ESERCIZI SULLA VERIFICA DI IPOTESI
Esercizio 1
Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale 1.1 3.1 4.2 4.6 5.0 5.2 5.3 6.5 8.4 9.6
verificare l’ipotesi H0:=4 al livello di significatività=0.01 Soluzione
x 5.3
2
sc 5.98
La statistica test risulta
1 . 6811 10
/ 98 . 5
4 3 .
5
, il quantile di riferimento è t9(0.995)= 3.25. Non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 2
Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale 10 12 15 16 16 17 20 22
verificare l’ipotesi H0:=15 al livello di significatività=0.01 Soluzione
x 16
2
sc 15.1428571
La statistica test risulta
0 . 7268 8
/ 1428571 .
15 15
16
, il quantile di riferimento è t7(0.995)= 3.499. Non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 3
Su un campione casuale di 200 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 24 e una varianza corretta pari a 40. Verificare l’ipotesi H0:=25 al livello di significatività=0.05 attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta
2 . 2361 200
/ 40
25 24
e il p-valore corrispondente è all’incirca pari a 2[1-(2.24)]=0.025, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 4
Su un campione casuale di 1000 elementi si è ottenuta una media pari a 11.2 e una varianza corretta pari a 8. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10 attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta
13 . 4164 1000
/ 8
10 2 .
11
per cui il p-valore è praticamente nullo: si rifiuta H0 per qualsiasi livello
Esercizio 5
Su un campione casuale di 40 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 11.2 e una varianza corretta pari a 8. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10 attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
La statistica test risulta
2 . 6832 40
/ 8
10 2 .
11
e il p-valore corrispondente è all’incirca pari a 2[1-(2.68)]= 0.0074, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 6
Su un campione casuale di 2000 elementi 972 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari al 50% al livello di significatività=0.05 attraverso il calcolo del p-valore.
Soluzione
486 . ˆ 0 p
La statistica test risulta
1 . 2522 2000
25 . 0
5 . 0 486 .
0
e il p-valore corrispondente è circa pari a 2[1-(1.25)]=0. 2112, per cui non si
ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 7
Su un campione casuale di 102 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.05.
X\Y A B C a 32 10 0 42 b 0 10 30 40 c 0 0 20 20 32 20 50 102 Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 87.3071, il quantile di riferimento è pari a 9.488, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 8
Su un campione casuale di 2000 elementi 478 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari a 0.25 ai due livelli di significatività=0.05 e=0.10.
Soluzione
239 . ˆ 0 p
La statistica test risulta
1 . 1361 2000
75 . 0 25 . 0
25 . 0 239 .
0
, i quantili di riferimento sono 1.96 e 1.645, per cui in entrambi i casi non siha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 9
Su un campione casuale di 100 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.05.
X\Y A B C a 8 12 30 50 b 40 10 0 50 48 22 30 100 Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 51.5152, il quantile di riferimento è pari a 5.991, per cui si rifiuta H0.
Esercizio 10
Su un campione casuale di 80 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.01.
X\Y A B a 28 32 60 b 5 5 10 c 3 7 10 36 44 80 Soluzione
La statistica test risulta uguale a circa 1.0774, il quantile di riferimento è pari a 9.21, per cui non si ha motivo di rifiutare H0.
Esercizio 11
Su un campione casuale di 50 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.05.
X\Y A B a 14 21 35
b 6 9 15
20 30 50
Soluzione
Le frequenze interne corrispondono a quelle teoriche sotto ipotesi di indipendenza. La statistica test risulta uguale a zero e l’ipotesi di indipendenza non può essere quindi rifiutata (il quantile di riferimento è pari a 3.841).
Esercizio 12
Su due campioni provenienti da due popolazioni sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=50, x1
10
, s12c 12
n2=70, x2 10
.5
, s22c 14 . 2
Si verifichi l’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.05.Soluzione
La statistica test risulta
0 . 7513 70
2 . 14 50 12
5 . 10
10
, il quantile di riferimento è z0.975=1.96, per cui non si rifiuta H0.Esercizio 13
Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi alla numerosità, alla media e alla varianza
n1=80, x1
5
, s12 39 . 5
n2=100, x2 6
, s22 49 . 5
Si verifichi l’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.01.Soluzione
40 5 . 79 39
2
80
1c
s
50 5 . 99 99
2
100
2c
s
La statistica test risulta
1 100
50 80 40
6
5
, il quantile di riferimento è z0.995=2.576, per cui non si ha motivo di rifiutare H0.Esercizio 14
Dalla teoria dell’ereditarietà ci si aspetta che certi incroci di varietà di fiori producano fiori gialli, arancioni e rossi con probabilità rispettivamente pari a 0.2, 0.5 e 0.3. In un esperimento si ottengono 25 fiori gialli, 55 arancioni e 20 rossi. Si può concludere che l’esperimento supporta la teoria al livello di significatività del 5%?
Soluzione
3 08 . 3 5
. 0
3 . 0 2 . 0 5
. 0
5 . 0 55 . 0 2
. 0
2 . 0 25 . 100 0
2 2
3 2
1 0
2 2 0
2
j j
j j
π π n f
χ
Il quantile di riferimento è χ22
0.95 5.991, per cui non si rifiuta l’ipotesi che l’esperimento supporti la teoriaEsercizio 15
Si vuole verificare al livello di significatività del 10% l’uguaglianza della proporzione di individui con gli occhiali per i maschi e per le femmine sapendo che in un campione di 2000 individui di cui 800 di sesso maschile, i portatori di occhiali sono risultati pari a 280 per i maschi e a 360 per le femmine.
Soluzione
3 . 1200 0 ˆ 360
35 . 800 0 ˆ 280
f m
p p
32 . 2000 0
360 ˆ
0 280
pLa statistica test è
2 . 3483
1200 1 800 32 1 . 0 1 32 . 0
3 . 0 35 .
0
, il quantile di riferimento è z0.95=1.645, per cui si rifiuta l’ipotesidi uguaglianza delle due proporzioni