HOEPLI TEST
MANUALE DI TEORIA FISICA
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A. 2014 via Hoepli 5, 20121 Milano (Italy)
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Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali ISBN EBOOK 9788820363833
Realizzazione digitale: Promedia, Torino
I NDICE
1 INTRODUZIONE ALLA FISICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
1.1 Le grandezze fisiche 1.2 Le unità di misura
1.3 Le costanti fisiche fondamentali RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
2 VETTORI E OPERAZIONI FRA I VETTORI
Argomenti affrontati nel capitolo
Concetti chiave
2.1 Grandezze scalari e vettoriali 2.2 Operazioni sui vettori
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
3 CINEMATICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
3.1 Meccanica dei solidi 3.2 Scopo della cinematica 3.3 Moto rettilineo 3.4 Moto nel piano 3.5 Moto circolare 3.6 Moto armonico
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
4 STATICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
4.1 L’equilibrio 4.2 Coppie di forze 4.3 Le leve
4.4 I tipi di equilibrio
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
5 DINAMICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
5.1 Le leggi della dinamica 5.2 Alcuni tipi di forza 5.3 Quantità di moto 5.4 Lavoro e potenza
5.5 Energia e conservazione dell’energia 5.6 Centro di massa
5.7 Dinamica del moto rotatoio
Momento d’inerzia e momento angolare Momento d’inerzia
Momento angolare o momento della quantità di moto RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
6 FLUIDOSTATICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
6.1 I fluidi
6.2 Dimensioni e unità di misura della pressione 6.3 Teorema di Pascal
Vasi comunicanti Torchio idraulico
6.4 Teorema di Archimede 6.5 Pressione atmosferica 6.6 Misura di pressioni Vacuometro di McLeod Vacuometri molecolari Vacuometri a ionizzazione
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
7 FLUIDODINAMICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
7.1 Caratteristiche del moto e dello stato di un fluido 7.2 Portata di un liquido
7.3 Equazione di Bernoulli
7.4 Applicazioni del teorema di Bernoulli Tubo di Venturi
Pompa ad acqua Becco di Bunsen Tubo di Pitot
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
8 TENSIONE SUPERFICIALE
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
8.1 Interazione tra fluido e recipiente 8.2 Viscosità
Misura del coefficiente di viscosità RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
9 TERMODINAMICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
9.1 Termologia Scale di temperatura Alcuni fenomeni termici 9.2 Calorimetria Propagazione del calore Misura di Q: i calorimetri 9.3 Equivalenza calore-lavoro Esperienza di Joule
9.4 Primo principio della termodinamica Qualche applicazione del 1º principio
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
10 LEGGI DEI GAS
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
10.1 I gas
10.2 Isoterma dei gas perfetti 10.3 Adiabatica dei gas perfetti 10.4 Teoria cinetica dei gas Modello di un gas “ideale”
Forze intermolecolari
Frequenza d’urto e cammino libero medio
10.5 Interpretazione cinetica di pressione e temperatura Interpretazione cinetica della pressione
Interpretazione cinetica della temperatura Distribuzione delle velocità molecolari 10.6 Isoterme dei gas reali
10.7 Equazione di stato per i gas reali 10.8 Limiti della teoria cinetica dei gas
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
11 IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
11.1 Ciclo di Carnot
Rendimento di un ciclo di Carnot con gas ideale 11.2 Il secondo principio in forma qualitativa
11.3 Il secondo principio in forma quantitativa. Entropia RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
12 ELETTROLOGIA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
12.1 Elettrostatica 12.2 Campo elettrostatico 12.3 Potenziale elettrostatico 12.4 Induzione elettrostatica
12.5 Capacità di un conduttore. Condensatori 12.6 Collegamento di condensatori
Collegamento in serie Collegamento in parallelo
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
13 ELETTRODINAMICA
Argomenti affrontati nel capitolo
Concetti chiave
13.1 Il movimento delle cariche elettriche
13.2 Conduzione nei solidi (metallici). Legge di Ohm 13.3 Collegamento fra resistenze
