CAPITOLO 5
SIMULAZIONI
Sulla base delle informazioni relative alle caratteristiche dei cavi e della topologia della rete, è possibile eseguire una simulazione della risposta del canale di trasmissione, sia nel dominio del tempo che della frequenza.
In particolare la conoscenza delle costanti primarie, che caratterizzano gli spezzoni dei cavi, ci permette di ricavare l’andamento della tensione e della corrente in funzione della frequenza e del punto della rete considerato, al variare sia dell’impedenza del carico che del generatore e delle condizioni di utilizzo della rete.
Per fare questo è stato utilizzato un metodo basato sulle Wavelet Expansion
(WE), metodo particolarmente adatto per rappresentare funzioni irregolari come
possono essere quelle facilmente variabili o degradate dai numerosi disturbi presenti in linea.
Nella prima parte di questo capitolo viene affrontata l’analisi di una linea di trasmissione tramite Wavelet Expansion. Prima viene studiato un sistema in cui sono presenti solo sorgenti concentrate.
Nella seconda parte del capitolo viene descritto lo studio di una linea di trasmissione tramite WE applicato al caso in esame.
5.1 La Wavelet Expansion
Al contrario della trasformata di Fourier, che, mettendo in relazione una funzione nel dominio del tempo con una funzione nel dominio della frequenza, richiede l’utilizzo di funzioni seno e coseno a tutte le frequenze, nella WE, il segnale viene guardato attraverso una finestra, la quale ci permette di processare il segnale attraverso differenti scale, ossia differenti larghezze della finestra.
L’utilizzo di una finestra stretta ci permette di rilevare anche piccole caratteristiche del segnale, ossia con alto contenuto frequenziale, mentre con una larga si ottiene uno studio meno accurato in frequenza ma riguardante un ampio intervallo temporale.
La finestra utilizzata dalla WE non ha una dimensione fissa ma lavora come se fosse uno zoom adattativo. In pratica la funzione trasformata è funzione di due parametri: tempo e scala. Una caratteristica che distingue notevolmente la WE e la FT è la scelta delle funzioni usate per rappresentare un segnale, infatti nella WE non sono utilizzate funzioni definite nell’intero campo reale tipo sin e cos.
Il primo passo da compiere nell’utilizzo della WE è la definizione della funzione finestra ψ(t) chiamata “Wavelet madre”, che può essere reale o complessa, nella quale compare il fattore di scala s.
ψ s( u)=s -p ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ s u ψ , p≥0, s≠ (1) 0
dove p è un parametro utilizzato per la normalizzazione.
La localizzazione di un segnale nel tempo avviene semplicemente traslando ψs nel seguente modo:
ψ s,t(u)=ψ s(u-t)= s -pψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − s t u (2)
La trasformata Wavelet Continua o CWT (Continuous Wavelet Transform) di un segnale f(t) viene definito come la correlazione tra il segnale e la Wavelet madre:
f~(s,t)=
∫
+∞∞
− ψ s,t (u)f(u)du= ψ s,t , f = ψˆs,t , fˆ (3)
dove per ψˆs,t e si intendono rispettivamente le Trasformate di Fourier della Wavelet Madre e della funzione f, mentre l’ultima uguaglianza è data dall’applicazione del teorema di Parseval.
fˆ
Le Wavelet madre possono essere reali o complesse; nel caso siano reali la formula di ricostruzione è la seguente:
f(u)=C-1
∫∫
s 2p-3ψ s,p(u)f f~(s,t)dsdt (4) dove C∫
+∞ ∞ − ≡ ξ ξ d ) ( ˆ ξ ψ 2 <∞ (5)dove Ψ(ν) è la FT della Wavelet madre.
La CWT stabilisce la relazione tra la funzione nel tempo e lo spazio bidimensionale tempo-scala. Per ogni scala è data la somiglianza tra la Wavelet
madre ed il segnale a tempi differenti; viceversa, per ogni istante di tempo sono date le informazioni sulla somiglianza tra il segnale in quell’ intorno di tempo e la versione della Wavelet madre.
