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EDI (Ing. Edile) Fila A 10-febbraio-2009

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(1)

Prova intermedia di ANALISI

EDI (Ing. Edile) Fila A 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

∀x, y ∈ R \ {0} si ha x < y ⇒ 1/x > 1/y 2. (5 pt) Scrivere la definizione formale di

x→−1 lim f (x) = −1 3. (10 pt) Studiare la funzione

f (x) = log  9x − 1 9x 2 + 1



e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) = [cos(1/x)] 1/x calcolare

x→+∞ lim x 2 f 0 (x)

5. (6 pt) Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 4 intorno all’origine per la funzione

f (x) = (sin x) p 1 − x 2 6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione

f (x) = p

x 2 (1 − x)

(2)

EDI (Ing. Edile) Fila B 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

∀x, y ∈ R si ha x 2 + y 2 ≤ (x + y) 2 2. (5 pt) Scrivere la definizione formale di

x→−∞ lim f (x) = +∞

3. (10 pt) Studiare la funzione

f (x) = log  x 2 + 9 x + 9



e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) = (arctan x) 1/x calcolare

x→+∞ lim x 2 f 0 (x)

5. (6 pt) Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 4 intorno all’origine per la funzione

f (x) = (arctan x)e x

2

6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione

f (x) =

r 1 − x

x

(3)

Prova scritta di Prova intermedia di ANALISI EDI (Ing. Edile) Fila C 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

∀x, y < 0 si ha x < y ⇒ 1 x 3 > 1

y 3 2. (5 pt) Scrivere la definizione formale di

x→3 lim f (x) = −∞

3. ( 10 pt) Studiare la funzione

f (x) = log  x + 1 x 2 + 1



e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) =

"r x + 1

x

# 1/x

calcolare

x→+∞ lim x 2 f 0 (x)

5. (6 pt) Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 4 intorno all’origine per la funzione

f (x) = cos( √

x) log(1 − x 3 ) 6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione

f (x) = √ x + √

1 − x

(4)

EDI (Ing. Edile) Fila D 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

∀x, y ∈ R si ha arctan(1 + x) = arctan(1 + y) ⇒ x = y 2. (5 pt) Scrivere l’enunciato del teorema di Rolle.

3. (10 pt) Studiare la funzione

f (x) = e

x1

x − 1 e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) = x arctan

 1

arctan x



calcolare

x→+∞ lim f 0 (x) 5. (6 pt) Calcolare il seguente limite

x→+∞ lim [1 − x sin(1/x)] p x 4 + 1 6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione

f (x) = |x|

|x| − 1

(5)

Prova scritta di Prova intermedia di ANALISI EDI (Ing. Edile) Fila E 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

se f : R → R si ha f (x) 6= f (y) ⇒ x 6= y

2. (5 pt) Scrivere l’enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale.

3. (10 pt) Studiare la funzione

f (x) = e −

3x+21

3x + 1 e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) = (tan x) arctan  1 x



calcolare

lim

x→π/2 (cos x) 2 f 0 (x) 5. (6 pt) Calcolare il seguente limite

x→0 lim

cos(3x) − e −2x

2

[sin(4x)] 2

6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione f (x) = |x| − 1

x

(6)

EDI (Ing. Edile) Fila F 10-febbraio-2009

1. (4 pt) Dire (motivando la risposta) se la seguente affermazione ` e vera o falsa:

∀x, y ∈ R si ha x < y ⇒ |x − 1| < |y − 1|

2. (5 pt) Scrivere l’enunciato del teorema di Lagrange.

3. (10 pt) Studiare la funzione

f (x) = e −

x−11

x e tracciarne un grafico.

4. (5 pt) Sia

f (x) = (sin x) 2 e tan x calcolare

lim

x→0

f 0 (x) x 5. (6 pt) Calcolare il seguente limite

x→+∞ lim

"

1 +

 sin 1

√ x

 2 # 2x

6. (5 pt) Determinare dominio e immagine della funzione f (x) = x − 1

|x|

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