Collegamento in serie Collegamento in parallelo 13.4 Misura di tensioni e correnti 13.5 Forza elettromotrice 13.6 Teoremi di Kirchhoff
13.7 Alcuni circuiti normalmente usati Partitore di tensione
Potenziometro 13.8 Effetto Joule
13.9 Conduzione nel vuoto Effetto termoelettrico Effetto fotoelettronico 13.10 Conduzione nei gas 13.11 Conduzione nei liquidi
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
14 MAGNETOSTATICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
14.1 Induzione magnetica
14.2 Campo magnetico prodotto da una corrente 14.3 Il magnetismo della materia
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
15 ELETTROMAGNETISMO
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
15.1 Induzione e autoinduzione magnetica 15.2 Tensione e corrente alternata
Misura di grandezze alternate
15.3 Tensioni (e correnti) raddrizzate e pulsanti 15.4 Trasformatori di tensione
15.5 Circuito oscillante. Oscillazioni elettromagnetiche 15.6 Parametri di propagazione ondosa
15.7 Classificazione delle onde elettromagnetiche 15.8 Interferenza tra radiazioni
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
16 OTTICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
16.1 La luce
Superficie d’onda e raggio luminoso 16.2 Riflessione e rifrazione 16.3 Angolo limite
16.4 Analisi spettroscopica 16.5 Diffrazione
16.6 Polarizzazione
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
17 ACUSTICA
Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave
17.1 Il suono Tipi di onde
Periodo e frequenza
17.2 Le caratteristiche del suono
17.3 I fenomeni della propagazione delle onde 17.4 La velocità del suono nei vari mezzi
RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
1 I NTRODUZIONE ALLA FISICA
Oggetto della Fisica è lo studio dei fenomeni che avvengono in natura.
Per metodologia della fisica si intende la definizione di grandezze fisiche e il tentativo di collegamento (logico e matematico) fra di esse per la descrizione quantitativa e riproducibile dei fenomeni che si osservano.
Argomenti affrontati nel capitolo
Le grandezze fisiche Le unità di misura
Le costanti fisiche fondamentali
Concetti chiave
•equazione dimensionale
•grandezza fisica
•Sistema c.g.s.
•Sistema Internazionale
•Sistema M.K.S.
Alla fine del capitolo troverai un glossario mirato per il ripasso di questi concetti.
1.1Le grandezze fisiche
Per grandezza fisica si intende una entità misurabile (direttamente o indirettamente, attraverso strumenti di misura) mediante la quale si riesce a stabilire una correlazione con quanto si può osservare.
Una grandezza fisica può essere:
•intuitiva (quando è possibile);
•logica (sulla base di relazioni esistenti fra le grandezze fondamentali);
•operativa (che mette in condizioni di misurarla e di confrontarla con grandezze note).
È detta equazione dimensionale la relazione che lega la grandezza G ad altre, scelte come fondamentali; se per esempio scegliamo le tre grandezze principali, è del tipo
[G] = [La Mß T?]
in cui L (lunghezza), M (massa) e T (tempo) sono le grandezze fondamentali e a, ß, ? opportuni coefficienti.
In fisica, le grandezze possono anche essere suddivise in scalari se descritte, da un punto di vista matematico, da un numero reale associato a una unità di misura, e vettoriali quando sono descritte da un vettore.
1.2Le unità di misura
Il sistema di misura oggi internazionalmente adottato (all’infuori di alcuni paesi anglosassoni) è il Sistema
Internazionale, derivato dal Sistema M.K.S. (basato sulle tre unità fondamentali metro, kilogrammo, secondo), che convive ancora con il Sistema c.g.s. (centimetro, grammo, secondo). I campioni delle unità fondamentali di misura descritti dal S.I. sono conservati al Bureau International des Poids et des Mesures di Sèvres, in Francia.
La definizione delle unità relative alle tre grandezze principali è la seguente:
1.lunghezza: metro = distanza percorsa nel vuoto dalla luce in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 secondi; è anche la lunghezza del metro campione di platinoiridio conservato a Sèvres;
2.massa: chilogrammo; massa del prototipo di platinio-iridio conservato a Sèvres;
3.tempo: secondo; intervallo di tempo di 9.192.631.770 oscillazioni della radiazione emessa da un atomo di 133Ce (Cesio) in una ben precisa transizione di stato.