Se la funzione ψ(u) è centrata in t0 e ha raggio T, allora ψs,t è centrata in st0+t e ha raggio sT, allora il CWT dà informazioni sulla seguente finestra
[st0+t-sT, st0+t+T]
la quale è stretta per bassi valori di s permettendo di ottenere un’alta risoluzione nel tempo. Per valori maggiori aumenta la larghezza della finestra e diminuisce la risoluzione. Supponiamo che il centro e il raggio di ψˆ u( ) siano rispettivamente e ν0 e Ω, il centro e il raggio di ψˆ(s,u) siano rispettivamente
s 0 ν e s Ω , quindi il CWT dà informazioni sulla finestra in frequenza
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω + Ω − s s s s 0 0 ,ν ν
bassi valori di scala portano ad avere una larga banda e un’alta frequenza di centro banda, dando informazioni sulle alte frequenze del segnale, con bassa risoluzione in frequenza e alta risoluzione nel tempo. L’uso dell’espansione nel dominio Wavelet ci permette anche di poter rappresentare anche
gli operatori. L’operatore derivata si rappresenta con una matrice a coefficienti costanti. Per quanto riguarda l’operatore differenziale la seguente equazione differenziale 0 ) 0 ( y y u ay y = = + & (6)
nel dominio Wavelet viene risolta tramite il seguente sistema: (7) ⎩ ⎨ ⎧ 0 0 0 b Y y Y U aY Dy = = = =
dove D è l’operatore differenziale e b0 è il vettore delle costanti, che contiene il valore delle funzioni basi nel bordo sinistro dell’intervallo ed y è il vettore dei coefficienti dell’espansione.
Per quanto riguarda l’operatore integrale la seguente espressione integrale y(t)-y(0)+a
∫
ty d =∫
u d (8) 0 ( ) 0 ( ) τ τ τ τ τnel dominio Wavelet diventa
Id[Y-Y0]+aTY=TU (9)
dove Id è la matrice identità e T è l’operatore integrale.
Il termine Y0 esplicitato ci dice quali sono le condizioni iniziali.
La soluzione si ottiene facilmente risolvendo il seguente sistema:
5.2 Linea a singolo conduttore
Consideriamo l'equazione di una linea a singolo conduttore e mostriamo la formula matematica in questo semplice caso.
In questo caso l'equazione , può essere riscritta nella seguente forma:
∑
∞ = − + = 1 ) ( k t k dc k e R R t α ξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =∑
∞ = − 1 / 2 2 1 1 ) ( k t x i ci e r t τ πσ ξ (11)con σ ed ri, che sono rispettivamente la conducibilità ed il raggio del conduttore i-esimo, essendoτci =µ σ0 ri2 la costante di tempo che caratterizza l'effetto pelle transitorio all' interno della linea del conduttore; i coefficienti x sono gli zeri delle funzioni di Bessel di primo tipo del primo ordine. In questo modo l’equazione k ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + = ∂ ∂ −
∑
− t t z v C t z Gv z s z i t t z i L t t z i e R t z i R z t z v t k dc k ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( * ) , ( ) , ( αpuò essere scritta:
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∗ + + ∂ ∂ = ∂ ∂ −
∑
= − t t z v c t z gv z t z i t t z i e r t z i r t t z i l z t z v N k t k dc k ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 α (12)con αk =xk /τc.
L’espansione wavelet nel dominio del tempo per la soluzione delle equazioni di MTL già proposte dagli autori [ 4], è generalizzata compresa la dipendenza dalla frequenza dei parametri.
Concentriamo la nostra attenzione sull'ultimo termine dell'equazione di tensione:
( ) 1 1 0 ( ) ( ) k k t N N t t k k k k i z t i z r e r e d t α α τ τ τ τ − − − = = ∂ , ∂ , ⎧ ∗ ⎫= ⎨ ∂ ⎬ ∂ ⎩ ⎭
∑
∑ ∫
(13)Definiamo la base wavelet con dimensione n = 2m; b(t) = [ b1(t)..., bn(t) ] T; una funzione generica f(t) può essere espansa in un vettore di coefficienti f = [ f1, f2..., fn ] come f(t) = fb(t); ancora, come spiegato in [ 13 ], un prodotto y(t) = g(t)h(t) fra due funzioni può essere espresso nel dominio wavelet come prodotto fra una matrice diagonale G e un vettore di coefficienti h come y =h*G. Gli ingressi di G sono i campioni della funzione g(t) e n = 2m i punti equidistanti sull'intervallo. L' equazione (12) può essere riscritta come
1 0 1 0 ( ) ( ) k k k k ( ) t t N N t t k k k k i z u z t r e α eα τ τ τd r e α eα τf zτ τd τ − − = = ∂ , , = = , ∂
∑
∫
∑
∫
(14) Come indicato 0 ( ) k ( ) t h z t, =∫
eα τf z,τ τd (15) che effettuando l'espansione del wavelet della h e del prodotto fra eα τk e la f0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) t k z t =
∫
z τ τd h b f e b (16)Dove e2k è una matrice diagonale a coefficienti costanti, i cui ingressi sono i campioni (conosciuti) della funzione esponenziale eα τk mentre h(z, t) = h(z)b(t) e
f(z, t) = f(z)b(t) perché ora i coefficienti sono funzione di z. Dall'equazione multiying del rigth (11) b(t)T e sfruttando l’ortogonalità della base wavelet e la definizione dell'operatore integrale, otteniamo
h( )z =f( )z ⋅e2k⋅TT (17)
dove la T è la matrice che rappresenta l'operatore integrale nel dominio wavelet. Nello stesso senso, compreso il termine esponenziale e−αkt possiamo scrivere
(18) 0 ( ) k k ( ) h ( t t g z t, =e−α
∫
eα τf z,τ τd =eα τh z t, ) 1k eche, nel dominio wavelet è ancora un prodotto di funzione, che è trasformata come
g( )z =f( )z ⋅e2k⋅TT⋅ (19)
dove e1k è una matrice diagonale a coefficienti costanti, i cui ingressi sono i campioni della funzione esponenziale (conosciuta) e−αkt .
