Disequazioni
Introduzione
Questo testo è ancora in versione provvisoria, e largamente incompleta.
Disequazioni di primo grado
Le disequazioni di primo grado, nella loro forma normale, si presentano in una delle seguenti forme:
m xq0 m xq≥0 m xq0 m xq≤0
Analizziamo la prima disequazione: m xq0
Metodo Algebrico
Risolviamo algebricamente la disequazione m xq0 ;
applichiamo il primo principio di equivalenza delle disequazioni: m x−q ; applichiamo il secondo principio di equivalenza delle disequazioni:
• se m0 ⇒ x−q m
• se m0 ⇒ x−q m
Esempi
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a) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 3 x150 ;
applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 3 x−15 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x−5 . La disequazione 3 x150 ammette come soluzione x−5 .
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b) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 7 x−210 ; applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 7 x21 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x3 . La disequazione 7 x−210 ammette come soluzione x3 .
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c) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: −2 x80 ;
applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: −2 x−8 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x4 . La disequazione −2 x80 ammette come soluzione . x4
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Metodo Grafico
Risolviamo graficamente la disequazione m xq0 ; Questa disequazione è equivalente al sistema misto:
{y=m xqy0 }
Tale sistema ha una interpretazione anche grafica, dalla quale si evince che si debbano ricercare i punti della retta y=m xq con ordinata positiva (poiché y0 ), cioè i punti della retta al di sopra dell'asse x . In particolare, poiché nella disequazione data compare solo l'incognita x , siamo interessati alle ascisse di tali punti.
Dallo studio del grafico della retta, si ottiene che, detta x0 l'ascissa del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse:
• se m0 la retta è crescente, e si avrà y0 se x x0 .
• se m0 la retta è decrescente, e si avrà y0 se x x0 ;
• tralasciamo il caso (improprio) m=0
Stabilita la soluzione in una delle due forme suddette (che definiremo soluzione formale), non ci resta che ricavare il valore di x0 .
A tale scopo, si risolve l'equazione associata alla disequazione:
m x0q=0
da cui si ricava il valore x0=−q m
Pertanto, ricordando la soluzione formale:
• m0⇒ x−q m ;
• m0⇒ x−q
m .
Esempi
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a) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
3 x150
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=3 x15y0 }
Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=3 x15 che hanno ordinata positiva.
I parametri della retta sono:
m=30 ⇒ la retta è crescente.
q=−15 Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della disequazione assegnata) è x x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
3 x015=0
da questa si ricava x0=−15 3 =−5
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x−5 .
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b) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
7 x−210
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=7 x−21y0 }
Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=7 x−21 che hanno ordinata positiva.
I parametri della retta sono:
m=70 ⇒ la retta è crescente.
q=−21 Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
7 x0−21=0
da questa si ricava x0=21 7 =3
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x3 .
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c) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
−2 x80
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=−2 x8y0 }
Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=−2 x8 che hanno ordinata positiva.
I parametri della retta sono:
m=−20 ⇒ la retta è decrescente.
q=8
Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
−2 x08=0
da questa si ricava x0=−8
−2=4
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x4 .
Analizziamo la seconda disequazione: m xq≥0
Metodo Algebrico
Risolviamo algebricamente la disequazione m xq≥0 ;
applichiamo il primo principio di equivalenza delle disequazioni: m x≥−q ; applichiamo il secondo principio di equivalenza delle disequazioni:
• se m0 ⇒ x≥−q m
• se m0 ⇒ x≤−q m
Esempi
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a) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 3 x15≥0 ;
applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 3 x≥−15 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≥−5 . La disequazione 3 x15≥0 ammette come soluzione . x≥−5
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b) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 7 x−21≥0 ; applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 7 x≥21 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≥3 . La disequazione 7 x−21≥0 ammette come soluzione . x≥3
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c) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: −2 x8≥0 ;
applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: −2 x≥−8 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≤4 . La disequazione −2 x8≥0 ammette come soluzione . x≤4
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Metodo Grafico
Risolviamo graficamente la disequazione m xq≥0 ; Questa disequazione è equivalente al sistema misto:
{y=m xqy≥0 }
Tale sistema ha una interpretazione anche grafica, dalla quale si evince che si debbano ricercare i punti della retta y=m xq con ordinata positiva o pari a zero (poiché y≥0 ), cioè i punti della retta al di sopra dell'asse x , e quelli che toccano l'asse x . In particolare, poiché nella disequazione data compare solo l'incognita x , siamo interessati alle ascisse di tali punti.
Dallo studio del grafico della retta, si ottiene che, detta x0 l'ascissa del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse:
• se m0 la retta è crescente, e si avrà y≥0 se x≥ x0 ;
• se m0 la retta è decrescente, e si avrà y≥0 se x≤ x0 ;
• tralasciamo il caso (improprio) m=0
Stabilita la soluzione in una delle due forme suddette (che definiremo soluzione formale), non ci resta che ricavare il valore di x0 .
A tale scopo, si risolve l'equazione associata alla disequazione:
m x0q=0
da cui si ricava il valore x0=−q m
Pertanto, ricordando la soluzione formale:
• m0⇒ x≥−q m ;
• m0⇒ x≤−q
m .
Esempi
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a) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
3 x15≥0
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=3 x15y≥0 }
Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=3 x15 che hanno ordinata positiva o pari a zero.
I parametri della retta sono:
m=30 ⇒ la retta è crescente.
q=−15 Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x≥ x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
3 x015=0
da questa si ricava x0=−15 3 =−5
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≥−5 .
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b) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
7 x−21≥0
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=7 x−21y≥0 }
pari a zero.
I parametri della retta sono:
m=70 ⇒ la retta è crescente.
q=−21 Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x≥ x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
7 x0−21=0
da questa si ricava x0=21 7 =3
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≥3 .
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c) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:
−2 x8≥0
La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto
{y=−2 x8y≥0 }
Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=−2 x8 che hanno ordinata positiva o pari a zero.
I parametri della retta sono:
m=−20 ⇒ la retta è decrescente.
q=8
Si ha il grafico:
La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x≤ x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:
−2 x08=0
da questa si ricava x0=−8
−2=4
Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≤4 .
Disequazioni di secondo grado
Le disequazioni di secondo grado, nella loro forma normale, si presentano in una delle seguenti forme:
a x2b xc0 a x2b xc≥0 a x2b xc0 a x2b xc≤0
a0
a0