Forza gravitazionale

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Forza gravitazionale

La forza gravitazionale `e una delle quattro forze fondamentali della natura.

Due corpi puntiformi si attraggono secondo la legge di gravitazione universale (Newton, 1684). In particolare la forza esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 `e pari a

F = −G~ m₁m₂ r² rˆ

dove ˆr = versore del vettore ~r, G = 6.673 × 10⁻¹¹ Nm²/kg² costante universale

La forza tra due corpi non puntiformi può essere calcolata per integrazione dei contributi infinitesimi. Si può dimostrare che l’attrazione gravitazionale esercitata da un corpo esteso di massa M e simmetria sferica su di un corpo puntiforme (o assimilabile a tale) di massa m è data da

F = −~

Z Gm

r² rdM = −Gˆ mM R²

Rˆ

dove R `e la distanza fra il centro della sfera di massa M e la particella di massa m (valida per R > R_M, raggio della sfera).

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Energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale `e conservativa. Consideriamo il corpo 2 fermo, mentre il corpo 1 si sposta lungo un percorso qualsiasi tra i punti i ed f (vedi figura). Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale che agisce sul corpo 1 risulta essere indipendente dal percorso e sar`a dato da

L =

Z f i

F · d~~ s = −Gm₁m₂ Z f

i

ˆ

r · d~s

r² = −Gm₁m₂

Z r_f r_i

dr

r² = −Gm₁m₂ 1

r_i − 1 r_f

da cui un’energia potenziale U (r) = −Gm₁m₂

r tale che L = −U (r_f) + U (r_i).

L’energia potenziale gravitazionale non cambia scambiando i corpi fra loro, `e sempre negativa e si annulla solo nel limite r → ∞. L’energia potenziale gravitazionale di un corpo a quota h, U (h) = mgh, la si ottiene (a meno di una costante) ponendo r = R_T + h, dove R_T `e il raggio della Terra, e sviluppando in serie per h << R_T:

U (h) = −G mM

R_T + h ' −GmM R_T

1 − h R_T

= U (0) + mgh, g = GM R²_T

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Velocit` a di fuga

Consideriamo un corpo di massa m nel campo gravitazionale prodotto da un corpo di massa M >> m. L’energia meccanica E `e conservata:

E = K + U = 1

2mv² − GmM

r = cost.

Notare che E pu`o essere > 0 o < 0. Se E < 0, dato che K ≥ 0, necessariamente E − U = K ≥ 0 ⇒ E + GmM

r ≥ 0 ⇒ r ≤ GmM

|E|

Il corpo di massa m è intrappolato nel campo gravitazionale di M : non può allontanarsi più di r_max = GmM/|E|. Se E > 0, il corpo può invece allontanarsi indefinitamente.

Si definisce velocit`a di fuga la minima velocit`a che un corpo che parte da una distanza r dal centro di M deve avere per sfuggire (completamente) alla sua azione gravitazionale.

Da K_i + U_i = K_f + U_f con U_f = 0 e K_f ≥ 0 si trova v_{f uga} =

q2GM

r .

La velocit`a necessaria per sfuggire all’attrazione della terra si ottiene ponendo M = M_T = 5.97 × 10²⁴ kg, r = R_T = 6.37 × 10⁶ m, da cui v_{f uga,T} = 1.12 × 10⁴ m/s.

(4)

Orbita circolare di un satellite

Per un satellite che percorre un’orbita circolare, la forza centripeta necessaria `e fornita dalla forza gravitazionale. Per un’orbita di raggio r percorsa a velocit`a v, vale

ma_c = mv²

r = GmM

r² ⇒ mv² = GM m

r ⇒ K = 1

2mv² = 1

2GM m

r = −1

2U (r) L’energia cinetica è quindi pari a metà dell’energia potenziale (in modulo). L’energia meccanica è sempre negativa e vale la metà dell’energia potenziale:

E = K + U (r) = 1

2U (r) = −1

2mv², mentre velocit`a e raggio dell’orbita sono legate da rv² = GM . Il periodo dell’orbita `e T = 2π/ω dove ω = v/r da cui

T² = 2π ω

²

= 4π² GM r³

che `e un caso particolare (per orbite circolari) della terza legge di Keplero.

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Problema dei due corpi: energia meccanica

Consideriamo due corpi che interagiscono con forze gravitazionali. Prendiamo un sistema di riferimento con origine nel centro di massa (m₁~r₁ + m₂~r₂ = 0) e definiamo

~r = ~r₂ − ~r₁:

~r₁ = − m₂

m₁ + m₂~r e ~r₂ = m₁

m₁ + m₂~r,

~v₁ = − m₂

m₁ + m₂~v e ~v₂ = m₁

m₁ + m₂~v, dove ~v = d~r/dt. L’energia cinetica del sistema diventa

K = 1

2m₁v₁² + 1

2m₂v₂² = 1 2

m₁m²₂ + m₂m²₁

(m₁ + m₂)² v² = 1 2

m₁m₂ m₁ + m₂

v² = 1 2µv²

La quantit`a µ = m₁m₂/(m₁ + m₂) `e detta massa ridotta del sistema (notare che m₁m₂ = µM , con M = m₁ + m₂). L’energia meccanica:

E = 1

2µv² + U (r)

`e la stessa che per un corpo di massa µ in un campo gravitazionale centrale, ovvero diretto verso un punto fisso. In generale, il problema a due corpi pu`o essere risolto come “problema di un corpo in un campo centrale” + “moto del centro di massa”.

