1. Dimostrare, in tre modi diversi, la convergenza della serie

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Esercizi di riepilogo e complemento 15

Serie - parte II

1. Dimostrare, in tre modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=2

1 n ² − n , avvalendosi dei criteri di Raabe, Gauss, Abel.

2. Studiare, in quattro modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=0

x ⁿ

2n ² + 1 , x ∈ R avvalendosi dei criteri della radice, di Raabe, Gauss, Abel.

converge se |x|
1, diverge se |x| > 1

3. Studiare, in tre modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=1

 n ⁿ n!e ⁿ

 2

,

avvalendosi dei criteri del confronto asintotico, di Raabe, di Gauss.

diverge

4. Studiare, in quattro modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=1

x ⁿ e ⁿ + n ² ,

avvalendosi dei criteri del confronto asintotico, della radice, di Raabe, di Gauss.

converge per |x| < e, diverge positivamente per x  e, `e indeterminata per x
−e.

5. Studiare, in tre modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=1

 e −

 1 + 1

n

 _n  ,

avvalendosi dei criteri del confronto asintotico, di Raabe, di Gauss.

diverge

6. Studiare, in quattro modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=1

ne ^−αn , α ∈ R

avvalendosi dei criteri della radice, di Raabe, di Gauss, della primitiva.

Converge per α > 0, diverge per α
0.

7. Studiare, in tre modi diversi, la convergenza della serie

∞ n=1

1

√

2 ⁿ + n ^{2 n}

avvalendosi dei criteri del confronto asintotico, della radice, di Raabe.

converge

1

8. Studiare la serie di Abel _∞

n=2

1

n ^α log ^β n , α, β ∈ R,

avvalendosi dapprima del criterio di Raabe e della primitiva insieme, e poi del criterio di condensazione.

converge se α > 1 e β qualunque, oppure se α = 1 e β > 1

9. Studiare, in quattro modi diversi, la serie

∞ n=2

log n

n ^α , α ∈ R,

avvalendosi dei criteri di condensazione, della primitiva, di Raabe, di Gauss.

converge se α > 1, diverge positivamente se α
1

10. Studiare, in tre modi diversi, la serie

∞ n=2

 arctg 1

n − log  1 + 1

n ²

 1 n ² log n , avvalendosi dei criteri del confronto, confronto asintotico, Abel.

converge

11. Studiare, in tre modi diversi, la serie

∞ n=2

 2 log

 1 + 1

n

 − log  1 + 2

n



,

avvalendosi dei criteri del confronto asintotico, della primitiva, di Raabe.

converge

12. Studiare, in quattro modi diversi, la serie

∞ n=2

 1 log n − 1

n

 ,

avvalendosi dei criteri del confronto, confronto asintotico, condensazione, Raabe.

diverge

13. Studiare, in quattro modi diversi, la serie

∞ n=0

(3 + sin n) ⁿ 2 ⁿ + 3 ⁿ + 5 ⁿ ,

avvalendosi dei criteri della radice, confronto, confronto asintotico, Abel.

diverge

2

14. Dimostrare che le serie

a)

∞ n = 1 n dispari

1

n , b)

∞ n = 2 n pari

1 n

sono divergenti.

15. Studiare la serie
^∞

n=1

a n , dove a n =

⎧ ⎨

⎩

1/n ² se n `e pari 1/n se n `e dispari

diverge positivamente

16. Studiare la serie

∞ n=1

a n , dove

a n =

⎧ ⎨

⎩ 1/ √

n se n `e un quadrato perfetto, n
1 1/n <sup>2</sup> se n non `e un quadrato perfetto, n
1

diverge positivamente

17. Studiare la serie

∞ n=2

a n , dove

a n =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎩ log n

n se n `e pari

1

n + 1 log 1

n + 1 se n `e dispari

converge semplicemente, non converge assolutamente

18. Se n `e un numero naturale positivo e il numero naturale d `e un divisore di n, si scrive d | n. Il divisore d si dice proprio se 1 < d < n.

Sia C la costante di Eulero-Mascheroni e σ n := 1 + 1 2 + 1

3 + . . . 1 n . Studiare la serie

∞ n=2

(−1) ⁿ

⁺ⁿ

a ² _n , dove

a n =

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

σ n − C

n se n `e dispari, n
3

max{d ∈ N : d | n, d proprio}  ₋₁

se n `e pari, n
2

converge

19. Studiare la serie _∞

n=2

log _n 

4 + 1 n − 1

 .

diverge

20. Studiare la serie _∞

n=2

log _n!

n ^{log n} + e ⁿ

 .

diverge

3

21. Studiare la serie _∞

n=2

log _cos



1 + 1 n ²

 1 /3  .

diverge

22. Studiare la serie _∞

n=2

1

log ² n log _σ

n

(settsinh n).

dove σ n ` e la somma parziale della serie armonica.

converge

4