Tenuto presente che la definizione delle unità fondamentali può venire modificata dai continui aggiornamenti della tecnica, va fatto notare che in seguito si renderà necessaria l’introduzione di nuove unità fondamentali per la definizione di grandezze non esprimibili solo in termini di lunghezza, massa e tempo.
Ricapitoliamo qui di seguito le unità di misura fondamentali e da loro derivate del sistema S.I., insieme ai prefissi usati per ottenere le unità multiple e sottomultiple.
Unità di misura fondamentali del S.I.
Grandezza misurata Nome Simbolo
Lunghezza metro m
Massa kilogrammo kg
Tempo secondo s
Corrente elettrica ampere A
Temperatura kelvin K
Quantità di sostanza mole mol
Intensità luminosa candela cd
Unità di misura derivate
Dalle unità di misura del sistema SI derivano multipli e sottomultipli decimali.
Multipli e sottomultipli delle unità di misura
Equivalente decimale Prefisso Simbolo
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 etto h
101 deca da
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 milli m
10-6 micro m
10-9 nano n
10-12 pico P
1.3Le costanti fisiche fondamentali
Elenchiamo di seguito il valore delle più importanti costanti disiche, insieme alle unità di misura con cui vengono espresse (un trattino indica una costante adimensionale).
R IPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
Ripassiamo le definizioni dei concetti principali introdotti in questo capitolo.
Equazione dimensionale In fisica serve per esprimere o verificare le dimensioni di una grandezza fisica composta in funzione delle grandezze fisiche fondamentali; solitamente le dimensioni si indicano con lettere maiuscole tra parentesi quadrate.
Grandezza fisica Ente che può essere misurato e attraverso il quale è possibile descrivere un fenomeno sotto l’aspetto quantitativo e/o qualitativo, e che può essere messa in relazione con altre grandezze.
Sistema c.g.s. Sistema di unità di misura e grandezze fisiche chiamato così poiché utilizza come unità di misura fondamentali il centimetro, il grammo e il secondo.
Sistema Internazionale (S.I.) Sistema internazionale di misura adottato in larga parte dalla comunità scientifica, oltre al sistema c.g.s.
Sistema M.K.S. Sistema di unità di misura e grandezze fisiche chiamato così poiché utilizza come unità di misura fondamentali il metro, il kilogrammo e il secondo, dal quale è nato il Sistema Internazionale con l’aggiunta di ampere, candela e kelvin.
2 V ETTORI E OPERAZIONI FRA I VETTORI
Argomenti affrontati nel capitolo
Grandezze scalari e vettoriali Operazioni sui vettori
Concetti chiave
•grandezza fisica
•grandezza scalare
•grandezza vettoriale
•prodotto vettoriale
•versore
•vettore
Alla fine del capitolo troverai un glossario mirato per il ripasso di questi concetti.
2.1Grandezze scalari e vettoriali
I vettori sono enti geometrici che caratterizzano una direzione, un verso e un modulo. Con essi possono essere rappresentate le grandezze fisiche vettoriali.
Una grandezza scalare è individuata da un numero che rappresenta la misura della grandezza, cioè il rapporto fra il valore di quest’ultima e quello di una grandezza omogenea a essa e scelta come unitaria.
Una grandezza vettoriale è individuata, oltre che dalla sua misura (modulo), anche da una direzione e un verso.
Graficamente (fig. 2.1) i vettori si rappresentano con un segmento orientato alla cui estremità vi è la punta di una freccia:
Figura 2.1
La direzione della retta a cui appartiene il segmento fornisce la direzione del vettore; la punta della freccia ne indica il verso; il modulo, cioè la misura del vettore, è proporzionale alla lunghezza del segmento; l’origine del segmento è il punto di applicazione del vettore.
2.2Operazioni sui vettori
Rispondono a esigenze formali di una rappresentazione grafica della reale interazione osservabile fra più grandezze e degli effetti che ne derivano.
Regole fondamentali:
1.Spostamento: il punto di applicazione di un vettore si può spostare a piacere rispettando la condizione che il vettore sia spostato parallelamente a se stesso, anche sulla stessa retta di applicazione (fig. 2.2).
