Seconda Prova Meccanica Razionale 29.06.2020 1.

Seconda Prova Meccanica Razionale 29.06.2020

1. Esercizio 1

L’ordinata del baricentro G della superficie materiale omogenea di figura, costituita da una lamina a forma di triangolo rettangolo isoscele AOC, da una lamina a forma di triangolo isoscele F OD e da una lamina quadrata IHML, sapendo che AO = CO = 2L, F D = AC, IH = OB, EO = ³ ₂ BO, vale:

O

x y

A B C

D

F L E M

I H

(a) ¹⁷ 26

√ 2L (b) ¹³ 9

√ 2L (c) ¹⁷ 21

√ 2L X (d) ²⁹ 30

√ 2L

2. Esercizio 2

In un piano verticale Oxy, un’asta AB, omogenea di massa m e lunghezza 4R, `e vincolata a passare per l’origine O del sistema di riferimento.

Nell’estremo B dell’asta `e incernierato un disco, omogeneo di massa m e raggio R, che rotola senza strisciare sull’asse Oy e si muove nel semipiano y ≤ 0 senza oltrepassare l’asse Ox.

1

O x y

A

C B θ

In funzione del parametro lagrangiano θ = C b OB, la velocit`a angolare

~

ω _D del disco `e:

(a) ~ω D = ˙θ ~k

(b) ~ω D = _sin ^{θ ˙}

θ ~k X (c) ~ω D = ˙θ sin ² θ ~k (d) ~ω D = sin 2 ^{θ ˙} θ ~k 3. Esercizio 3

Un’asta omogenea AB, di massa m e lunghezza 2L, avente il baricentro G scorrevole sull’asse positivo Oy di un piano verticale Oxy, `e soggetta alla forza peso, alla forza elastica ~ F _A = − ^{2 mg} L (A−A ^′ ), con A ^′ proiezione di A sull’asse Ox, ed una coppia di momento costante ~ M = ¹ 2 mgL ~k .

O x

y

G

A B

A ^′ θ

ξ

2

In funzione dei parametri lagrangiani θ = O b GA e ξ = |G − O|, il potenziale delle forze attive agenti sull’asta vale:

(a) U(ξ, θ) = ^mg _{2 L} 

L (Lθ − 2ξ) − 2(ξ − Lcosθ) ² 

+ c X (b) U(ξ, θ) = ^mg 2 L

 L (Lθ + 2ξ) + 2(ξ − Lcosθ) ²  + c (c) U(ξ, θ) = ^mg _{2 L} 

L (2Lθ − ξ) − 2(ξ − Lcosθ) ²  + c (d) U(ξ, θ) = ^mg _{2 L} 

L (Lθ + 2ξ) + (ξ − Lcosθ) ²  + c 4. Esercizio 4

Un sistema materiale, costituito da due aste omogenee AB, di massa m e lunghezza 3L, e BC, di massa m e lunghezza L, saldate ad angolo retto nell’estremo B comune, `e mobile in un piano verticale Oxy con l’estremo A scorrevole sull’asse Ox. Il sistema `e soggetto al proprio peso, alla forza elastica ~ F _A = − ^mg L (A − O) e alla forza, applicata in C, F ~ _C = ⁵ ₂ mg~ı, dove ~ı `e il versore dell’asse Ox.

O x

y

C A

B θ

ξ

Introdotti i parametri lagrangiani ξ = |A − O| e l’angolo θ indicato in figura, la reazione vincolare esterna in A nelle configurazioni di equi- librio vale:

(a) ~ Φ A = 2mg~j X (b) ~ Φ A = − ⁵ 2 mg~ı + 2mg~j

(c) ~ Φ A = −2mg~j

(d) ~ Φ A = −mg~ı + 2mg~j 5. Esercizio 5

Stabilire la massima riduzione del seguente sistema di vettori applicati:

A 1 (2, 0, 2), A 2 (0, 2, 2), A 3 (2, 2, 0),

~v 1 (2, −2, 0), ~v ² (0, 2, −2), ~v ³ (−2, 0, 2).

3

(a) vettore applicato (b) coppia

(c) zero X

(d) vettore applicato + coppia.

4