Ancora f(z) rappresenta l'espansione della derivata nel tempo della corrente i(z, tau) , quindi possiamo scrivere f(z) = i(z)DT dove D è la matrice che rappresenta l'operatore integrale nel dominio wavelet.
Quindi l'espansione wavelet nel dominio del tempo della funzione
1 0 ( ) k k ( ) t N t k k u z t r e−α eα τ f zτ τd = , =
∑
∫
, (20)è 1 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) N N T T T T k k k k k k k k z r z z r z = = =
∑
⋅ ⋅ ⋅ =∑
⋅ ⋅ = u i D e T e i D e T e i ⋅ K (21)5.3 Linee di trasmissione con carico lineare resistivo
Ora le equazioni della linea della trasmissione (12) possono essere scritte in una forma più compatta, nella seguente forma
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + = ∂ ∂ − + + ∂ ∂ = ∂ ∂ − t t z v c t z gv z t z i t z u t z i r t t z i l z t z v dc ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (22)
Per cominciare può essere conveniente considerare le condizioni iniziali (v ed i per t=0), le equazioni (22) sono integrate nel tempo fra 0 e t nel seguente modo
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − = ∂ ∂ − − − = ∂ ∂
∫
∫
∫
∫
∫
t t t t t dc z v t z v c d z gv d z z i d z u z i l d z i r d z t z v 0 0 0 0 0 )] 0 , ( ) , ( [ ) , ( ) , ( ) , ( )] 0 , ( [ ) , ( ) , ( τ τ τ τ τ τ τ τ τ (23)Ora l'espansione wavelet nel tempo di tensione e corrente, date rispettivamente da v(z, t) = v (z)b(t) ed i(z, t) = i(z)b(t), può essere sostituita nella (23)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ∂ ∂ − − − = ∂ ∂
∫
∫
∫
∫
∫
t t t t t dc t b z cv d b z gv d b z i z d b z u t b z li d b z i r d b z v z 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ (24)Considerando la definizione dell'operatore integrale nel dominio wavelet, scriviamo le equazioni precedenti come:
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ∂ ∂ − − − = ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z cv T z gv T z i z T z u z li T z i r T z v z T T T T dc T (25)
Moltiplicando a destra la (25) per (TT)-1 e scrivendo le equazioni sotto forma di matrice otteniamo ) (z v z ∂ ∂ i(z) = v(z) i(z) ) ) ( ( 0 1 K rI T l d T − − − − 0 ) ) ( (−c TT −1 −gId (26)
dove Id è la matrice identità di giuste dimensioni.
L'equazione (22) conduce alla seguente soluzione analitica
v(z) i(z) = v(0) i(0) eKz (27)
Per ottenere con una buona accuratezza la funzione esponenziale nella (23), è necessario calcolare l'esponenziale per segmenti di linea elettricamente corti, quindi per ciascuno possiamo scrivere
v(z+∆z) i(z+∆z) =v(z) i(z) eK∆z (28)
Tenendo conto della suddetta rappresentazione, si ottiene il seguente sistema algebrico: = − − T i v i i i v L i L v L i L v ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( M M T L E E 0 0 0 0 0 0 0 M M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bc L B E I E I E I E I c X d X d X d X d K K K K K K K K M M M M M M M M K K M M M M M M M M K K K K K K K T
5.4 Analisi delle simulazioni
Per eseguire le simulazioni è stato utilizzato un programma scritto in linguaggio Matlab, attraverso il quale è stato implementato il metodo di analisi descritto nei paragrafi precedenti.
