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(1)

(fK

o§- - --- -

T

ARCHI EQUILI BRA TI

DISSERTAZIONE E TESI

PRESENTATE

ALLA COMMISSIONE ESAMINATRICE

DELLA

Regia Scuola d'Applicazione per gl'Ingegneri

IN TORINO DA

LANZlVECCHil OTTlVIO

da ~lessandrla PEA OTTENERE IL DIPLOMA

DI

INGEGNERE L!URE!TO

1869 '

TORINO

TIP. CARLO FAVALE E COMP.

(2)

,

(3)

AI MIEI DILETTI GENITORI

AI MIEI PARENTI.

(4)
(5)

ARCHI EQUILIBRATI

Archi equilibrati diconsi quelli che sotto l'azione delle forze estrinseche da eui sono sollecitati non sono soggetti ad inflettersi, ma solo ad essere compressi od allungati, cosichè non possa in essi avvenire nè rotazione, nè scorrimento di . una sezione qua- lunque relativamente ad una sezione vicinissima.

Le forze che tendono a produrre flessione in un prisma ini- zialmente curvo non sono altro che le componenti normali all'asse delle forze estrinseche; quindi, acciocchè un arco sia equilibrato, bisogna che in ogni suo punto la risultante di tutte le forze sol- lecitanti sia diretta secondo la tangente all'arco.

I.

Equaz·ioni d'equilibrio

fra le forze estrinseche e le forze rnolecola·ri.

Sia D AB (fig. l) l'asse di un arco simmetrico rispetto alla verticale passante sul mezzo della D B e sostenuto in B e D da due appoggi situati in uno stesso piano orizzontale; sia esso

(6)

6

sollecitato da forze qtl'aJunque che avranno per effetto di produrre una spinta orizzontale su ciascun ritegno ed una pressione ver- ticale. Potremo supporre tolto l'appoggio ed applicate in B due forze P e Q relativamente eguali e contrarie alla pressione ver- ticale e spinta orizzontale che l'arco esercita sull'appoggio.

Siccome poi l'arco è simmetrico, potremo supporre tolta la parte A D e considerare solo la parte A B che si riterrà come incastrata nel punto A che assumo come origine dei due assi o1togonali Ac ed Au ai quali riferisco l'arco.

Considerando una sezione normale all'arco passante per un punto M, la risultante di tutte le forze applicate dal punto M al punto B deve essere diretta secondo la tangente all'arco, e sia M T çhe diremo T; ora questa produce una pressione su A M, e l'arco AMreagisce, per cui possiamo supporre tolta la parte AM e sostituita la reazione M T'

==

M T.

Sieno:

R la forza riferita all'unità di lunghezza dell'arco MB e di- retta secondo la retta che fa l'angolo rp coll'asse della ·r;

e ed u le coordinate del puuto M;

s ed S le lunghezze dell'arco A M ed AB;

Si avrà:

T

_!!__!_

d s

+

.,

(s

s R Cos rp d s - Q

==

o

l

du fs

T

dS + .

s R Sen rp d s - V::= o

(l~.

Mediante queste equazioni si possono determinare le reazioni Q e V, la curva che deve presentare un arco affinchè sia equi- librato sotto l'azione di date forze e l'azione. molecolare T pro- vocata in una sezione normale qualunque,

(7)

7

II.

Caso di un arco equilibrato che deve sopportare un peso p

uniformemente distribuito sulla sua proiezione orizson~aZe.

ia p il peso corrispondente all'unità di lunghezza della pro- iezione orizzontale dell'arco;

c la semi-corda;

m la monta.

Si avrà:

R d s

==

p d ~ 1'

==

90 ..

Quindi dalle equazioni generali d'equilibrio si avrà:

T

::=Q ?

T

~:

==V-p (c- e)

~

(II).

Dividendo la seconda di queste equazioni per la prima, ed osservando che :

risulta:

d'onde:

V== p c,

du p~

dS~Q;

du==.

Q

pz

a •.

(8)

8

Integrando e determinando la costante in modo che per z ==o sia t,(,== o, si trova:

pz'l.

u== 2Q. ((X)

Per determinare la spinta orizzontale Q basta osservare che pel punto B ossia per Z

==

c si ha u

==

m;

quindi:

da rui:

P es

( J - - - ·

" " - 2rn '

il trovato valore di Q_ si ponga nell'equazione ((X), e risulta la equazione:

m o u:=

7

z-;

la quale rappresenta la curva secondo cui deve essere foggiato l'asse dell'arco affinchè sia equilibrato. Questa curva sarà una parabola col suo vertice in A., avente pel suo asse la verticale A u e passante pei due punti B, D.

Per determinare ora la pressione in una sezione normale qua- lunque dell'arco si elevino al quadrato le equazioni (II) e si so~­

mino; avremo:

T

== Jl

Q'l. +P~~~ .

