettrici nella materia 25 novembre 2014

Campi elettrici nella materia

25 novembre 2014

Dipolo elettrico

Campo E nella materia

Polarizzazione e intensità di polarizzazione P Il campo spostamento elettrico D

Energia elettrostatica

Dipolo elettrico

• E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e segno opposto, poste a distanza l tra loro

• Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato dal prodotto della carica per il vettore distanza:

• Ove il vettor l (e quindi p) è orientato dalla carica negativa a quella positiva

l q p   

-q

+q

Due tipi di dipolo

• Il dipolo può essere indotto da un campo

elettrico esterno che sposta le cariche positive e negative in un sistema altrimenti simmetrico

– Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso del campo esterno

• Il dipolo può essere permanente: c’è una distribuzione asimmetrica stabile di carica

– Il dipolo può avere un’orientamento arbitrario

Fatti sperimentali

• Dati n conduttori carichi nel vuoto, essi producono un campo E

• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel

campo è una diminuzione di intensità per una costante



(maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico



E  E



V  V



C

C 



• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore

• Mentre la capacità aumenta dello stesso

fattore

Costante dielettrica

• 

prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale

• Il prodotto  = 



prende il nome di costante dielettrica del materiale

• 

può

– dipendere dal punto considerato nel dielettrico (materiale non omogeneo)

– essere un tensore (materiale non isotropo)

Misura della costante dielettrica

• In pratica per misurare la costante dielettrica relativa di un isolante si sfrutta la relazione

• facendo il rapporto tra le capacità che uno stesso condensatore assume con e senza il dielettrico tra le armature

• C può essere misurato anche in CA

• Nota: dipende dalla frequenza del campo elettrico usato e conseguentemente anche C dipende da tale frequenza





 C C



Difficoltà di una definizione di campo nei dielettrici

• Le proprietà macroscopiche della materia dipendono dalla sua struttura molecolare e nonostante la grande

complessità di tale struttura è possibile sviluppare in modo semplice l’elettrostatica dei dielettrici

• Se lo spazio è riempito di dielettrico, affinché la

definizione di campo elettrico mantenga il suo carattere operativo, dobbiamo pensare di poter praticare un foro nel dielettrico, al cui interno operare

• Però sulla superficie interna del foro si formano cariche di

polarizzazione che alterano il risultato della misura, il cui

valore dipende per di più dalla forma del foro

Polarizzazione molecolare in un campo esterno

• Consideriamo una molecola in un dielettrico

• Indichiamo con E* il campo elettrico dovuto non solo ai conduttori, ma anche a tutte le molecole del dielettrico, con l’esclusione della molecola che stiamo considerando

• Se considerassimo anche il campo della molecola avremmo proprio il campo E trovato in precedenza

E

E

E   





Polarizzazione molecolare in un campo esterno

• La polarizzazione delle molecole è dovuta in generale alla sovrapposizione di due

cause distinte, entrambe dovute all’azione del campo esterno E*

• La prima è una deformazione della molecola

• La seconda è un’orientamento di molecole

dotate di momento elettrico permanente

1) Polarizzazione per deformazione

• È dovuta alle forze agenti su elettroni e nuclei della molecola

• Queste forze sono dirette in verso opposto e tendono a deformare la molecola e a creare un momento elettrico indotto parallelo al campo esterno E*

• Preso un numero molto grande di molecole, diciamo P _d il momento elettrico indotto risultante di tutti i momenti

atomici

• Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento elettrico indotto medio

p N

p N

k dk

d

P 



  ¹  

2) Polarizzazione per orientamento

• Una molecola con momento elettrico permanente viene

orientata dal campo esterno in modo che il momento tenda a essere parallelo al campo

• A questa azione si contrappone l’agitazione termica che tende a disorientare i momenti delle molecole uniformemente in tutte le direzioni

• Si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole orientate verso il campo sono un po’ più numerose delle altre

• Preso un numero molto grande di molecole, diciamo P _o il momento elettrico permanente risultante di tutti i momenti atomici

• Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento



Polarizzazione

• Sia dato un corpo dielettrico di forma qualunque e sia P il momento elettrico risultante, cioè la somma di tutti i momenti di dipolo (indotti e permanenti) degli atomi o delle molecole che lo costituiscono, allora

• ove p è il momento medio di dipolo delle molecole

  ^{p N p}

N N p

p p

k k

k k

k dk ok









 

 



 



 





   ¹ 

P

Polarizzazione P

• Macroscopicamente possiamo definire un vettore P, la (densità di) polarizzazione, come il momento

totale di dipolo elettrico per unità di volume

• Le dimensioni di P sono

• Cioè uguali alla densità superficiale di carica





P   d 

P

dV  dN dV

p  n  p

  P ^{ n}     ^{p  L}

^{LQ  QL}

Notare la definizione differenziale

Polarizzazione P

• P dipende, naturalmente, dal campo elettrico

• Il campo che consideriamo qui è quello totale E, dipendente a sua volta da P

• Il dielettrico è detto

– lineare se P è proporzionale a E

– omogeneo se la costante di proporzionalità è uniforme nello spazio – isotropo se P e E hanno la stessa direzione. Per dielettrici anisotropi