Figura 2.2
In questo modo, infatti, non vengono modificati né modulo, né direzione, né verso, per cui il vettore spostato resta identico a se stesso.
2.Addizione: la somma di due vettori A e B applicati a uno stesso punto è un vettore avente direzione e verso rappresentati dalla diagonale del parallelogramma che ha per lati i due vettori (fig. 2.3). Se i vettori non concorrono in un punto, li si può rendere tali con la 1aregola.
Figura 2.3
Analogamente, per la somma di più vettori si ha (fig. 2.4):
A + B + C = DA+ B = EE+ C = D
Figura 2.4
Come si può notare in fig. 2.3 e 2.4, lo stesso risultato si ottiene riportando il vettore da sommare (sempre parallelamente a se stesso) a partire dal termine del primo vettore: il vettore-somma (o risultante) si otterrà congiungendo il punto iniziale e quello finale dei due (o più) vettori. Un metodo simile è molto utile quando si debbano sommare diversi vettori e va sotto il nome di metodo della poligonale. Il modulo del vettore-somma è uguale alla somma delle componenti dei singoli vettori lungo la direzione della risultante, intendendo per componente la proiezione ortogonale del vettore sulla direzione della risultante.
Ciò risulta particolarmente evidente nella fig. 2.3.
3.Sottrazione: A – B = C. Osservando che –B è il vettore che ha verso opposto a quello di +B, ha lo stesso modulo e direzione, si ha: A + (–B) = C (fig. 2.5).
Figura 2.5 4.Moltiplicazione:
a)vettore per scalare; il prodotto m A è un vettore v avente la stessa direzione di A, lo stesso verso se m > 0, verso opposto se m < 0, e per modulo v = mA;
b)prodotto scalare o interno; dati due vettori a e b, il loro prodotto scalare è dato dallo scalare che si ottiene moltiplicando il modulo di uno per la proiezione ortogonale dell’altro sulla direzione del primo (fig. 2.6).
Gode della proprietà commutativa, nel senso che vale la relazione:
a × b = b × a = abcos?
Figura 2.6
c)prodotto vettoriale o esterno: fornisce il vettore v = a ? b, ortogonale al piano p dei due vettori a e b, il cui modulo è dato dal prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo compreso, e il cui verso è quello che va dai piedi alla testa di un osservatore che, posto con i piedi sul piano, vede la rotazione che porta il primo vettore sul secondo avvenire in senso antiorario con un angolo minore di 180º (fig. 2.7).
v = absen?
Figura 2.7
Il punto di applicazione di v non è definito, nel senso che può trovarsi indifferentemente sul piano p.
Il prodotto non gode della proprietà commutativa:
a ? b = –b ? a d)quadrato: il prodotto interno del vettore per se stesso:
v2 = v × v = v v cos? = v2
5.Scomposizione (di un vettore secondo certe direzioni): è il problema opposto a quello della somma di due vettori.
Se v è il vettore da scomporre e r’ e r" le due rette di direzione date, si ha, proiettando v sulle due rette (fig. 2.8)
Figura 2.8
da cui risulta che v è la somma di a e b.
Indicando con i, j e k i versori degli assi cartesiani ortogonali, cioè i vettori di modulo unitario che definiscono direzione e verso degli assi stessi, un vettore qualunque viene indicato con la relazione
v = vx i + vy j + vz k
in cui vx, vy e vz sono le componenti di v lungo gli assi cartesiani. Tenendo conto che:
i × i = j × j = k × k e che
i ? j = k j ? k = i k ? i = j j ? i = –k k ? j = –i i ? k = –j i ? i = j ? j = k ? k = 0 si può dimostrare che
a × b = axbx + ayby + azbz
e che
a ? b = (aybz – azby)i + (axbz – azbx)j + (axby – aybx)k
6.Le relazioni vettoriali sono invarianti rispetto a traslazioni o rotazioni del sistema di riferimento: cioè, una relazione fra vettori non viene modificata da un cambiamento del sistema di riferimento.
Esempio: supponiamo di avere A, B e C e che esista una relazione vettoriale del tipo: A + B = C e scegliamo un sistema ortogonale di riferimento, per semplicità nel piano dei due vettori A e B (fig. 2.9).