E’ necessario avere delle informazioni relative alle caratteristiche della linea, alle caratteristiche del segnale immesso in linea e ai parametri utilizzati per la Wavelet Expansion.
La possibilità di trasmettere un segnale, indipendentemente dal protocollo usato, dipende dalle caratteristiche della linea di trasmissione, cioè parametri per unità di lunghezza del cavo in questione e dalla lunghezza del cavo stesso.
Abbiamo usato un cavo standard, precedentemente utilizzato nella letteratura scientifica e di cui è noto il modello dell’effetto pelle nel dominio della frequenza. Il cavo in questione è indicato con la sigla RG-21 ed il modello è descritto in [19]. In particolare le equazioni che costituiscono il modello nel dominio della frequenza sono le seguenti:
( )
Z ω = +R K jω + j Lω( )
Y ω = +G j Cω con: 3.5 / R= mΩ m , c K =2.5µΩ/cm, L=2.65nH cm/ , G=0 /S cm, 0.9434 / C= pF cmLe resistenze di ingresso e di uscita del cavo sono pari a 53 Ω, pari alla resistenza caratteristica. Conoscendo i suddetti parametri è stato possibile calcolare i parametri del modello da noi utilizzato (ossia induttanza, capacità e dimensioni del conduttore) al fine di poter rappresentare l’effetto pelle come somma di infiniti esponenziali come illustrato nei paragrafi 5.2 e 5.3.
Anche la lunghezza del cavo gioca un ruolo determinante; per questo tipo di cavo abbiamo assunto una lunghezza massima pari a 20 m, oltre la quale l’attenuazione del segnale è eccessiva.
Il segnale inviato ha un andamento simile alla figura 5.1.
Per evidenziare la presenza delle sinusoidi a 120 KHz, l’ampiezza della sinusoide a 50 Hz è stata ridotta da 220 V a 1 V. Per eseguire le simulazioni è stato utilizzato un segnale caratterizzato da un’ampiezza di 220 V.
In ascissa abbiamo la variabile tempo espressa in secondi ed in ordinata abbiamo l’ampiezza ridotta, espressa in Volt.
Nella figura sottostante è rappresentato un segnale conforme al protocollo X-10. E’ stato preso in considerazione un solo ciclo di sinusoide, per non introdurre inutili complicazioni.
Figura 5.1
Sappiamo che per trasmettere un bit con il protocollo X-10 occorrono 3 burst, ciascuno della durata di 1 ms. In un secondo vengono trasmessi 5 bit. Per ottenere una trasmissione a 10 Mbs, effettuata ad esempio dai modem PLC per reti domestiche, occorre sovrapporre alla frequenza di rete una portante di 108 Hz.
Considerando un solo periodo di sinusoide per burst, la frequenza dovrà essere di 2 Ghz, con un periodo pari a 0.5e-9 secondi.
Le figure successive mostrano i risultati ottenuti per due diverse frequenze del segnale di burst.
La figura 1 mostra il segnale di ingresso (in blu) ed il segnale di uscita (in verde) per una frequenza del burst pari a 0.1 GHz, con la presenza di effetto pelle.
Figura 5.2
Le due figure successive invece sono relative ad una frequenza del segnale di burst pari a 0.2 GHz, ossia una bit rate pari a 1 Mbit/sec, rispettivamente in presenza ed in assenza di effetto pelle.
La figura 5.3 mostra che la velocità di 1 Mbit per secondo, per questo tipo di
cavo, è la massima possibile, dal momento che maggiori velocità causano
Figura 5.3
La necessità di considerare questo effetto in questo tipo di calcoli è resa evidente dalla figura 5.4, dove si nota come il risultato ottenuto non considerando la
dipendenza dalla frequenza dei parametri, porta ad una sottostima della attenuazione del segnale e di conseguenza ad una impossibilità di valutare correttamente la reale possibilità di effettuare una trasmissione corretta.
In conclusione si può dire che in presenza di effetto pelle, utilizzando questo tipo di cavo si riesce ad effettuare una trasmissione di segnale con bit rate di 1 Mbs; questo è il valore minimo per le applicazioni a larga banda utilizzando le PLC. Per il futuro, utilizzando un altro tipo di cavo, si potranno effettuare trasmissioni a bit rate maggiore soddisfacendo i requisiti di banda di una rete locale.
