Scheda - Le funzioni, denizioni e prime proprietà

(1)

Scheda - Le funzioni, denizioni e prime proprietà

La denizione di funzione

Abbiamo visto a lezione che una funzione è una legge che permette di associare ad ogni valore dell'insieme di partenza (A), uno ed un solo valore dell'insieme di arrivo (B). In simboli

f : A −→ B

Un esempio di funzione è la legge che ad ogni autoveicolo associa la sua targa, oppure la legge che ad ogni città associa il numero dei suoi residenti. Mentre non è una funzione la legge che ad ogni gatta che vive a Lucca associa i propri

gli in quanto esisteranno sicuramente delle gatte che vivono a Lucca e che hanno partorito più gattini.

Un piccolo approfondimento: alcune proprietà delle funzioni: Data una funzione f denita tra gli insiemi A e B, sia a un generico elemento di A. Tramite la funzione f esso verrà associato ad un elemento di B che chiameremo immagine di a tramite f o anche f(a).

• La funzione f si dirà iniettiva se elementi dierenti di A hanno im- magini dierenti;

• La funzione f si dirà suriettiva se ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A.

• La funzione f si dirà biettiva se f è sia iniettiva che suriettiva.

Le gure della pagina seguente mostreranno gracamente il signicato di tali proprietà esemplicandoli tramite diagrammi.

(2)

Figure 1: La denizione di funzione iniettiva

Figure 2: La denizione di funzione suriettiva

Figure 3: La denizione di funzione biiettiva

(3)

Il calcolo del dominio di una funzione

Le funzioni che tratteremo sono dette a valori reali, in quanto A = R e B = R. Ritornando alla simbologia esposta prima, per le funzioni reali varrà

f : R −→ R

Per ragioni storiche, che non saremo noi a cambiare, il numero su cui opera la funzione f viene solitamente indicato con la lettera x ed il risultato delle operazioni richieste da f viene indicato con y, ovvero

f : x −→ y o anche y = f (x) Un esempio di funzione è la legge

y = x − 1 x − 3

Vediamo alcune associazioni che sono dettate nella funzione f f (0) = 0 − 1

0 − 3 = −1

−3 = 1

3 quindi f : 0 −→ 1 3 f (1) = 1 − 1

1 − 3 = 0

−2 = 0 quindi f : 1 −→ 0 f (2) = 2 − 1

2 − 3 = 1

−1 = −1 quindi f : 2 −→ −1 f (3) = 3 − 1

3 − 3 = 2

0 =IMPOSSIBILE!

(4)

Figure 4: Il diagramma mostra che f(0) = ¹₃; f (1) = 0; f (2) = −1;

L'esempio che abbiamo appena visto ci fa capire che una funzione cerca di associare tutti i numeri disponibili, ma su alcuni di essi, il calcolo non è pro- prio possibile!

La funzione dell'esempio non può associare il numero 3 ad alcun numero dell'insieme di arrivo perché l'operazione ³⁻¹₃₋₃ = ²₀, ovvero una divisione per zero, non è denita in Matematica!.

I numeri che comportano il calcolo di operazioni non denite devono essere esclusi dall'insieme dei numeri su cui la funzione si può calcolare. Tale osservazione ci porta a denire il dominio di una funzione come l'insieme dei numeri sui quali la funzione si può calcolare (detto in altre parole il Do- minio è il sottoinsieme dei numeri reali da cui parte una freccetta).

(5)

Figure 5: Il diagramma mostra che 3 /∈ D

Una domanda ora sorge spontanea: quali sono le operazioni non denite in Matematica che ci portano ad un'impossibilità nel calcolo? Le principali sono queste:

1. divisioni per 0;

2. radici di indice pari di numeri negativi;

3. logaritmi di numeri negativi o nulli.

Adesso siamo quindi in grado di stilare delle semplici procedure che ci per- metteranno di calcolare il dominio delle funzioni che incontreremo nel nostro percorso scolastico:

PASSO 1 - Calcolo del dominio di una funzione - Le regole principali

Per calcolare il dominio di una generica funzione è suciente applicare le tre regole seguenti:

1. se la x compare nel denominatore (il termine che sta sotto la linea di frazione) della funzione, allora bisogna calcolare per quali valori il denominatore si annulla e togliere tali valori dal dominio;

2. se la x compare nell'argomento di una radice di indice pari, allora bisogna porre l'argomento della radice maggiore o uguale di zero;

3. se la x compare nell'argomento di un logaritmo, allora bisogna porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero.

PASSO 1 - Rappresentazione del dominio sul piano carte-

siano

(6)

Per rappresentare sul piano cartesiano il dominio che hai calcolato per via algebrica, ricorda di tracciare una linea continua verticale passante per ogni numero che hai escluso dal dominio.