Risulta evidente che la somma di due vettori è un vettore che ha per componenti lungo gli assi di riferimento la somma delle componenti dei due vettori.
Figura 2.9
Se per esempio si ruota il sistema di riferimento mantenendo inalterate le posizioni dei vettori, si noti che il risultato non cambia (fig. 2.10).
Figura 2.10
Lungo una definita direzione (per esempio lungo ciascuno degli assi coordinati) viene definito versore il vettore di modulo unitario.
R IPASSO DEI CONCETTI CHIAVE
Ripassiamo le definizioni dei concetti principali introdotti in questo capitolo.
Grandezza fisica Parametro scalare o vettoriale che può essere misurato direttamente o indirettamente attraverso strumenti di misura.
Grandezza scalare Parametro che viene espresso attraverso un numero.
Grandezza vettoriale Parametro che viene individuato attraverso un vettore e quindi possiede una direzione, un verso e una intensità.
Prodotto vettoriale Prodotto tra due vettori che ha come risultato un terzo vettore ortogonale ai primi due vettori.
Versore Vettore di modulo unitario.
Vettore Ente geometrico definito da tre caratteristiche: lunghezza, detta anche intensità o modulo, direzione e verso. Si disegna con una freccia dove la parte iniziale è detta punto di applicazione del vettore.
3 C INEMATICA
Argomenti affrontati nel capitolo
Meccanica dei solidi Cinematica
Moto rettilineo Moto nel piano Moto circolare Moto armonico
Concetti chiave
•accelerazione centripeta
•accelerazione media
•accelerazione tangenziale
•asse di rotazione
•cinematica
•equazione oraria
•gradiente di velocità
•legge di gravitazione universale
•meccanica
•momento della forza
•moto rettilineo uniforme
•moto uniformemente accelerato
•solido
•velocità
•velocità angolare
•velocità istantanea
•velocità media
Alla fine del capitolo troverai un glossario mirato per il ripasso di questi concetti.
3.1Meccanica dei solidi
Per meccanica si intende lo studio del moto di un corpo (solido, liquido, gassoso) e, più in generale, delle condizioni che ne determinano la stazionarietà; si divide in:
•cinematica, nella quale si studia il moto indipendentemente dalle cause che lo hanno generato;
•statica, cioè l’esame delle condizioni di equilibrio.
•dinamica, ossia lo studio del moto in dipendenza delle cause che lo generano;
È utile suddividere ulteriormente la trattazione, a seconda che il corpo in esame sia deformabile sotto l’azione di agenti esterni (meccanica dei fluidi) oppure praticamente indeformabile (meccanica dei solidi). Va comunque fatto notare che la meccanica dei fluidi utilizza ed estende i concetti generali della meccanica dei corpi solidi, per cui sarà trattata come un caso particolare di quest’ultima.
3.2Scopo della cinematica
Scopo della cinematica è l’osservazione del movimento di un corpo per un intervallo di tempo sufficiente a
permettere di stabilire una relazione funzionale fra i parametri che lo caratterizzano e il tempo in cui l’osservazione viene fatta, cioè di trovare l’equazione oraria del movimento. Ciò fatto, sarà possibile prevedere il moto in tempi successivi.
Incominciando dallo studio del moto di un punto, cioè di un corpo che ha dimensioni trascurabili rispetto agli spostamenti che si considerano, si potrà poi estenderlo a corpi di dimensioni reali, introducendo il concetto di baricentro.
3.3Moto rettilineo
Si consideri un caso semplice quale il moto di un punto che si sposta lungo una traiettoria rettilinea; se in intervalli di tempo uguali il punto percorre spazi uguali tra loro, si avrà la definizione di moto rettilineo uniforme.
Figura 3.1
Si fissa un’origine da cui far partire i tempi (t0) e da cui misurare le distanze (s0).
Se s è la posizione del punto al tempo t, si definisce velocità posseduta dal punto mobile il rapporto:
v = (s – s0)/(t – t0) = ?s/?t L’equazione oraria del moto sarà quindi:
Se si vuole rappresentare graficamente lo spazio percorso dal punto in funzione del tempo, si ottiene una retta, la cui pendenza darà la velocità (fig. 3.1); l’intercetta OP rappresenta la posizione del punto al tempo t= t0 = 0.
