ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Esercizi di allenamento per la prova scritta Esercizio 1. Si consideri la funzione
f (x) = |x + 1|e| arctan x−1|
.
(a) Determinarne il dominio D, i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti;
(b) studiare la derivabilit`a, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f ; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e calcolare i limiti significativi di f0;
(c) disegnare un grafico qualitativo di f .
Esercizio 2. Studiare la convergenza assoluta e la convergenza della serie
+∞
X
n=2
(x − 3)n|x − 1|n
32
log n al variare di x ∈ R.
Esercizio 3. Calcolare il limite
lim
x→0+
cos sinh x − eαx2 + x174 log x e−1x + x sin3x al variare di α ∈ R.
Esercizio 4. Determinare per quali α, β ∈ R, con 0 < α < β, l’integrale Z +∞
0
1 xα+ xβ dx converge e calcolarlo per α = 12, β = 2.
Esercizio 5. Si consideri la funzione
f (z) = z2− 1, z ∈ C.
Si determinino e si disegnino sul piano di Gauss gli insiemi A =n
z ∈ C : |f (z)| ≤p
1 + 4(Im z)2o B =z ∈ C : f(z2) = 2i − 1 − 2
√3 .
Esercizio 6. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra y =p|x| e y =
(2 − x x ≥ 0 3x + 2 x < 0 .
Esercizio 7. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra y = sign (x)p|x| e y = 2 − |x + 1|.