Vediamo qualche esempio di calcolo di dominio:

Esempio1

Calcoliamo il dominio della funzione

f (x) = x − 2 x + 1

Su questa funzione si applica soltanto la I regola perchè compare la x al denominatore e non vi sono radici né logaritmi. Quindi l'unica condizione da imporre è

x + 1 6= 0 =⇒ x 6= 1

L'unico numero da togliere dai numeri reali per ottenere il dominio è il numero 1. Se rappresentiamo gracamente il dominio abbiamo

Figure 6: Il dominio di f(x) Con la usuale notazione quindi scriviamo che

D = (−∞, 1) ∪ (1, +∞) Esempio2

f (x) = x²− 7x + 10

Su questa funzione non si applica nessuna regola perchè non compare la x al denominatore, non vi sono radici né logaritmi. Quindi, non essendoci nessuna restrizione da imporre, possiamo tranquillamente accettare tutti i numeri. Se rappresentiamo gracamente il dominio abbiamo

(7)

D = (−∞, +∞) Esempio3

Calcoliamo il dominio della funzione f (x) =√

2 − x

Su questa funzione si applica soltanto la II regola. Quindi l'unica condizione da imporre è

2 − x ≥ 0 =⇒ −x ≥ −2 =⇒ x ≤ 2 Se rappresentiamo gracamente il dominio abbiamo

D = (−∞, 2]

Esempio4

Calcoliamo il dominio della funzione f (x) = √³

x² − 1

Su questa funzione non si applica nessuna regola perché la radice compare con indice dispari quindi non rientra in quelle su cui si applica la II regola.

Quindi, non essendoci nessuna restrizione da imporre, possiamo tranquillamente accettare tutti i numeri. Se rappresentiamo gracamente il dominio abbiamo

(8)

Figure 9: Il dominio di f(x)

Con la usuale notazione quindi scriviamo che D = (−∞, +∞) Esempio5

f (x) = log (x + 1)

Su questa funzione si applica soltanto la III regola. Quindi l'unica condizione da imporre è

x + 1 > 0 =⇒ x > −1 Se rappresentiamo gracamente il dominio abbiamo

Figure 10: il dominio della funzione f(x) Con la usuale notazione quindi scriviamo che

D = (−1, +∞) Esempio6

Calcoliamo il dominio della funzione f (x) =

√x − 1 x − 3

Su questa funzione si applica sia la I che la II regola, infatti è presente una x al denominatore ed anche una radice di indice pari al cui interno vi è l'incognita. Quindi bisogna imporre due condizioni, ovvero

x − 3 6= 0 (I regola) e x − 1 ≥ 0 (II regola)

(9)

Siccome tali condizioni devono essere rispettate contemporaneamente, esse vanno inserite in un sistema. Quindi scriviamo

x − 3 6= 0 x − 1 ≥ 0 che, risolto, fornisce

x 6= 3 x ≥ 1

Se rappresentiamo gracamente il graco del sistema e, successivamente il dominio, abbiamo

Figure 11: Il graco di linea relativo al sistema (in alto) ed il dominio (in basso)

Con la usuale notazione quindi scriviamo che D = [1, 3) ∪ (3, +∞)

(10)

Esercizi Esercizio 1a

Determina se le seguenti leggi sono funzioni oppure no, motivando le risposte date:

(a) la legge che ad ogni persona italiana associa i lavori che ha svolto nella sua carriera professionale;

(b) la legge che ad ogni persona italiana associa la sua squadra di calcio preferita;

(c) la legge che ad ogni alunno del Giorgi associa le materie nelle quali ha riportato un debito formativo.

Suggerimento: La legge esposta al punto (a) può essere denita funzione se ad ogni elemento del primo insieme (ad ogni persona italiana) fa corrispon- dere un solo elemento del secondo insieme. Visto che esiste qualche persona italiana che, nella sua carriera ha svolto dierenti mansioni lavorative, possiamo concludere che...

Esercizio 1b

Ricordando che una funzione è una legge che associa, ad ogni elemento dell'insieme di partenza, uno ed un solo elemento nell'insieme di arrivo, sta- bilisci se le seguenti leggi sono delle funzioni:

a) la legge che ad ogni alunno/a di 4A associa la sua età

b) la legge che ad ogni cittadino residente a Lucca associa le sue proprietà immobiliari

c) la legge che ad ogni ragazzo/a di Lucca associa il nome di suo padre.

