Disequazioni di primo grado Introduzione Disequazioni

(1)

Disequazioni

Introduzione

Questo testo è ancora in versione provvisoria, e largamente incompleta.

Disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado, nella loro forma normale, si presentano in una delle seguenti forme:

m xq0 m xq≥0 m xq0 m xq≤0

(2)

Analizziamo la prima disequazione: ^{m xq0}

Metodo Algebrico

Risolviamo algebricamente la disequazione m xq0 ;

applichiamo il primo principio di equivalenza delle disequazioni: m x−q ; applichiamo il secondo principio di equivalenza delle disequazioni:

• se m0 ⇒ x−q m

• se m0 ⇒ x−q m

Esempi

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a) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 3 x150 ;

applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 3 x−15 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x−5 . La disequazione 3 x150 ammette come soluzione x−5 .

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b) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 7 x−210 ; applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 7 x21 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x3 . La disequazione 7 x−210 ammette come soluzione x3 .

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c) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: −2 x80 ;

applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: −2 x−8 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x4 . La disequazione −2 x80 ammette come soluzione . x4

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Metodo Grafico

Risolviamo graficamente la disequazione m xq0 ; Questa disequazione è equivalente al sistema misto:

{^{y=m xq}y0 }

Tale sistema ha una interpretazione anche grafica, dalla quale si evince che si debbano ricercare i punti della retta y=m xq con ordinata positiva (poiché y0 ), cioè i punti della retta al di sopra dell'asse x . In particolare, poiché nella disequazione data compare solo l'incognita x , siamo interessati alle ascisse di tali punti.

(3)

Dallo studio del grafico della retta, si ottiene che, detta x0 l'ascissa del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse:

• se m0 la retta è crescente, e si avrà y0 se ^{x x}0 .

• se m0 la retta è decrescente, e si avrà y0 se ^{x x}0 ;

• tralasciamo il caso (improprio) m=0

Stabilita la soluzione in una delle due forme suddette (che definiremo soluzione formale), non ci resta che ricavare il valore di x₀ .

A tale scopo, si risolve l'equazione associata alla disequazione:

m x₀q=0

da cui si ricava il valore x0=−q m

Pertanto, ricordando la soluzione formale:

(4)

• m0⇒ x−q m ;

• m0⇒ x−q

m .

Esempi

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a) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

3 x150

La disequazione assegnata è equivalente al sistema misto

{^{y=3 x15}y0 }

Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=3 x15 che hanno ordinata positiva.

I parametri della retta sono:

m=30 ⇒ la retta è crescente.

q=−15 Si ha il grafico:

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della disequazione assegnata) è ^{x x}0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

3 x₀15=0

da questa si ricava x0=−15 3 =−5

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x−5 .

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b) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

7 x−210

{^{y=7 x−21}y0 }

Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=7 x−21 che hanno ordinata positiva.

(5)

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

7 x₀−21=0

da questa si ricava x0=21 7 =3

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x3 .

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c) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

−2 x80

{^{y=−2 x8}y0 }

Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=−2 x8 che hanno ordinata positiva.

m=−20 ⇒ la retta è decrescente.

q=8

Si ha il grafico:

(6)

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è ^{x x}0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

−2 x₀8=0

da questa si ricava x0=−8

−2=4

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x4 .

(7)

Analizziamo la seconda disequazione: ^{m xq≥0}

Metodo Algebrico

Risolviamo algebricamente la disequazione m xq≥0 ;

applichiamo il primo principio di equivalenza delle disequazioni: m x≥−q ; applichiamo il secondo principio di equivalenza delle disequazioni:

• se m0 ⇒ x≥−q m

• se m0 ⇒ x≤−q m

Esempi

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a) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 3 x15≥0 ;

applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 3 x≥−15 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≥−5 . La disequazione 3 x15≥0 ammette come soluzione . x≥−5

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b) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: 7 x−21≥0 ; applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: 7 x≥21 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≥3 . La disequazione 7 x−21≥0 ammette come soluzione . x≥3

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c) Risolvere, con il metodo algebrico, la disequazione: −2 x8≥0 ;

applicando il primo principio di equivalenza delle disequazioni: −2 x≥−8 ; applicando il secondo principio di equivalenza delle disequazioni: x≤4 . La disequazione −2 x8≥0 ammette come soluzione . x≤4

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Metodo Grafico

Risolviamo graficamente la disequazione m xq≥0 ; Questa disequazione è equivalente al sistema misto:

{^{y=m xq}y≥0 }

Tale sistema ha una interpretazione anche grafica, dalla quale si evince che si debbano ricercare i punti della retta y=m xq con ordinata positiva o pari a zero (poiché y≥0 ), cioè i punti della retta al di sopra dell'asse x , e quelli che toccano l'asse x . In particolare, poiché nella disequazione data compare solo l'incognita x , siamo interessati alle ascisse di tali punti.

(8)

Dallo studio del grafico della retta, si ottiene che, detta x0 l'ascissa del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse:

• se ^m0 la retta è crescente, e si avrà ^y≥0 se ^{x≥ x}0 ;

• se ^m0 la retta è decrescente, e si avrà ^y≥0 se ^{x≤ x}0 ;

• tralasciamo il caso (improprio) m=0

Stabilita la soluzione in una delle due forme suddette (che definiremo soluzione formale), non ci resta che ricavare il valore di x0 .

A tale scopo, si risolve l'equazione associata alla disequazione:

m x₀q=0

da cui si ricava il valore x0=−q m

Pertanto, ricordando la soluzione formale:

(9)

• m0⇒ x≥−q m ;

• m0⇒ x≤−q

m .

Esempi

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a) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

3 x15≥0

{^{y=3 x15}y≥0 }

Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=3 x15 che hanno ordinata positiva o pari a zero.

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è ^{x≥ x}0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

3 x₀15=0

da questa si ricava x0=−15 3 =−5

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≥−5 .

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b) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

7 x−21≥0

{^{y=7 x−21}y≥0 }

(10)

pari a zero.

m=70 ⇒ la retta è crescente.

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è x≥ x0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

7 x₀−21=0

da questa si ricava x0=21 7 =3

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≥3 .

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c) Risolvere, con il metodo grafico, la disequazione:

−2 x8≥0

{^{y=−2 x8}y≥0 }

Si ricercano cioè le ascisse di quei punti della retta y=−2 x8 che hanno ordinata positiva o pari a zero.

m=−20 ⇒ la retta è decrescente.

q=8

Si ha il grafico:

(11)

La soluzione formale del sistema misto (e quindi della diseqazione assegnata) è ^{x≤ x}0 . Risolviamo l'equazione associata alla disequazione:

−2 x₀8=0

da questa si ricava x0=−8

−2=4

Dalla soluzione formale, si ottiene quindi la soluzione delle disequazione assegnata: x≤4 .

(12)

Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado, nella loro forma normale, si presentano in una delle seguenti forme:

a x²b xc0 a x²b xc≥0 a x²b xc0 a x²b xc≤0

a0

a0