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(1)

ANALISI MATEMATICA 2 - II prova intermedia - 30 novembre 2015

Il NUMERO della FILA è la metà dell’intero presente nel testo dell’esercizio n ◦ 5.

Fila 1

1. 2 −3/2 (5 3/2 − 1).

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

4x +y

2

⃗i 1 + x

2

4y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −2 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 2 log(x 2 + y 2 ) − 2 log 2.

3. − 49 1 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 6π.

5. 2 3 π(3 3/2 − 1).

6. 49π.

Fila 2

1. 3 −3/2 (5 3/2 − 1).

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

6x +y

2

⃗i 1 + x

2

6y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −3 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 3 log(x 2 + y 2 ) − 4 log 3.

3. − 36 1 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 9π.

5. 2 3 π(5 3/2 − 1).

6. 36π.

Fila 3

1. 4 −3/2 (5 3/2 − 1).

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

8x +y

2

⃗i 1 + x

2

8y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −4 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 4 log(x 2 + y 2 ) − 6 log 4.

(2)

3. − 25 1 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 12π.

5. 2 3 π(7 3/2 − 1).

6. 25π.

Fila 4

1. 5 −3/2 (5 3/2 − 1).

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

10x +y

2

⃗i 1 + x

2

10y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −5 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 5 log(x 2 + y 2 ) − 8 log 5.

3. − 16 1 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 15π.

5. 2 3 π(9 3/2 − 1).

6. 16π.

Fila 5

1. 6 −3/2 (5 3/2 − 1).

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

12x +y

2

⃗i 1 + x

2

12y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −6 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 6 log(x 2 + y 2 ) − 10 log 6.

3. − 1 9 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 18π.

5. 2 3 π(11 3/2 − 1).

6. 9π.

Fila 6

1. 7 −3/2 (5 3/2 − 1).

(3)

2. Non si può escludere alcun valore di α, perché vale l’uguaglianza delle derivate in croce, ma il dominio A NON è semplicemente connesso; tuttavia x

2

−y +y

2

⃗i 1 + x

2

+y x

2

⃗i 2 è proprio l’esempio di campo irrotazionale non conservativo; mentre di x

2

14x +y

2

⃗i 1 + x

2

14y +y

2

⃗i 2 si può trovare facilmente un potenziale. Quindi α = −7 è l’unico valore per cui ⃗G è un gradiente. Il potenziale richiesto è

˜

φ(x, y) = 7 log(x 2 + y 2 ) − 12 log 7.

3. − 1 4 .

4. Si può applicare il teorema di Green e calcolare l’integrale doppio ∫∫

D dxdy, dove D è la parte di piano compresa fra le due ellissi. Si ottiene 21π.

5. 2 3 π(13 3/2 − 1).

6. 4π.

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