è necessario introdurre un tensore di polarizzabilità

• Dielettrici lineari, omogenei ed isotropi sono il caso più

semplice, noi ci limiteremo a studiare questo caso

15

Campo elettrico nella materia

• Consideriamo il caso semplice in cui il conduttore è un

condensatore piano

• La carica sul conduttore (detta anche carica “libera”), di densità

, polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con

carica (detta “legata”) di densità

_pol e segno opposto alla carica libera

• La carica libera produce il campo

• La carica legata produce il campo

• il campo totale è





E 

  n ^ˆ 



E   

E

 

E

15

- - - - - - - - - +

+ + + + + + + +

E₀

- - - - - - - - +

+ + + + + + +

+ + + + -

- - - E_pol

E = E₀ + E_pol





E 

  

n ^ˆ



 

n ^ˆ 

Campo elettrico nella materia

• Poiché sappiamo che il campo totale vale

• possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata

• ove abbiamo introdotto la suscettività 

• Il campo del dielettrico ha verso opposto a quello del conduttore, e modulo inferiore

• Ne segue che il campo risultante E ha modulo inferiore al campo nel vuoto

• Ovvero il campo elettrico dovuto alla

polarizzazione compensa solo in parte il campo del conduttore

0 0

1 1 E E

E

r r

pol











 ^_ ^{ }

 



 









E  

E 



0 0

1 1

E

r

pol

 



 



 

 

E

E

E 



Campo elettrico nella materia

• Dalla relazione tra campi

• otteniamo anche





  





E E

E

r pol





 



 _{ }





Relazione tra P e 

, 

• In generale si può dimostrare che

• Il vettore P permette di calcolare la densità delle cariche di polarizzazione, sia dentro il dielettrico che sulla sua superficie:

pol

P



 





 

diel pol

 P ˆ   n



Legge di Gauss nei dielettrici

• Ricordiamo la legge di Gauss microscopica:

• Questa eq. continua a valere anche nei dielettrici

polarizzati, purché alle cariche presenti sui conduttori si aggiungano le cariche presenti sui o nei dielettrici

• Queste cariche, come abbiamo visto, sono

caratterizzate mediante la densità microscopica





• Otteniamo dunque





  

E  









E 





  

Relazione tra E e P

• Ricordando le relazioni (trovate per un

condensatore piano) tra densità di cariche libere e legate e tra campo elettrico e densità di carica

• ricaviamo la relazione (valida per un dielettrico lineare, omogeneo e isotropo)

diel diel

pol pol

diel

E n E n

n

P   ˆ   

  ˆ 

  ˆ











P   

 E ^

21

Il vettore D

• Torniamo alla legge di Gauss

• Moltiplicando i due membri per ₀ e sostituendo la relazione tra P e _pol

• Introducendo il vettore spostamento elettrico (o induzione elettrica)

• si ottiene l’eq.

• Cioè la divergenza di D dipende solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione

• Dentro un dielettrico non ci sono cariche libere, ne segue che qui abbiamo







E 





  

P E   

     

 



 ^{  }  ^

^{E   P }  ^{ }

P E

D   



 







 D  

 

 

D    0

Il vettore D

• Per quanto riguarda il campo sulla superficie di un conduttore, in presenza di un dielettrico, possiamo usare la formula già trovata in assenza di dielettrico, aggiungendo però le cariche di polarizzazione

• Di nuovo, la componente di D normale alla superficie dipende solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione

0

ˆ 





n

E 



 



E   n ˆ

 

  P   n ˆ

  P   n ˆ









  ^

E  ^ P   ^ n ˆ

^{ }







 n

D

D ˆ 

Relazioni tra E, P e D

• Eliminando P dalle relazioni

• Otteniamo

• cioè





P   

 E ^

P E

D   



 

  ^{E E}

E E

D    





















1  



E D  





Il vettore D

• In conclusione per descrivere i fenomeni elettrici in presenza di un dielettrico non è sufficiente il solo campo E

• è necessario introdurre un secondo campo: P,

oppure D

Elettrete (ferroelettricità)

• È un dielettrico non lineare che, una volta polarizzato, conserva un proprio momento elettrico al cessare dell’azione del campo elettrico polarizzante

• È l’equivalente elettrico dei magneti permanenti

• Possono essere ottenuti riscaldando il materiale dielettrico fino al punto di rammollimento e poi facendolo raffreddare sotto l’azione continua di un campo elettrico uniforme

Esempio di

dielettrico non lineare

Energia elettrostatica

• Sia data una distribuzione di carica q che genera un

potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a

• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è

• Espressioni alternative

C dq Vdq q

dU

 

C dq Q

C U q

Q e

2

0

2

 1

 

2 1 1 2

1 Q QV CV

U   

Energia elettrostatica

• Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature

• Il lavoro speso per caricare il condensatore può

considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E

• Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico

• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica A

Q E  

   ¹

1

1    



Ed

V 

Energia elettrostatica

• La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre

• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume

• Nel caso generale la densità di energia può cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini differenziali

• Inversamente l’energia si trova integrando la densità nello spazio

2

2 1 E V

u_e  U^e 



dV u

 dU

 

S

dV u

U

Energia elettrostatica

• Si può estendere la relazione

al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma

2

2 1 E u_e 



D E u_e  



 2 1