(9)

9 Ponendo in quest'equazione il valore di Q trovato si ha:

T

~p

l /_c_4_

+

z2

V

4m~ ·

Questa pressione è minima per z

==

o, ossia .alla chiave del- l'arco, ed è:

T - - - · c- pc~ 2m

ossia essa è eguale alla spinta orizzontale Q; è massima invece all'imposta, ossia per z ~ c:

T- - p c~ l / 4 m~

~ -2m

V

1+ --c'J.-.

Quando l'arco è a monta molta depressa - - i 4mi - , è una fra- c

zione trascurabile a fronte dell'unità; quindi:

ossia con molta approssimazione si può ritenere che in ogni se- zione dell'arco si verifichi la stessa pressione; quindi la sezione aarà costante.

Ill.

Un solido il cui asse è un arco di circolo a monta molto de- pressa, ed a sezione costante si può ritenere come un arco equi- librato.

Considerando (fig. 2) un solido inizialmente curvo il cui asse nella sua forma primitiva è un arco di circolo caricato di un

(10)

lO

peso uniformemeute di. tribuito sulla ua pro1ezwne orizzontàle, l'equazione determinatrice eli Q ossia della pinta orizzontale è così espressa:

p 'r 3 <I> Oos <I> - 6 <I> Se n 2 <I> Cos cf>-3 Sen <I> - '7 Sen3 cf>

Q==

2

3 <I>

+

6 <I> Cos2 <I> - 9 Sen <I> Cos <I> ;

in cui cf> è l'ampiezza clell angolo A o B.

Sviluppando in serie i Seni e Cos-ini eli et>, e quando l'arco sia abbastanza piccolo tra curando le potenze superiori alla quinta, si ha:

<f>3 cf>5

Sen cf> -cf> - - -

+ - - -

- 6 120"

cf>2 cf>4

Coscf>:=:1- - + - -

2 24

sostituendo questi valori di Ben cf> c Cos <I> ue1Ja citata espres- sione di Q. facendo i prodotti e trascura.nclo, come già si disse, le potenze dell'arco <I> superiori alla quinta, si ha:

Q ==p r.

Ora se in un circolo eli raggio 'i. si considera un arco di semi- corda c, di monta m, si ha la relazione:

la quale, potenclosi trascurare 1n2 a fronte di 2m r, allorquando si tratta eli un arco circolare a monta molto depressa, si ri- duce a:

c'== 2m r;

d'onde:

(11)

11 Ponendo que~to valore appros imato di r nell'espre sione di Q, i ha:

che è lo stesso valore della spinta osizzonta]e Q, che venne tro- vato nel risolvere il problema precedente; duuque un arco circo- lare a monta molto depressa e caricato di un peso uniformemente

distribuito sulla sua proiezione orizzontale, si trova per rapporto alla spinta orizzontale nelle stesse condizioni eli un arco equi- librato.

Vediamo ora se l'arco che si considera trovasi, per rapporto alle pressioni che hanno luogo in una sezione qualunque nelle stesse condizioni eli un e:~.rco equilibrato.

Dicendo Q2 la pressione sopportata in una sezione qualunque dalla :fibra maggiormente compressa, essa sarà data dall'equazione:

in cui:

v'' è la distanza di quella :fibra dalla para11ela all'asse neutro condotta pel centro di superficie della sezione.

fJ- il momento infletténte delle forze a destra della sezione considerata, rispetto al suo asse delle fibre invariabili T la somma algebrica delle componenti tangenziali sul punto M delle forze a destra della sezione considerata . .0. l'area di questa sezione.

Sostituendo ora in questa espressione i valori di f.L e di 1';

quali sono dati dalle due equazioni.

1 Q ( ~ Q

f.L

==

/T p 'i"· sen <p- sen- <l>)+ Q r (cos <p-cos <l>):

T=::. - Q cos p - p r sen 2 p :

(12)

]2

e ponendo cos cp =: 1, cos <I>::= 1 e trascurando i termini moltipli- cati per scn2 <p: sen~ <T> i ha:

o sia che le pre sioni totali supposte uniformemente distribuite sulle sezioni a cui si riferiscono, sono eguali alla spinta orizzon- tale Q, ed essendo questo conforme a quanto si è notato nel precedente problema, si può conchiudcre che un arco a monta molto depressa e caricato di un peso uniformemente distribuito sulla sua proiezione orizzontale, è anche, per rapporto alle pres- sioni che hanno luogo in una sezione qualunque, nelle stesse con- dizioni di un arco equilibrato.

IV.

Caso di un arco equ·ilibrato che deve sopportare ·un peso p uniformemente distribuito sopra la lunghezza dell'arco.

In questo caso nelle equazioni generali (1) si sostituisca ad R il peso p, ed a cp il suo valore, ossia si faccia cp =: 90°, per cui le equazioni d'equilibrio che convengono al nostro caso saranno:

T::

=:Q

l

T (fS=: du V-p,S- s)

(III).