Esercizio 1c

Determina se le seguenti leggi sono funzioni oppure no, motivando le risposte date:

• la legge che ad ogni persona italiana associa la sua altezza;

• la legge che ad ogni persona italiana associa il suo partito politico;

• la legge che ad ogni alunno del Giorgi associa le materie in cui ha ottenuto voti più alti nell'ultima pagella.

(11)

Esercizio 2a

Rappresenta, mediante un diagramma le associazioni di alcuni numeri reali (che sceglierai tu) per le seguenti funzioni:

a) y = x²− 1 b) y = 3x − 2 c) y = 2^x− 4

(Suggerimento:) La gura seguente mostra una possibile risoluzione del punto a)

Esercizio 2b

a) y = 4 − x² b) y = 2x − 1 c) y =

1 2

x

Esercizio 2c

a) y = x − 3 b) y = 1 − x² c) y = 3^x+2

(12)

Esercizio 3a

Riporta su una tabella le associazioni dei punti che hai trovato nell'Esercizio 2 (puoi aggiungerne di nuove) e poi prova a rappresentare sul piano cartesiano il graco (indicativo) delle relative funzioni. (Suggerimento:) Proviamo a risolvere insieme l'esercizio per la funzione y = x²− 1. Stiliamo la seguente tabella

x y

0 -11 0

2 3

-1 0-2 3

3 8

-3 8

poi riportiamo i punti trovati sul piano cartesiano e cerchiam di unirli, trovando di conseguenza il graco (indicativo) della funzione in questione.

Esercizio 3b

Riporta su una tabella le associazioni dei punti che hai trovato nell'Esercizio 2b (puoi aggiungerne di nuove) e poi prova a rappresentare sul piano cartesiano il graco (indicativo) delle relative funzioni.

Esercizio 3c

Riporta su una tabella le associazioni dei punti che hai trovato nell'Esercizio 2c (puoi aggiungerne di nuove) e poi prova a rappresentare sul piano cartesiano il graco (indicativo) delle relative funzioni.

(13)

Esercizio Q1

Esercizio Q2

Sia A un insieme di 3 elementi e B un insieme di 5 elementi. Rappresenta, (se è possibile, altrimenti spiega perché non lo è) le associazioni (mediante freccette) che rispondano alle seguenti richieste:

• una funzione da A a B;

• una non-funzione da A a B, ovvero una legge che non sia una funzione;

• una legge che sia una funzione da A ad B mentre una non-funzione (se inverti il verso delle frecce) da B a A;

• una funzione iniettiva da A a B;

• una funzione suriettiva da A a B;

• una funzione iniettiva ma non suriettiva da A a B;

• una funzione suriettiva ma non iniettiva da A a B;

Nei casi in cui non sei riuscito a rappresentare le funzioni richieste, modica opportunamente il numero degli elementi degli insiemi A e B, in modo da poter eettuare la rappresentazione graca richiesta.

(14)

Esercizio D1

Calcola il dominio delle seguenti funzioni esprimendolo come unione di in- tervalli:

a) y = x²− 4x + 4 b) y = x²+ 4 x − 2 c) y = x²+ 8x + 5

x²− 4 d) y = log(4 − x) e) y =√³

x²− 25 f ) y =√

1 − x²

Esercizio D2

Calcola il dominio delle seguenti funzioni esprimendolo come unione di in- tervalli:

a) y = x²+ 4

2 − x b) y = x²− 3x + 2

c) y =√⁵

x²− 3x d) y = log(4 − 2x) e) y =√

1 − 3x f ) y = log(x²− 4x)

Esercizio D3

Calcola il dominio delle seguenti funzioni ed esprimilo come unione di inter- valli:

a) y = x²− 5x + 6 b) y =√ x + 2 c) y = x − 2

2x − 8 d) y = √³

2x²− x + 3 e) y = 2x − 12

x²− 1 f ) y =√

x²− 4

Esercizio D4

Calcola il dominio delle seguenti funzioni ed esprimilo come unione di inter- valli:

a) y = x − 2

x + 3 b) y =√⁴

1 − x c) y = x²− 1

x²+ 1 d) y = √⁵

x² − 2x + 1 e) y = x²− 3x f ) y =√

x²− 4

(15)

Esercizio Q3

Esibisci delle funzioni (devi inventarle, a tuo piacimento) che abbiano i seguenti domini:

D₁ = (−∞, 2) ∪ (2, +∞) D₂ = [3, +∞) D₃ = [1, 2]

Esercizio Q4

Esibisci delle funzioni (devi inventarle, a tuo piacimento) che abbiano i seguenti domini:

D₁ = (−∞, 3] D₂ = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞) D₃ = [1, 5)

Scheda - Le funzioni, denizioni e prime proprietà