Equazione dimensionale della velocità: [v] = [L · T–1].
Se la velocità cambia col tempo, si ha un moto rettilineo non uniforme.
Si definisce velocità media in un intervallo di tempo ?t il rapporto:
Per velocità istantanea al tempo t si intende il limite del rapporto ?s/?t quando ?t ? 0, cioè il valore limite a cui tende la velocità media quando l’intervallo di tempo considerato tende a zero:
Se riportiamo in un grafico, come nel caso precedente, l’andamento dello spazio in funzione del tempo (fig. 3.2), si otterrà una linea curva (che non è la traiettoria del punto, essendo quest’ultima sempre una retta) in ogni punto della quale la pendenza della retta tangente rappresenta la velocità in quel punto.
Figura 3.2 Infatti, essendo
P’Q = ?s e PQ = ?t, sarà P’Q/PQ = tga = ?s/?t;
se ?t ? 0 si avrà:
(derivata dello spazio fatta rispetto al tempo) per cui il vettore velocità nel punto P ha per modulo la tangente trigonometrica dell’angolo che la tangente geometrica alla curva in quel punto forma con l’asse dei tempi, ed è tangente alla traiettoria nel punto considerato.
Il concetto di derivata di una grandezza fisica rispetto alla variabile da cui dipende può essere esteso: rappresenta la rapidità con la quale la grandezza cambia al cambiare della variabile.
Il rapporto fra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo in cui questa è avvenuta è l’accelerazione media:
Analogamente a quanto fatto prima, si definisce accelerazione istantanea la derivata della velocità rispetto al tempo:
Se il moto, che si svolge sempre su una retta, avviene con accelerazione costante (moto rettilineo uniformemente accelerato), si avrà:
a = ?v/?t = (v – v0)/dt (avendo posto t0 = 0) da cui
Per gli spostamenti si avrà:
s – s0 = t, dove = (v + v0)/2, in quanto a è costante.
Sostituendo in (1):
Se v0 e a hanno lo stesso segno, si ha un moto uniformemente accelerato; se hanno segno opposto si ha un moto uniformemente decelerato. Per un moto non uniformemente ac celerato, è necessario suddividere la traiettoria in parti per le quali l’accelerazione sia costante.
La notazione vettoriale delle due equazioni orarie del moto:
s = s0 + v0t + at2/2 e v = v0 + at compendia il caso in cui il moto sia accelerato o ritardato.
Figura 3.3
3.4Moto nel piano
Se la curva di fig. 3.3 rappresenta la traiettoria descritta dal punto, avremo, indicando con s e s’, le posizioni iniziale e finale del punto in un certo intervallo di tempo ?t:
Dividendo per ?t si avrà che la velocità media (e, passando al limite per ?t ? 0, la velocità istantanea) è la risultante di due velocità lungo le due direzioni x e y:
Analogamente per l’accelerazione:
Infine, considerando anche la terza componente cartesiana, si può pensare il moto lungo una qualunque traiettoria nello spazio come risultante di tre moti rettilinei lungo gli assi del sistema di riferimento: la risoluzione del
problema è ricondotta quindi al caso precedente del moto rettilineo.
Un esempio di applicazione di quanto detto è fornito dallo studio del moto di un oggetto (per ora sempre un punto) avente una certa velocità iniziale v0.
Nel piano x-y in cui si svolge il moto, le condizioni iniziali sono (fig. 3.4):
Figura 3.4
Il moto complessivo è la somma di due moti rettilinei; uno lungo l’asse x, uniforme, con velocità v0x = v0cos? e l’altro lungo l’asse y, decelerato con accelerazione a = g (accelerazione di gravità). Si avrà rispettivamente:
da cui, eliminando il tempo t, si ottiene
che è l’equazione di una parabola passante per l’origine e avente concavità rivolta verso il basso. Tale è la traiettoria seguita dall’oggetto.
Nota l’equazione della parabola, si possono determinare la distanza percorsa dall’oggetto al momento in cui ritorna “a terra” e l’altezza massima raggiunta nel corso del moto, ambedue in funzione dell’angolo ?.
3.5Moto circolare
È il moto di un corpo che si muove su una traiettoria circolare.