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Problema dei due corpi: momento angolare

Il momento angolare sotto un campo gravitazionale centrale `e sempre conservato in quanto la forza gravitazionale ha momento nullo rispetto al centro. Di conseguenza, il moto avviene in un piano ortogonale alla direzione del momento angolare.

Ci`o vale in generale per qualunque forza centrale, per le quali il potenziale `e funzione di r: U = U (r) mentre la forza ~F = −∇U (r) = −dU (r)

dr r `ˆ e sempre diretta lungo ~r.

Indichiamo con ω la velocit`a angolare con cui i due corpi ruotano intorno all’asse passante per il loro centro di massa e perpendicolare al piano che li contiene. Il momento angolare totale `e dato da

` = I₁ω+I₂ω = (m₁r₁²+m₂r²₂)ω = m₁m²₂ + m₂m²₁ (m₁ + m₂)²

r²ω =

m₁m₂ m₁ + m₂

r²ω = µr²ω come per il problema equivalente di un corpo di massa ridotta µ sotto l’effetto di un campo gravitazionale centrale.

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Problema dei due corpi: soluzione

Risolviamo il problema equivalente per il corpo di massa µ. Per le leggi di conservazione:

( 1

2µv² − Gm₁m₂

r = E

µr²ω = `

sono costanti del moto. Ricordando che ~v = d~r/dt = (dr/dt)ˆr + ~ω × ~r e che ˆr e ~ω sono perpendicolari, si trova che v² = (dr/dt)² + r²ω². Inoltre, notando che

dr dt

²

= dr

dθ · dθ dt

²

= dr dθ

² ω², si trova (dividendo per µ e ponendo M = m₁ + m₂):

1 2

"

dr dθ

²

+ r²

#

ω² − GM

r = E

µ, r²ω = ` µ

Ricavando dalla seconda equazione ω = `/(µr²) e sostituendo nella prima:

1 2

"

dr dθ

²

+ r²

# `²

µ²r⁴ − GM

r = E µ

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Orbite ellittiche

La soluzione generale della precedente equazione

`e la seguente:

r(θ) = k

1 − e cos θ

dove il parametro e è detto eccentricità e può assumere valori tra 0 e ∞. Se 0 < e < 1 otteniamo un’ellisse con semi assi maggiore e minore pari a

a = k

1 − e²; b = k

√1 − e² = ap

1 − e².

e con i fuochi f₁ e f₂ rispettivamente in (−c, 0) e (c, 0), dove c = ea. Sostituendo nell’equazione precedentemente trovata si dimostra che

k = `²

µ²GM , e = s

1 + 2`²E

µ³G²M²; a = −µGM

2E , b = `

√−2µE,

Con e = 0 l’ellisse degenera in una circonferenza, mentre per e = 1 o e > 1 la curva diventa una parabola o un’iperbole, rispettivamente.

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Leggi di Keplero

Le leggi di Keplero, ricavate in base alle osservazioni astronomiche, furono formulate ben prima che la legge di gravitazione universale di Newton le spiegasse:

1. i pianeti del sistema solare seguono delle orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi;

2. nel moto dei pianeti del sistema solare, aree uguali vengono spazzate in tempi uguali;

3. il quadrato del periodo di rivoluzione dei pianeti del sistema solare `e proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellittica.

La prima legge deriva dai risultati precedenti: il Sole ha massa molto superiore a quella dei pianeti e pu`o quindi essere assunto come fisso.

La seconda legge si dimostra tramite la relazione fra velocit`a areolare e momento angolare.

La terza legge si dimostra dalla seconda tramite la relazione: AT = A, dove ˙˙ A è la velocità areolare (costante), T è il periodo, A = πab l’area dell’ellisse.

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Seconda legge di Keplero e velocit` a areolare

Consideriamo degli assi con origine nel punto fisso e indichiamo con ~r(t) e ~r(t + ∆t) i raggi vettori che individuano la posizione del corpo lungo la traiettoria agli istanti t e t + ∆t (vedi figura).

Nel tempo ∆t il vettore ~r spazza l’area ∆A delimitata dai due lati di lunghezza r(t) e r(t + ∆t) e l’arco di traiettoria di lunghezza

∆s. Per piccoli ∆t, ∆s ≈ ∆r e r(t + ∆t) ≈ r(t). Quindi

∆A ' 1

2r∆r sin(π − θ) = 1

2r∆r sin θ

che in termini infinitesimi diventa dA = ¹₂rdr sin θ = ¹₂rv sin θdt. La velocit`a areolare A `˙ e l’area spazzata per unit`a di tempo dal vettore ~r:

A =˙ dA

dt = 1

2rv sin θ, da cui

A =~˙ 1

2~r × ~v = 1 2µ

~`.

Dalla conservazione del momento angolare segue la seconda legge di Keplero.