Dividendo la 2• per la l • ed osservando che per ragioni di simmetria

V=:pS

(13)

si ha:

d'onde:

s dz :=

jL

du;

p

13

,a:

equazione differenziale di l o ordine della curva che deve aver, l'arco perchè sia equilibrato, la quale non è che una catenaria omogenea.

Troviamo una relazione finita tra s ed u; perciò si elevino al quadrato le equazioni (III), e· si sommino, avremo:

(~).

Siccome Q è costante, ·differenziando quest'ultima equazione abbiamo:

T d T =::..p"-s d s.

-- Ma dalla seconda equazione (III) si deduce:

p

x

d u

==

p' s d s;

onde sarà:

T d T=::.. p Tdu, ossia:

d T ==.p du;

(14)

14

ed integrando:

T

=:ptt

+C.

Per determinare C osservisi che per u ==o T== Q, quindi:

T~pu +Q (c)

Sostituendo ora nell'equazione differenziale (a) il valore di S ricavato dalla (b) ed il valore di T ricavato dalla (c), si avrà:

la quale si potrà porre sotto la forma:

Integrando e determinando la costante in modo che per ~

==

o

si abbia u ==o, si ha:

. .

u +_!L+ Vru~ +2 _!L u

z

==

_!j_log' p p

p

!L

p

In questa equazione Q è ancora indeterminata; ecco ora come si perviene a trovare l'espressione in funzione dei dali del pro- blema.

(15)

Dalla (c) sì ricava:

u==

T-Q

p

15

Mettendo questo valore nella (d) e facendo le debite riduzioni si ha;

Q T

+ r

1_'2 - Q'

z

== -

log' ---~----=--

p

Q

Esprimiamo ora la condizione che la curva deve passare per il punto B, cioè che per s

==

c sia u.

==

m, ed osservando che in virtù della (C) si ha

T==Q+pm avremo:

Q Q

+

p m

+ r

p2 m'

+

2 p m Q c

== _ , _

log' ---"----"'---=--- --"--....::..

p

Q

equazione che può scriversi in quest'altro modo:

pc

Qe 0 ==Q+pm+Y p2m2+2pmQ.

Come si vede, lungo e laborioso assunto sarebbe il determi- nare per tentativi il valore di Q che soddisfa a quest'equazione; onde potrà convenire il seguente procedimfi)nto:

Pongasi:

pc

tt==Qe Q

v== Q +p m

+ J1

p 'l m'+ 2 p m Q

(f)

:g);

(16)

16

e prendendo per variabili x e Q nella

c n

e. v e Q nella (g), si costruiseano le due curve AA' B B' (fig. 3) riferite agli assi ortogonali o Q, o V; la prima è una logaritmica, la seconda una parabola.

Per il punto Z in cui queste due curve si riscontrano si avrà evidentemente x== v, ossia:

pc

IT .

Q e

==

Q +p m

+

Jl p2 m~

+

2 p m Q '

quindi se la rappresentazione vien fatta· in una data scala, la ascissa O z rappresenterà· il cercato valore di Q. Determinata. cosi la Q, la (d) ci darà l'andamento della curva; la (c) la compres sione su una sezione qualunque dell'arco; e se chiamiamo S la lunghezza dell'arco AB, questa sarà data dalla (b) quando vi si metta per T il suo valore corrispondente al punto B, e si otterrà:

S =.:

V

. m2

+ p

2m Q.

v . .

Essendo gli archi costituiti di materie più o meno elastiche, le pressioni avranno per effetto di accorciarli; ed è utile nella pratica saper valutare questi accorciamenti onde conoscere quanto debba essere lungo l'arcq progettato, perchè, messo in opera, prenda le dimensioni volute.

Sia D AB , fig. 4: l'asse di un arco equilibrato; si consideri un,a porzione M M'== d s, per. effett'-' della compressione il punto M' passerà in M"; diciamo d s' l'archetto M'M". Prendasi in A

(17)

17 l'origine degli archi, cosichè sia .A M== S. La reazione moleco- lare sviluppata dal solido compresso sarà:

E

n

ds- d s' ds ==T;

d s - d s' , l' . t . l E

Ora d

8 e accorCiamen o proporziOna e, il modulo di elasticità,

n

la sezione normale dell'arco.

Integrando fra i limiti s

==

o ed s

==

S per avere il totale ac- corciamento S - S' subìto dal mezzo arco .AB, si ha:

. 1

rs

1

S- S'==- - Tds.

E ,/o

n

In ogni caso particolare si calcolerà il secondo membro che in generale sarà una pic·~ola quantità; la lunghezza dell'arco sarà quella fissata aumentata della quantità S - S'.

LANZAVEccau OTTAVio.

(18)
(19)

TESI LIBERE

MECCANICA APPLICATA ED IDRAULICA PRATICA.

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(20)
(21)

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