Se in ogni punto della traiettoria il modulo della velocità istantanea (tangente alla traiettoria in quel punto) è costante, il moto si dice circolare uniforme.
Sia P la posizione del punto all’istante t e P’ quella dopo il tempo ?t (fig. 3.5).
Se ?? è l’angolo descritto dal punto nell’intervallo di tempo ?t si definisce velocità angolare il vettore che ha per modulo il rapporto:
Figura 3.5 Essendo:
si avrà
dove v è la velocità periferica o tangenziale, cioè la velocità con cui il punto si sposta sulla traiettoria.
La direzione del vettore ? è quella della perpendicolare al piano in cui il moto ha luogo; il verso è quello che va dai piedi alla testa di un osservatore che, posto sul piano, vede avvenire la rotazione in senso antiorario. In fig 3.5, il vettore ? è quindi diretto verso l’interno del foglio e non è applicato in alcun punto particolare del piano.
La velocità angolare si misura in rad s–1 e ha le dimensioni di T–1.
Indicando con T il tempo impiegato a percorrere il giro completo (di 2p radianti), si ha:
che è il periodo del moto circolare uniforme.
Il moto si ripeterà quindi, nell’unità di tempo, un numero di volte pari a 1/T, che rappresenta la frequenza:
Il fatto che la velocità periferica, pur restando costante in modulo, cambia continuamente direzione e verso, dà luogo a una accelerazione.
Per calcolarne il modulo, si immagini di trasportare nel punto O i due vettori v e v’ secondo la regola dello
spostamento: la variazione di velocità ?v = v’ – v, è rappresentata dalla base QQ’ del triangolo isoscele OQQ’ simile al triangolo CPP’ formato dal centro della traiettoria e dai due punti P e P’.
Sarà allora: ?v : v = PP’ : r.
Figura 3.6
Se ?? è molto piccolo, si può confondere il segmento PP’ con l’arco PP’ per cui: ?v : v ˜ ?l : r. La relazione diventa esatta passando al limite per ?? ? 0.
In questo modo si avrà:
?v/v = ?l/r e, dividendo per ?t si ottiene
Essendo ?l/?t = v, sostituendo si avrà:
Per determinare la direzione e il verso di a, si deve notare che ?v è perpendicolare alla bisettrice dell’angolo ??;
tale proprietà resta invariata, quando si fa tendere ?? a zero. Al limite, la bisettrice coinciderà con v; sarà pertanto perpendicolare a v e rivolto verso il centro di curvatura C.
Da ciò deriva il nome di accelerazione centripeta.
In modo analogo si può trattare il moto su una circonferenza, in cui anche il modulo della velocità periferica cambia, istante per istante. In questo caso, il vettore ?v = v’ – v (fig. 3.7) si può scomporre in ?vr, che nasce da un cambiamento in direzione della velocità, e ?vt, che nasce da un cambiamento in modulo della stessa.
È da notare che at ha direzione perpendicolare ad a, ed è perciò tangente alla traiettoria, come lo è ?vt: da qui la denominazione di accelerazione tangenziale.
Figura 3.7
Il modulo dell’accelerazione istantanea risultante sarà dato, per quanto detto, da:
3.6Moto armonico
È un moto rettilineo che ha luogo fra due punti P1 e P2, con velocità variabile, e che si ripete periodicamente.
Sia O (punto medio fra gli estremi) l’origine degli spostamenti; se al tempo t = 0 il punto materiale che esegue il movimento si trova in O, la sua posizione successiva, al trascorrere del tempo, è descritta da una curva del tipo (fig.
3.8):
Figura 3.8
L’equazione oraria del moto armonico è del tipo:
dove X è l’ampiezza massima, corrispondente alla metà dell’intervallo entro cui l’oscillazione del punto materiale ha luogo, T è il tempo impiegato a percorrere il tragitto OP2OP1O (periodo del moto armonico), e ? la
sua pulsazione.
La velocità, massima nel punto O, diminuisce andando verso P2, dove diventa nulla; aumenta (in verso opposto) ritornando verso 0, diminuisce (nello stesso verso) andando verso P1 dove diventa nulla, aumenta (in verso opposto) tornando a O, e così via.
